课堂习题范里安中级微观

第二章

1.有两种商品，x1和x2，价格分别为p1和p2，收入为m。当x1?x1时，政府加数量税t,画出预算集并写出预算线

2. 消费者消费两种商品（x1，x2），如果花同样多的钱可以买（4，6）或（12，2），写出预算线的表达式。 3．重新描述中国粮价改革 （1）假设没有任何市场干预，中国的粮价为每斤0.4元，每人收入为100元。把粮食消费量计为x，在其它商品上的开支为y，写出预算线，并画图。 （2）假设每人得到30斤粮票，可以凭票以0.2元的价格买粮食，再写预算约束，画图。 （3）假设取消粮票，补贴每人6元钱，写预算约束并画图。 1.当x1?x1时，加数量税t,画出预算集并写出预算线 预算集：p1x1?p2x2?m...............(x1?x1)

(p1?t)x1?p2x2?m?tx1...................(x1?x1) 2.如果同样多的钱可以买（4，6）或（12，2），写出预算线。 p1x1?p2x2?m 则有 4p1?6p2?m，12p1?2p2?m

不妨假设p2?1，则可解得：

p1?1,m?82。

1x1?x2?82 预算线为

3．(1)0.4x?y?100

(2)??0.2x?y?100...........if..x?30

?0.4x?y?106...........if..x?30 (3)0.4x?y?106

注1:第1题和第3题的第(2)小题都是非线性价格的题目,道理是一样的. 确定各个线段的端点坐标和斜率, 算出直线方程. 检验答案正确与否的一个快捷的方法是看两端方程是不是在临界点相交(这是一个必要条件, 不是充分条件)

1、取同样一组人，然后考虑一下“的确比??高”这样一种关系。这种关系满足完备性、反身性和传递性假设。

2.证两条无差异曲线不能相交 3.纸币换五元纸币的边际替代率？

4商品1为中型商品，则它对商品2的边际替代率？

1、取同样一组人，然后考虑一下“的确比??高”这样一种关系。这种关系满足完备性、反身性和传递性假设。 错误。

满足传递性,不满足完备性和反身性。

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2.证两条无差异曲线不能相交

设两条无差异曲线对应的效用分别为u1,u2，由曲线的单调性假设，若u1?u2，则实为一条曲线。若u1?u2，假设两曲线相交，设交点为x，则u(x)?u1,u(x)?u2，可推出u1?u2，存在矛盾，不可能相交。

3.一元纸币换五元纸币的边际替代率？

-5(把一元纸币放在纵轴上)或者-1/5(把一元纸币放在横轴上), 4商品1为中型商品，则它对商品2的边际替代率？ 答案：中性商品是指消费者不关心它的多少有无的商品

商品2 如果也是中性商品那么该题就无所谓无差异曲线,也无所谓边际替代率了. 商品2如果不是中性商品:

边际替代率是0(把中性商品放在横轴上)或者?(把中性商品放在纵轴上) 两道题是关于边际替代率和中性商品(neutral good)的概念的.

边际替代率衡量无差异曲线的斜率, 它的概念来源于消费者愿意以什么样的比率用一种商品换另一种商

品.(,the slope of an indifference curve is known as the marginal rate of substitution. The name comes from the fact that the MRS measures the rate at which the consumer is just willing to substitute one good for the other) 替换的方向没有什么追究的意义. ”...MRS...describes....the rate at which the consumer is willing to

substitute ...good 2 for ...good 1”,”...MRS measures the rate at which the consumer is ...willing to substitute good 1 for good 2”(课本中的表述，二者皆可。)

只要知道MRS衡量无差异曲线的斜率就可以了.(注意,这个斜率是负值,除非存在坏商品bads时). 1． 写出下列情形的效用函数，画出无差异曲线，并在给定价格（p1，p2）和收入（m）的情形下求最优解。

（1）x1=一元纸币，x2=五元纸币。

（2）x1=一杯咖啡，x2=一勺糖, 消费者喜欢在每杯咖啡加两勺糖。 Solution:

(1)x1 is indefinitely the substitution of x2, and five units of x1 can bring the same utility as that one unit of x2 can do. With the most simple form of the utility function, u?x??x1?5x2, and assume that the prices of those two goods are p1 and p2 respectively and the total wealth of the consumer is m, the problem can be written as

maxu?x1,x2?s..tp1x1?p1x2?m

③ Because 5p1=p2, any bundle ?x1,x2?which satisfies the budget constraint, is the solution of such problem.

(2) A cup of coffee is absolutely the complement of two spoons of sugar. Let x1 and x2 represent these two kinds of goods, then we can write the utility function as u?x1,x2??min?x1,The problem of the consumer is

??1?x2? 2?maxu?x1,x2?s..tp1x1?p1x2?m

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Any solution should satisfies the rule that x1?1x2, and the budget constraint. So replace x1 2m2m, and x2?.

p1?2p2p1?2p2with (1/2)(x2) in the budget constraint and we can get x1?2． （1）

解最优选择

u(x1,x2)?x12?x2

Solution:

(1) Because the preference is Cobb-Douglas utility, we can simplify the computation by the formula that the standardized parameter of one commodity means its share of total expenditure. So directly, the answer is x1?2mm, x2?. 3p13p11、如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯勒茨基替代效应必定是负的。为什么？

要证明替代效应总是负的，就是要证明价格下降后的x1’’必定落在x1’的右边。可以根据显示偏好弱公理来证明（证明过程略）。

1、如果闲暇是一种低档商品，劳动供给曲线的斜率为正。为什么？ 如果闲暇是低档商品，如果工资率上升，劳动供给的符号如下式： ?R(p,w,m)?Rs(p,w)?R(p,w,m)??(R?R)

?w?w?m ????????????即当闲暇是低档商品时，如果工资率上升，对闲暇的需求必定下降，对劳动的供给必上升。

1. 某消费者效用函数为u(x,y)?x5y5,消费者最初禀赋为（50，0）。如果商品x的初始价格Px=2，现在变

为Px’=1。请计算斯勒茨基方程中相应的替代效应、普通收入效应和禀赋收入效应。 实际利率既名义利率减同期的通货膨胀率，即如果名义利率是20%，通货膨胀率是15%，那么实际利率就是5%。 错误。

假设名义利率为R，实际利率r ,通货膨胀为π，则满足 r?算时，才有 r?R??。

1．u?(c1,c2)?c1?c2,m1?2000,m2?1000, 两期的价格都是p=1，利息率r=10%。 1）

??c,c12求，有无储蓄？

1?R1?20%?1??1?4.3%，只有在近似计1??1?5% 3 / 24

2）

当r??20%时，求c1,c2。

??2．一个人只消费粮食，第一期他得到1000斤，第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有25%的损耗。他的效用函数为：u(c1,c2)?c1?c2 1） 2）

??c1??,c2??

如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费c1??,c2??

如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是p=1，利息率r=10%，问最佳消费

??3．有一个永久债券（consol）, 每年支付5万，永久支付，利率为r，它在市场出售时价格应是多少？ 1．u?(c1,c2)?c1?c2,m1?2000,m2?1000, 两期的价格都是p=1，利息率r=10%。 3） 4） Solution:

??c,c12求，有无储蓄？

当r??20%时，求c1,c2。

??maxu?c1c2(1)

s.. tc1?c2m ?m1?21?r1?rL?c1c2??(m1?m2c?c1?2) 1?r1?rf.o.c. c2??,c1??1?r

c1??1454.5,c2??1600,s??m1?c1??2000?1454.5?545.5,

(2)Similarly, we can get

c1??1416.7,c2??1700

2．一个人只消费粮食，第一期他得到1000斤，第二期得到150斤，第一期的粮食存到第二期将有25%的损耗。他的效用函数为：u(c1,c2)?c1?c2 3） 4）

??c1??,c2??

??c??,c?? 12如果粮食不可以拿到市场上交易，最佳消费

如果粮食可以拿到市场上交易，两期的价格都是p=1，利息率r=10%，问最佳消费

Solution:

maxu?c1c2(1)max

c2m2

s.. tc1??m1?1?r1?r 4 / 24

L?c1c2??(m1?m2c?c1?2) 1?r1?r f.o.c. c2??,c1??1?r

c1??600,c2??450

maxu?c1c2(2)

c2m2

s.. tc1??m1?1?r1?rL?c1c2??(m1?m2c?c1?2) 1?r1?rf.o.c. c2??,c1??1?r

c1??568.2,c2??625.

3．有一个永久债券（consol）, 每年支付5万，永久支付，利率为r，它在市场出售时价格应是多少？ Solution：First, the interest rate here should be taken as net interest rate. We assume that the 50 thousands yuan is going to be paid at the end of each year from now on。 According to the definition of present value：

Present Value??i?1?5?1?r?i?5 r(End)

1、考虑汽车保险。某消费者的一辆汽车，在没有遇上小偷时的价值为100000元；如遇上小偷，车子有损失，汽车的价值会下降至80000元。设遇上小偷的概率为25%，车主的效用形式为lnw。 （1）该消费者是喜爱风险还是厌恶风险的？

（2）在公平保险条件下，该消费者买多少数额的保险是最优的 ？

（3）在公平保险条件下，该消费者投保与不投保的效用水平会发生怎样的变化，说明了什么问题？（本题保留4位小数） （1）?lnw??'11?0，?lnw?''??2?0，所以该消费者是厌恶风险的。 ww（2）根据公平保险条件下的最优条件：cna?ca，

100000??K?80000?K??K

K?20000，即完全保险。

（3）如果没有购买保险，其期望效用水平为： 0.75ln100000?0.25ln80000?11.4571

如果购买保险，其期望财富是95000元，其期望效用水平是：

2? ln95000?11.4616。f?x1,x2??min?x1,x2说明购买保险可以改善他的生活状况。

Homework 8, October 11, 2004

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