浅谈Hahn-Banach泛函延拓定理及其应用

1

浅谈Hahn-Banach 泛函延拓定理及其应用

1 引言

在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间E ，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在E 内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个E 上的有界线性泛函.

引理 设f 是复赋范线性空间E 上的有界线性泛函，令))((Re )(E x x f x ∈=?，则?是E 上的有界实线性泛函.

（注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数α，有)()(x x α?α?=且)()()(ix i x x f ??-=） 2 Hahn-Banach 泛函延拓定理

2.1 Hahn-Banach 泛函延拓定理的几种形式

定理1[1](168)P （赋范线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）

设G 是赋范线性空间E 的子空间，f 是定义在G 上的有界线性泛函，则f 可以延拓到整个E 上且保持范数不变，即存在定义在E 上的有界线性泛函0F ，使下列性质成立：

（1）对任一x G ∈，有0()()F x f x =；

（2）0G F f

=.（这里G f 表示f 作为G 上的有界线性泛函的范数） 定理2)136](2[P （实线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设

（1）E 是“实”线性空间，0E E ?是“实”线性子空间；

（2）()p x 是E 上的“次加法、正齐性”泛函，0()f x 是定义在子空间0E 上的（实）线性泛函， 并且满足)()(0x p x f ≤)(0E ∈?，那么，必定存在定义在整个空间E 上的（实）线性泛函()f x ，其满足：

（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ?∈；

（ⅱ）()(),f x p x x E ≤?∈.

(并且，称()f x 为0()f x 在全空间E 上的“延拓”)

2 定理3[2](141142)P -（复线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设

（1）E 是“复”线性空间，0E 是E 内一“复”线性子空间；

（2）()p x 是E 上的“次加法、对称”泛函，0()f x 是定义在0E 上的线性泛函， 并且满足条件0()()f x p x ≤0x E ?∈.那么，存在一个定义在整个空间E 上的线性泛函()f x ，其满足：

（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ?∈； （ⅱ）0()()f x p x ≤，E x ∈?.

定理4[3](117)P （Hahn-Banach 定理的几何形式）

设E 是实B *空间X 上以θ为内点的真凸子集，又设0x E ?，则必存在一个超平面r

f H

分离0x 与E .

定理5)34](4[P （Hahn-Banach 定理的推广）

设X 是实线性空间，p 是X 上的实值线性泛函，使得),()()(y p x p y x p +≤+且当

0,()()p x p x ααα≥=.又设f 是子空间S 上的线性泛函，

使得任意),()(,s p s f S s ≤∈再设F 是X 上的线性算子所成的Abel 半群（既12122,,T F T F TT T T F ?∈∈=∈）使得当F T ∈时，任意),()(,x p Tx p X x ≤∈且对所有的),()(,s f Ts f S s =∈那么存在f 在X 上的延拓0F ，使得

).())((),()(,000x F x T F x p x F X x =≤∈?

2.2 Hahn-Banach 定理的一些推论

推论1[1](168)P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若00(,)inf 0,x G x G x x ρδ∈=-=>则存在E 上的有界线性泛函f

，使01,()1f f x δ=

=.而对x G ∈，则有()0f x =. 推论2[1](170)P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若

00(,)inf 0x G

x G x x ρδ∈=-=> 则存在E 上的有界线性泛函1f ，使得1101,()f f x δ==，而对x G ∈，则有1()0f x =.

推论3[1](171)P 设E 是赋范线性空间，且{}E θ≠，则对任一0x E ∈，0x θ≠，存在E 上的有界线性泛函f ，使得001,()f f x x ==.

3 3 Hahn-Banach 泛函延拓定理的若干应用

例1 设X =2R ，即X 是点),(21x x x =的全体，但规定21x x x +=，X 按此范数.成为赋范线性空间.又设)}0,{(10x X =，0f 是定义在0X 上的连续线性泛函:110))0,((x x f =. 证明 对任何数1<β，X 上的连续线性泛函

2121)),((x x x x f β+=

都是0f 的保范延拓.

证明 显然0f 是0X 上的连续线性泛函，而且

0111((,0))(,0)f x x x == 即001X f =.然而，对任何数β，X 上的连续线性泛函

2121)),((x x x x f β+=

都是0f 的延拓.由于

),(),1max()),((21212121x x x x x x x x f βββ≤+≤+= 并且

00

1X f f ≥= 所以只要1<β，f 都是0f 的保范延拓.

例2 考察一切二维实向量),(21ξξ=x 按照范数21ξξ+=

x 构成的巴拿赫空间.仍用2R 记这 个空间并令G 为2R 中形如)0,(1ξ的向量构成的子空间.在G 上定义有界线性泛函f ：

)()(1G x x f ∈=ξ

再定义2

R 上的有界线性泛函αF ： 21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈ 且1≥αF .证明 αF 是f 的延拓.

证明 显然1=G f .任取满足1≤α的数α，再由2R 上的有界线性泛函αF ：

21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈

4 易见αF 是f

的延拓，且1≥αF ，又因

1212()F x x αξαξξξ≤+≤+= 故1≤αF

，于是1=αF .因此αF 是f 的延拓，且满足G f F =α.

例3 赋范线性空间E 为一致凸的，是指对任给0>ε，存在0δ>，只要

)1(==≥-y x y x ε 就有δ-≤+2y x .证明

(ⅰ) C[a ，b]不是一致凸的;

(ⅱ) L[a ，b]，l 都不是一致凸的;

(ⅲ) 在一致凸空间中，若 }{n x 弱收敛于X ，且x x n →，则}{n x 强收敛于X . 证 （ⅰ）在C[a ，b]中，取a

b a t t y t x --==)(,1)(，则 12=-=+=

=y x y

x y x 设10<<ε，则x y ε->，但

)0(12

>?->+δδy

x

故C[a ，b]不是一致凸的.

（ⅱ）在L[a ，b]中，取 2

)()(2)(,1)(a b a t t y a b t x --=-=

则 2

1,12=-=+==y x y

x y x 设2

10<<ε，则ε>-y x ，但δ->+12y x ，)0(>?δ，故L[a ，b]不是一致凸的. 在l 中，取20,,21<<==εe y e x ，则

,2x y x y ε=-=>

而

5

11,(0)2

x y

δδ+=>-?> 故也不是一致凸的.

（ⅲ）证法1 设E 为一致凸空间，,,n n x E x E x x ω

∈∈??

→，且x x n → 我们要证明x x n →(强收敛)，设不然，则存在00>ε及}{k n ，使0ε≥-x x k n

不妨设1,0==≠x x x k n ，据一致凸性，存在0)(0>=εδδ，使

δ-≤+12

x x k n

又根据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在f E *

∈，使

δ-≤+==1)2

(

,)(,1x x f x x f f k n

但

lim (

)()12

k n k x x f f x x →∞

+===

矛盾，故n x x ??

→强

. 证法2 不妨设...)2,1(1===n x x n 首先容易证明，若

20()n x x n -+→→∞

则

)(0∞→→-n x x n

现在x x x n 2?→?

+ω

，则 _____

22lim lim lim 2n n n n n n x x x x x x x →∞

→∞

→∞

=≤+≤+≤+=

即

)(2∞→→+n x x n

故n x x ??

→强

． 例4 设}{n x 是巴拿赫空间E 中的一个点列，则对于每个*

E f ∈，

∑

∞

=1

)(i i x f 收敛的充要

6

条件是存在正数μ，使对一切自然数m 以及任意的1±=n ε，有

με

≤∑=m

n n

n x 1

．

证 必要性：令

)1)(()(1

±==∑=i m

i i i x f f g εεα，

则**g E ∈α，且

∑=≤

m

i i

i x

g 1

εα

另一方面，据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在*

F E ∈，使

1

1

(),1m

m

i i i i

i i F x x

F εε===

=∑∑

所以

1

1

()()m

m

i i i i

i i g F F x x

αεε====

∑∑

∑==

m

i i

i x

g 1

εα

因为任意*

E f ∈，

∑

∞

=1

)(i i x f 收敛，所以对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε，有

με

≤∑=m

n n

n x 1

.

充分性：设对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε（n=1，2…，m ），有

με≤∑=m

n n

n x 1

，*

E f ∈ 我们取)(sgn n n x f =ε，并规定0)(=n x f 时，1=n ε，这里也设f 是实泛函，则

f x f x f i m

i i m

i i με≤=∑∑

==)()(1

1

)(m ?

从而

7 +∞<∑∞=1)(i n x f .

例5 设))((?∈δδx 是实数定向列.定义这些定向列的加法与数乘如下：如果

)(),(δδy y x x ==，那么

)(),(δδδααx x y x y x =+=+

于是这些实数定向列（定向半序集?固定）形成一个线性实空间E ，对于每个)(δx x =，令

δδδδδδx x x p 00sup inf lim )(____

>== 易见

)()()(y p x p y x p +≤+

且当0≥α时，)()(x p x p αα= .由定理2，（从线性子空间}0{出发）知存在E 上的线性泛函

0()lim f x x δδ

= 满足下列条件:

δδδδδδx x x ____

lim lim lim ≤≤

由)()(x p x f ≤得出：因为)()(x p x f ≤，用x -代x ，

)()(x p x f -≤-，或)()(x p x f --≥

（δδ

x lim 称为Banach 极限）. 例6 设M 为赋范线性空间E 的子空间，设0x 是M 中某个弱收敛点列的极限，则M x ∈0. 证 设M x ?0，则0),(0>=M x d ρ，由Hahn-Banach 泛函延拓定理，必存在

*E f ∈，使

)(0)(,)(0M x x f d x f ∈?==

但由条件存在0,n n x M x x ω

∈??→，则 0lim ()()0n n f x f x →∞

== 矛盾，故M x ∈0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ws1e.html