复变函数习题集(1-4)

第一章 复数与复变函数

一、选择题：

1．当z?1?i1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ）

（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?612，那么z?（ ）

（A）?1?3i （B）?3?i （C）??32i （D）?32?12i

3．复数z?-3(cosA．-3(cosC． 3(cos45?5-isin45?5)的三角表示式为（ ）

4545?＋isin?) B． 3(cos?－isin4545?)

45?＋isin45?) D．-3(cos?－isin?)

4．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （A）u(x,y)在(x0,y0)处连续 （B）v(x,y)在(x0,y0)处连续

（C）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（D）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 二、填空题

1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)(3?i)(2?i)，则z? 2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?

3?43．设z?5,arg(z?i)?，则z? 4．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线.

5．lim(1?z?2z)?

z?1?i24三.求方程z3+8=0的所有复根.

第二章

一、选择题：

解析函数

1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中为解析函数的是( )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y2?x2?2x) （D）x3?iy3

5．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常 数a?( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2 6．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )

（A）2 （B）2i （C）1?i （D）2?2i 7．ez在复平面上( )

（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析 8．设f(z)?sinz，则下列命题中，不正确的是( )

（A）f(z)在复平面上处处解析 （B）f(z)以2?为周期

eiz2（C）f(z)??e2?iz （D）f(z)是无界的

9．下列数中为实数的是( )

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e二、填空题

33??2i

1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limf(z)?1z?

z?02．设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(?32?32i)?

3．若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x2?y2，那么f(z)? 1554．设f(z)?z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 5．方程1?e?z?0的全部解为 三、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数

f(z)?e(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?ixsiny);

xx四、求u?x2?2xy-y2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。 五、已知u?v?x2?y2，试确定解析函数f(z)?u?iv.

第三章 复变函数的积分

一、选择题：

21．设c为从原点沿y2?x至1?i的弧段，则?(x?iy)dz?( )

c（A）

16?56i （B）?16?56i （C）?16?56zi （D）

16?56i

2．设c为不经过点1与?1的正向简单闭曲线，则?c(z?1)(z?1)2dz为( )

（A）

?i2 （B）??i2 （C）0 （D）(A)(B)(C)都有可能

sinzz23．设c1:z?1为负向，c2:z?3正向，则

?c?c1?c2dz? ( )

（A） ?2?i （B）0 （C）2?i （D）4?i 4．设c为正向圆周z?2，则?ccosz(1?z)2dz? ( )

（A）?sin1 （B）sin1 （C）?2?isin1 （D）2?isin1

5．设c为正向圆周z?12zcos31z?22，则?c(1?z)dz? ( )

（A）2?i(3cos1?sin1) （B）0 （C）6?icos1 （D）?2?isin1

e?6．设f(z)????4??zd?，其中z?4，则f?(?i）?( )

（A）?2?i （B）?1 （C）2?i （D）1 7．设c是从0到1??2i的直线段，则积分?zedz?（ ）

cz（A）1??e2 (B) ?1??e2 (C)1??e2i (D) 1??e2i

sin(?8．设c为正向圆周x2?y2?2x?0，则?c4dz? ( )

z?12z)（A）

22?i （B）2?i （C）0 （D）?zcosz(a?i)222?i

9．设c为正向圆周z?i?1,a?i，则?cdz?( )

（A）2?ie （B）

2?ie （C）0 （D）icosi

10．设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是( )

（A）v(x,y)?iu(x,y) （B）v(x,y)?iu(x,y)

?u?x?v?x（C）u(x,y)?iv(x,y) （D）二．计算题：

sin?i

?1．设C为正向圆周|ζ|=2，f(z)?3?c?-zd?，其中|z|<2，求f′(1)

2．计算积分I???e2?z2c(z-i)(z?3i)ez3dz的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。

3.计算积分I??C(z?a)dz，其中C为正向圆周|z|=1，|a|≠1.

第四章 级 数

一、选择题： 1．设an?(?1)?nin?4n(n?1,2,?)，则liman( )

n??（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在

???2．设幂级数

?n?0cnz,n?n?0ncnzn?1和?n?0cnn?1zn?1的收敛半径分别为R1,R2,R3，则

R1,R2,R3之间的关系是( )

（A）R1?R2?R3 （B）R1?R2?R3 （C）R1?R2?R3 （D）R1?R2?R3

n?2nzn()的收敛半径R?( ) 2?sin3．幂级数?n?1（A） 1 （B）2 （C）2 （D）??

?4．幂级数?n?0(?1)nn?1zn?1在z?1内的和函数为

（A）ln(1?z) （B）ln(1?z)

11?z11?z（D）ln (D) ln

5．级数

1z2?1z?1?z?z??的收敛域是( )

2（A）z?1 （B）0?z?1 （C）1?z??? （D）不存在的

1z26．函数在z??1处的泰勒展开式为( )

??nn?1（A）?(?1)n(z?1)n?1?（B）?(?1)(z?1?1)

n?1?n?1n(z?1)n?1(z?1?1)

（C）??n(z?1)n?1n?1(z?1?1) （D）?n(z?1)n?1n?1(z?1?1)

7．函数sinz，在z??n?2处的泰勒展开式为( )

（A）?n?0?(?1)(2n?1)!(?1)n(z??2)2n?1(z??2???)

（B）?n?0?(2n)!(?1)(z??2)2n(z??2???)

n?1（C）?n?0?(2n?1)!(?1)n?1(z??2)2n?1(z??2???)

（D）?n?0(2n)!(z??2)2n(z??2???)

?8．设f(z)在圆环域H:R1?z?z0?R2内的洛朗展开式为

f(z)(z?z0)2?cn???nn(z?z0)，c为H内绕z0的任一条正向简单闭曲线，那么?cdz?( )

(A)2?ic?1 （B）2?ic1 （C）2?ic2 （D）2?if?(z0) ?3n?(?1)n,9．若cn??n4,?n?0,1,2,?n??1,?2,??，则双边幂级数

?n???cnzn的收敛域为( )

（A）

1414?z?13 （B）3?z?4

（C）?z??? （D）

13?z???

二、填空题

?1．幂级数?(2i)nz2n?1的收敛半径R?

n?02．设f(z)在区域D内解析，z0为内的一点，d为z0到D的边界上各点的最短距离，

?那么当z?z0?d时，f(z)??cn?0nn(z?z0)成立，其中cn? ．

3．函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 ．

14．函数e?ez在0?z???内洛朗展开式为 ． 5．函数

1z(z?i)z在1?z?i???内的洛朗展开式为 ．

三，计算：在0?z?1内，函数

1z(z?2)(z?1)的洛朗展式。

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