第四章 恒定电场2

第四章 恒定电场

电荷在电场作用下作定向运动就形成电流，等速运动的电荷称为恒定电流，维持恒定电流分布的电场称为恒定电场。本章讨论恒定电流和恒定电场的基本性质，恒定电场的边界条件以及恒定电场的求解方法。

4.1 电流与电流密度

若空间分布的电荷是流动的，则该体积空间内就有电流存在，我们任取一个面积S，如果?t时间内穿过S的电荷量为?q，则定义电流的大小为 i(t)?lim?qdq （4.1） ??t?0?tdt电流的单位为A（安培）。若电荷流动的速度不随时间改变，则有 lim?qdq（4.2） ??I(恒定值)

?t?0?tdt这种情况下的电流称为恒定电流。

电流在穿过任一截面时，在该截面上有确定的分布和方向，电流强度并不能描述电流在电流场中的分布情况，而电流产生的场与电流的分布有关。从场的观点来看，电流是一个通量，它并没有说明电流在导体内某一点的分布情况，为了研究导体内不同点的电荷运动情况，需引入电流密度的概念。

如图4.1.4所示，在垂直于电荷流动的方向取一个面积元?S，若流过?S的电流为

??则定义一个矢量J，称为电流密度矢量，?I，

其大小为 J?lim图4.1.4 体电流

?I （4.3）

?S?0?S????J的方向定为正电荷运动的方向，J为电流密度矢量，单位为A/m2（安/米2）。穿过任

?????J(r)?dS （4.4）

意曲面S的电流等于电流密度矢量在此曲面上的通量，即

I??S??上述电流密度J用来描述电流在某体积内流动的情况，所以称为体电流密度。

如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，如图4.1.2所示，则称为面电流。任意一点面电流密度的方向是该点正电荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单位长度上的电流，即

116

?I （4.5）

?l?0?l面电流密度的单位为A/m（安培/米）。同样，可以从

JS?lim面电流密度JS求出流过电流曲面上任意线段l的电流，即

i??l???JS?(n1?dl) （4.6）

图4.1.2 面电流

式中的n1为薄层的法向单位矢量。

电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流称为线电流，可认

为线电流是集中在细导线的轴线上。

?4.2电荷守恒定律 电流连续性方程

实验证明，电荷是守恒的，既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从一个地方移动到另一个地方。

根据电荷守恒定律，从任一封闭面流出的电流等于该封闭面内电量在单位时间的减少量，即

??dqdJ?dS?????dV （4.7） ???dtdtVS设封闭面S所限定的体积V不随时间变化，则可将全导数写成偏导数，式（4.7）变为

????J?dS??dV （4.8） ????tSV上式即为电流连续性方程的积分形式。

SV???由高斯散度定理，?J?dS????JdV，有

??? ?V(??J??t)dV?0 （4.9）

因封闭面S是任意取的，因此它所限定的体积V也是任意的。故有

???（4.10） ??J??0

?t上式称为电流连续性方程的微分形式。

对于稳恒电流的情况，因有：???t?0，故应满足

??? ?J?dS?0 ??J?0 （4.11）

S 117

这表明从任意封闭面穿出的恒定电流为0，或者说恒定电流场是一个无散场。

4.3 恒定电场的基本方程

4.3.1恒定电场的基本方程

????恒定电场的两个基本变量是电流密度J和电场强度E，第一个基本方程是电流连续

性方程，即

???? ? ?J?dS＝0 （4.12a）

S??或 ??J＝0 （4.12b）

上式表明：恒定电流场是无散场（无源场）。

第二个基本方程为

L??? ? ?E?dl＝0 （4.13a）

????或 ??E＝0（或E＝???） （4.13b）

式（4.13）表明：恒定电场是一种保守场。

实验表明，对于各向同性的、线性的均匀导电媒质，其中任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即

??????J(r)＝?E(r) （4.14）

式中, ?是导电媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米）。表4.3.1给出了一些常见的均匀导电材料的电导率和介电常数的数值。式（4.14）称为欧姆定律的微分形式，通常

的欧姆定律U?RI，称为欧姆定律的积分形式。

从表4.3.1中可看出，金属类导电媒质的电导率?都在10S/m以上，此类媒质称为导体，若???，则称为理想导体。而电导率远小于1（海水除外）的材料可称为有漏电的电介质材料，表中同时给出了它们的相对介电常数。若??0，则称为理想的电介质材料。实际上任何材料都有一定的电导率和介电常数。

7???由（4.14）式可知，当电流密度J已知时，导体内的E?J??。?越大，E越小。

?当???时，E?0。与静电场不同的是，静电场中是所有导体内E都为零，而这里

118

?只有理想导体内才有E?0。

表4.3.1 一些材料的电导率和相对介电常数

材料 银 铜 金 铝 黄铜 青铜 铁 钨 镍

电导率（S/m） 材料 蒸馏水 干土 清水 海水 石灰石 蜡 聚乙烯 石英 橡胶 电导率（S/m） 相对介电常数 6.17?107 5.8?107 4.1?107 2?10?4 1?10?5 1?10?3 80.0 2.8 80.0 81.0 3.82?10 1.57?10 1.00?10 1.00?107 1.82?107 1.45?107 7775 1?10 1?10?11?2 4.0 1?10?13 1?10?17 1?10?15 2.2 5.0 3.0 4.3.2．恒定电场的电位

由于恒定电场的无源性，可引入标量电位。若导电媒质均匀，即其电导率?与坐标

???????无关，将J=?E和E????代入??J?0中，有

???? ??J????E???????＝0

即 ??＝0 （4.15） 若导电媒质不均匀，则其电导率随坐标而变，故有

2???????? ??J????E????E?(??)?E＝0

???(???)?(??)???J?＝0

119

????1即 ???2(??)?J＝?J?(?) （4.16）

21??4.3.3导电媒质中的电荷分布

将上述的恒定电流场的电位微分方程与静电场的电位微分方程比较，根据对应关系，可得导电媒质中的电荷分布规律为

在均匀媒质中

????????J?0 （4.17） ?＝??D????E??

?在非均匀媒质中

???????????J1?11?＝??D????E????()??[??J?J??()]??J??() （4.18）

????4.4 恒定电场的边界条件

有两种不同媒质的分界面上，电流要发生突变，如图4.4.1所示。这是由于分界面上有积累电荷，它使分界面上电场发生突变，因而分界面上电流密度也发生突变。

与推导静电场在不同介质交界面的边界条件的方法相似，利用恒定电场中两个基本方程（4.12）和（4.13），可导出如下边界条件

图4.4.1 恒定电流场的边界条件

J1n?J2nE1t?E2t?????n?(J1?J2)?0 （4.19） ?????n??(E1?E2)＝0 （4.20）

上两式表明在不同导体的分界面上，电流密度的法向分量连续，电场强度的切向分量连

续。这两个边界条件也可用电位表示为

?1??1?? ??22 （4.21）

?n?n 120

?1??2 （4.22）

??若界面为电介质和导体的交界面，因介质中各点J＝0，由Jn的连续性，则在导体一

侧，有

Jn?0 （4.23）

???0 (4.24) ?n?设分界面两侧的电场线与法线n的夹角分别为?1,?2，如图4.4.1，由（4.19）和（4.20）

?可得

J1cos?1?J2cos?2 （4.25） E1sin?1?E2sin?2 （4.26） 两式相除得

tan?1?1? （4.27） tan?2?2这表明，在分界面上电流线发生折射。

22????的导体是理想导体，那么，第一区域的J1和E1垂直于交界面，此交界面可认为是等位面。

在两种导电媒质的界面上,En发生突变是由于界面上有电荷分布。因为

??D1n?D2n??1E1??2E2 (4.28) 将关系式En?若?2??，?1仍为有限值，只要?2??，则?1??。也就是说，只要第二区域

Jn?代入上式，可得

???1?J1n?2J2n (4.29) ?1?2因J1n?J2n?Jn，且对于良导电媒质，???0，故 ???0Jn(1?1?1?2) （4.30）

121

4.5 能量损耗与电动势

4.5.1焦耳定律

导电媒质中的电荷是在电场作用下产生定向运动的，此时电场要对电荷运动做功。电场所的功首先被转化为运动电荷的动能。然后在电荷的碰撞过程中变为热能而散发掉，这就是截流导体发热的原因。因恒定电场中电荷作运动的总动能并不随时间变化，所以导体的热损耗功率就应等于单位时间内电场对该导体运动电荷所做的功。如图4.5.1所示，如果电荷从柱体的左端面运动到右端面所用的时间为dt，则电场对dt内通过截面的电荷dQ所的功为

??dW?dQE?dl?dQEdl

电场损失的功率为

图4.5.1 功率损耗

P?dWdQ（4.31） ?Edl?IEdl?EJdSdl?EJdV

dtdtJ2单位体积内的功率损耗为

p?EJ??E?2? (4.32)

单位体积内的功率损耗又称为功率损耗密度，可写为一般的形式

??p?E?J (4.33)

上式称为焦耳定律的微分形式。一段导电媒质柱体的焦耳损耗功率是式(4.33)的体积分 p??V??E?JdV??SJ?dS?EdlIU (4.34)

l式(4.34)称为焦耳定律的积分形式。

4.5.2电动势

在导电媒质中，电流场有功率损耗，为了维持恒定

电流，必须由外源不断提供能量，以补充导电媒质的能量损耗。如图4.5.2所示，首先将外接的导电媒质移去，讨论开路情况下外源内部的作用过程。

在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极板 P，负电荷不断地移向负极板N。极板上的电荷在外源中形成电场E，其方向由正极板指向负极板，而且随着极板上电荷的增加不断增强。

图4.5.2 外源

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显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止负电荷继续向负极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。

既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然定义为对于单位正电荷的作用力，以E? 表示。由于外电场使正电荷移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指向正极板。可见，在外源中外电场E?的方向与极板电荷形成的电场E的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。

若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场E小于外电场，外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。

由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电媒质中产生恒定电场，且在外源内部保持E??E?，在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电流。

注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。

电源作功的能力用电动势表示，记为?，电动势定义为电源将单位正电荷从电源的负极移到正极所作的功，即

??? PN?? E??dl (4.35)

由于在电源外外电场为零，因此电动势也等于外电场对包含电源在内的电流回路的线积分，即

????lE??dl (4.36)

电源的外电场不是保守场，而极板上的电荷产生的电场是保守场，即

????

l?? E?dl?0

式中积分闭合回路l是电流回路。在电流回路经过的电源中

? PN ????PE?dl??(?E?)?dl??? (4.37)

N在电流回路经过的电源外导电媒质中

? NP??E?dl?U (4.38)

式中，U为导电媒质两端的电压。将式（4.37）和式（4.38）代入式（4.36），得

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即

?? l?? N?? P?? E?dl??E?dl??E?dl?U??

PN NP??U???? l (4.39) E?d上式表明，电源的电动势等于外电路的电压。

4.6恒定电场的边值问题

4.6.1恒定电场与静电场的类比

比较恒定电场与无源区的静电场方程，可以发现二者非常类似（见表4.6.1）。

表4.6.1

恒定电流场 静电场 ????E?0 ??E???? ????E?0 ??E???? ?2??0（均匀导电媒质中） ????J??E ?2??0 ????D??E ????D?0 在包围电流源q的闭合面上 ????J?0 在包围电流源I的闭合面上 ??????J?dS?I S??????D?dS?q S在两种导体的界面上 在两种介质的界面上 ?1??2 ?1??2 ?1??1????22 ?n?n??Jn?0 ?1??1????22 ?n?n无相似条件 在导体与介质的界面上 在理想导体表面上 在导体表面上 ???0?tG???常量 I ???0?tC???常量 q ?? 124

由表4.6.1可见，恒定电流场与静电场的物理量之间有如下对应关系： 恒定 电流场 静电场 ????? E J ? I 理想良导体??? 一般导体 介质 G ????? E D ? q 导 体 ??? 介 质 无 C 4.6.2恒定电场的求解方法

恒定电流场的电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，根据唯一性定理，求解静电场的各种方法，在给定边值条件下，均可同样用来求解恒定电流场。

由于恒定电流场与静电场各物理量之间存在对应关系，故可用静电类比法求解恒定电流场，其步骤是：

1） 根据物理量的对应关系，把所研究的恒定电流场“翻译”为对应的静电场；

2） 找出此静电场的解，再把解中的静电物理量换为电流场的物理量，便可得出所研究的

电流场的解。 例4.6.1 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d?R1,d?R2)，试求两小导体球面间的电阻。

解 可采用静电类比法求解。把小球近似为点电荷，设小球分别带电荷q和?q，由于

d?R1,d?R2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上，可先求出小球表面的电

位，再求出小球的电容。

两小球表面上的电位为 ?1?q4??R1??q

4??(d?R2) ?2?两小球间的电容为 C??qq?

4??R24??(d?R1)q4??? 1111?1??2???R1R2d?R1d?R2由静电类比法可得，两导体球面间的电导为

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