15秋福师《实变函数》在线作业一 答案

福师《实变函数》在线作业一

一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）

1. 若f∈V当且仅当f是两个增函数之差。

. 错误

. 正确

正确答案：

2. 若f,g∈V，则|f|,f+,f-,f∧g,f∨g属于V。

. 错误

. 正确

正确答案：

3. f∈V，则f有“标准分解式”:f(x)=f()+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差.

. 错误

. 正确

正确答案：

4. 可数个G_lt集之交和有限个G_lt集之并仍是G_lt集，但可数个G_lt集之并未必仍是G_lt集

. 错误

. 正确

正确答案：

5. 集合可测等价于该集合的特征函数X_可测

. 错误

. 正确

正确答案：

6. 若f∈Lip[,],则f∈[,].

. 错误

. 正确

正确答案：

7. 若f,g∈V，则f/g(g不为0)属于V。

. 错误

. 正确

正确答案：

8. 不存在这样的函数f：在区间[,]上增且使得f'(x)在[,]上积分值∫fx<f()-f() . . 错误

. 正确

正确答案：

9. 存在[0,1]上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等．

. 错误

. 正确

正确答案：

10. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并.

. 错误

. 正确

正确答案：

11. 若f,g∈V，|g|>>0,则f/g属于V。

. 错误

. 正确

正确答案：

12. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n<=g_n，..,n=1,2, ,则f<=g,.. . 错误

. 正确

正确答案：

13. 设f为[,]上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数.

. 错误

. 正确

正确答案：

14. 三大积分收敛定理是实变函数论的基本结果。

. 错误

. 正确

正确答案：

15. f∈V，则f至多有可数个间断点，而且只能有第一类间断点.

. 错误

. 正确

正确答案：

16. 有限覆盖定理的内容是：若U是R^n中紧集F的开覆盖，则可以从U中取出有限子覆盖. . 错误

. 正确

正确答案：

17. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。

. 错误

. 正确

正确答案：

18. 函数f在[,]上为常数的充要条件是f在[,]上绝对连续且在[,]上几乎处处为零. . 错误

. 正确

正确答案：

19. 函数f≡∈[-∞,∞],则f可测。

. 错误

. 正确

正确答案：

20. 若f,g∈，则|f|,f+,f-,f+g,f-g,f/g(g不为0),f∧g,f∨g均属于。

. 错误

. 正确

正确答案：

21. f在[,]上为增函数，则f'(x)在[,]上积分值∫fx f()-f() .

. 错误

. 正确

正确答案：

22. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f).

. 错误

. 正确

正确答案：

23. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞

. 错误

. 正确

正确答案：

24. 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积.

. 错误

. 正确

正确答案：

25. 三大积分收敛定理包括Lvi定理，Ftou定理和Lsgu控制收敛定理。

. 错误

. 正确

正确答案：

26. 测度为零的集称为零测集.

. 错误

. 正确

正确答案：

27. 一致收敛的有界变差函数序列的极限函数也是有界变差函数.

. 错误

. 正确

正确答案：

28. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f.

. 错误

. 正确

正确答案：

29. f可积的必要条件:f几乎处处有限，且集X(f≠0)有sigm-有限测度。

. 错误

. 正确

正确答案：

30. f∈V，则f几乎处处可微，且f'∈L1[,].

. 错误

. 正确

正确答案：

31. 对R^n中任意点集，\'必为可测集.

. 错误

. 正确

正确答案：

32. f,g∈M(X),则fg∈M(X).

. 错误

. 正确

正确答案：

33. 闭集套定理的内容是：{F_k}是R^n中非空有界闭集的降列，则F_k对所有k取交集非空.

. 错误

. 正确

正确答案：

34. 可数集的测度必为零，反之也成立.

. 错误

. 正确

正确答案：

35. 若交等于空集，则可测时必可测.

. 错误

. 正确

正确答案：

36. 若f∈，则f是连续的有界变差函数，即f∈∩V.

. 错误

. 正确

正确答案：

37. g的连续点是L点，但L点未必是连续点.

. 错误

. 正确

正确答案：

福师《实变函数》在线作业一

二、单选题（共 5 道试题，共 10 分。）

1. 下列关系式中不成立的是（ ）

. f(∪i)=∪f(i)

. f∩(i)=f(∩i)

. (∩)0=0∩0

. (∪i)=∩(i)

正确答案：

2. fn->f,..,则

. fn依测度收敛于f

. fn几乎一致收敛于f

. fn一致收敛于f

. |fn|->|f|,..

正确答案：

3. 若为R^n中一疏集，则（ ）

. 为稠集

. 为开集

. 为孤立点集

. 不完备

正确答案：

4. 开集减去闭集其差集是（ ）

. 闭集

. 开集

. 非开非闭集

. 既开既闭集

正确答案：

5. 有限个可数集的乘积集是（ ）

. 有限集

. 可数集

. 有连续统势的集

. 基数为2^的集

正确答案：

福师《实变函数》在线作业一

三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）

1. 若 和都是R中开集，且是的真子集，则（ ）

. m()<m()

. m()<=m()

. m(\)=m()

. m()=m()+m(\)

正确答案：

2. 在R上定义f，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0，则（ ） . f在R上处处不连续

. f在R上为可测函数

. f几乎处处连续

. f不是可测函数

正确答案：

3. 若0<=g<=f且f可积，则（ ）

. g可积

. g可测

. g<∞，..

. 当g可测时g必可积

正确答案：

4. 若f∈[,]，则（ ）

. f∈[,]

. f∈V[,]

. f(x)=f()+∫x f '(t)t

. f∈Lip[,]

正确答案：

5. f(x)=1,x∈(-∞，+∞),则f(x)在(-∞，+∞)上

. 有L积分值

. 广义R可积

. L可积

. 积分具有绝对连续性

正确答案：

6. f(x)=sinx/x,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上

. 广义R可积

. 不是广义R可积

. L可积

. 不是L可积

正确答案：

7. 设1，2是R^n中测度有限的可测集，则

. m(1∪2)+m(1∩2)=m1+m2

. 若1包含于2,m1<=m2

. 若1包含于2,m(2\1)=m2-m1

正确答案：

8. 设为R^n中的一个不可测集，则其特征函数是

. 是L可测函数

. 不是L可测函数

. 有界函数

. 连续函数

正确答案：

谋学网

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wsjj.html