建模培训6-思考题

思考题

1、请大家在暑假里思考以下几个题目； 2、有条件地话（不强求）把解答的电子版发给我：mror@sdfi.edu.cn 或 sdcdmcm@126.com； ．．．．．．．．．．3、模型求解要求用软件或编程完成； 4、祝大家假期愉快！

1、广告策略

一家公司拟在电视、广播和杂志上做广告，以尽可能多地招徕顾客。下表是市场调查结果：

广告费用（万元/次） 影响顾客数（万人/次） 影响女顾客数（万人/次） 白天 4 40 30 电视 夜间 7.5 90 40 广播 3 50 20 杂志 1.5 20 10 公司要求：花费的广告费用不超过80万元；至少有200万女顾客收看广告；电视广告费用不超过50万元；白天电视广告至少播出3次，夜间电视广告至少播出2次；广播广告和杂志广告要重复5到10次。试为该公司制定最佳的广告策略。 2、生产计划

某工厂生产3种产品，需要使用3种资源：技术服务、劳动力和行政管理。下表列出了3种单位产品对每种资源的需要量：

产品 I II III 技术服务 1 1 1 资源 劳动力 10 4 5 行政管理 2 2 6 单位利润 10 4 6 现有100小时的技术服务、600小时的劳动力和300小时的行政管理时间可用。 （1）若产品III值得生产，那么它的利润是多少？若将产品III的单位利润变为

25，求获利最大时3的生产计划。（2）确定3种资源的影子价格。（3）如果生产一种新产品，该单位新产品需要技术服务1小时、劳动力4小时和行政管理4小时，预期单位利润为8，试重新制定生产计划。（4）若产品III的产量至少为10，试重新制定生产计划。 3、加工排序

有四个工件等待在同一台机器上加工，若加工的先后次序可以任意，各工件之间的调整时间如下表：

从A 从B 从C 从D 到A － 30 25 20 到B 15 － 25 35 到C 20 30 － 10 到D 5 15 15 － 试确定最佳加工顺序。 4、护士雇佣

某医院负责人每日至少需要下列数量的护士： 班次 1 2 3 4 时间 6点～10点 10点～14点 14点～18点 18点～22点 护士数量 60 70 60 50 5 6 22点～2点 2点～6点 20 30 每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时。问：医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需雇佣多少护士？ 5、海岛服务中心的选址 某海岛上有12个主要居民点，每个居民点的位置(xi,yi)（单位：km）和居住的人口数Pi（单位：个）如下表所示： 1 0 0 600 2 8.20 0.50 1000 3 0.50 4.90 800 4 5.70 5.00 1400 5 0.77 6.49 1200 6 2.87 8.76 700 7 4.43 3.26 600 8 2.58 9.32 800 9 0.72 9.96 1000 10 9.76 3.16 1200 11 3.19 7.20 1000 12 5.55 7.88 1100 xi yi Pi 现在准备在海岛上建立一个服务中心，以便为居民提供各种服务，问：服务中心应该建在何处为最佳？ 6、投资组合

下表给出了美国某三种股票A、B、C的价格在1943-1954年共12年间的年增长情况的数据： 年份 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 股票A 1.300 1.103 1.216 0.954 0.929 1.056 1.038 1.089 1.090 1.083 1.035 1.176 股票B 1.225 1.290 1.216 0.728 1.144 1.107 1.321 1.305 1.195 1.390 0.928 1.715 股票C 1.149 1.260 1.419 0.922 1.169 0.965 1.133 1.732 1.021 1.131 1.006 1.908 表中第一个数据1.300的含义是：股票A在1943年末的价格是其在1943年初的价格的1.300倍，即年收益率为0.3（30%）。其余依此类推。某投资者在1955年初有一笔资金准备用于投资者三种股票，期望年收益率不低于15%。问：该投资者应如何投资，才能使投资风险最小？ 7、新产品的研发决策

某电子有限公司是一家集设计、开发、生产、销售一条龙服务的电子礼品专业公司。在刚刚过去的一年中，公司销量明显少于历年平均水平，且管理费用及产品开发费用较以往大幅增加，导致总收入下降，净利润为负一百多万。直接后果是公司目前可用于开发新产品的资金没有往年充足，更严重的是会影响到公司的生存与发展。若销售量不能很快改善，管理层将会考虑削减公司的生产规模来降低生产总成本。 根据以往经验，一种新产品投放市场后，利润较高且销售量也比较好。公司通过对市场调查分析后，决定在今年主要生产刚开发的三种新产品I、II、III(新产品还未上市，产品名称保密)。管理层希望能够通过这一措施改变目前的现状，使经营有一线转机。

根据市场调研，单位产品I、II、III每天的利润分别是7元、5元、15元，而且分别在2年、2.5年、1年后退出市场，生产期间产品都能买出。管理层认为，在历经了过去一年的销量下降后，必须提高公司

的利润，这三种新产品在淘汰之前必须创造出至少450万元的毛利润。

生产新产品将需要投入大量资金。财务部门依据惯常方法计算出新产品的最小投资为66万，其中生产新产品的固定成本20万，三种新产品每天的单位可变成本分别为1元、0.5元、3.6元。若过度扩展市场规模，则会导致存货大幅增加，从而减慢了资金的流动。因此，投资最好限制在此范围之内。 生产部门认为在过去的几年中，除去年外，公司的收益还是很好的，其中最重要的资产就是公司的员工，这也是公司成功的主要原因。若继续保持员工队伍的稳定，并尽可能地发挥他们的能力，开发生产新产品，将会得到长期收益。因此，保持现有大约100名员工的水平是最佳的。根据实验预测，单位产品I、II、III将分别耗用0.06人、0.04人、0.1人。

公司是利润导向型，管理层认为必须将保持稳定利润的目标放在第一位，并给其分配以权重5；投资资金限制的目标放在第二位，权重分配为4；保持员工队伍稳定的目标放在第三位，分成两部分，一是避免裁员，二是避免增员。鉴于前者的危害性比后者要严重，二者的权重分别取为3和2。 目前有竞争企业也在筹划开发生产类似的新产品，因此公司管理层必须尽快做出决策。 8、降落伞的选购

为空投救灾物资2000kg，需选购一些降落伞。空投高度为500m，降落伞落地时的速度不能超过20m/s。 降落伞伞面是半径为rm的半球面，通过每根长lm的16根绳索连接的载重m位于球心正下方的球面处，如下图所示：

每个降落伞的价格由三部分组成：伞面费用C1由伞的半径r决定，见附表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4$/m决定；固定费用C3为200$。

降落伞在降落过程中受到的空气阻力可以认为与降落速度和伞面积的乘积成正比。为了确定比例系数，用半径为r?3m，载重为m?300kg的降落伞从500m高度处做降落试验，测得各时刻t的高度h，见附表2.

试确定降落伞的最佳选购方案，即选购多少，每个降落伞的半径多大（在附表1中选取）。 附表1：

r（m） C1（$） 附表2：

2 65 2.5 170 3 350 3.5 660 4 1000 t（s） 0 3 470 6 425 9 372 12 317 15 264 18 215 21 160 24 108 27 55 30 1 h（m） 500 9、航班线路

某航空公司在六个城市c1,c2,?,c6设有分公司，各城市之间的单程直达的票价如下面的矩阵所示：

402510??01520?25?1501020???

201001025??2010055??25?25550??其中?表示对应两个城市之间无直达线路。试求任两城市之间的旅费最省的线路（要求编写LINGO和

MATLAB程序）。

10、购车方案的设计

在经过多年商场的打拼后，王先生打算购买一辆小轿车，轿车的售价是12万元人民币。购车后，每年花在车上的维护费与车龄（使用年数）有关，如下表1所示：

表1

车龄 维护费 （单位：万元） 0～1 2 1～2 4 2～3 5 3～4 9 4～5 12 ?0??50????40?25??10?50?王先生计划在未来5年内，将旧车售出，再购买新车。5年内二手车的售价如下表2所示： 表2

车龄 售价 （单位：万元） 1 7 2 6 3 2 4 1 5 0 请帮助王先生设计一个购买轿车的方案，使5年内的总花费最省。 11、汽车租赁公司的运营

一家汽车租赁公司在3个相邻的城市A、B、C运营。为方便顾客起见，公司承诺：在某一个城市租赁的汽车可以在三个城市中的任意一个归还。根据经验估计和市场调查，在一个租赁期内，在城市A租赁的汽车在城市A、B、C归还的比例分别为0.6、0.3、0.1；在城市B租赁的汽车在城市A、B、C归还的比例分别为0.2、0.7、0.1；在城市C租赁的汽车在城市A、B、C归还的比例分别为0.1、0.3、0.6。公司开业时，将600辆汽车平均分配给3个城市。试建立运营过程中汽车的数量在3个城市之间转移的模型，讨论时间充分长时的变化趋势，并分析这一变化趋势是否与600辆汽车的最初分配方案有关。 12、路灯照明

在一条宽20m的道路两侧，分别安装有两只功率为2kW和3kW的路灯，其距离地面的高度分别为5m和6m。问：（1）在漆黑的夜里，当两只路灯都开启时，其连线的路面上最亮点和最暗点分别在哪里？（2）若3kW的路灯的离地高度可以在3m到9m之间调节，结果如何？（3）若两只路灯的离地高度都可以在3m到9m之间调节，结果又如何？ 13、路灯更换策略

路政处负责一条街道上的路灯的维护。在进行维护时，首先要向有关部门提出电力使用和道路管制申请，再使用云梯车进行线路检查以便确定是否更换灯泡， 最后向维护人员支付报酬等。显然，这些维护费用往往比灯泡本身的成本要高出很多，因此，灯泡坏一个就马上换一个的做法是不可取的。有鉴于此，路政处一般采取整批更换的策略，即到一定时间（称为更换周期）时，所有灯泡无论好坏全部更换。

市政管理局通过检查灯泡是否正常工作对路政处进行日常监督和管理，一旦发现灯泡不亮，即对路政处按照折合计时进行罚款。然而，路政处面临的难题是：如果灯泡更换过早，则因许多灯泡尚未损坏即被换掉而造成浪费；如果更换过晚，则会受到罚款.试为路政处确定一个最佳的路灯更换周期。 14、慢跑者与狗

(x?10)2(y?20)2一个慢跑者在坐标平面上沿椭圆??1以恒定速率v?1慢跑。突然，一只狗从坐

400225标原点出发，以速率w跑向慢跑者，且跑的方向始终指向慢跑者。试分别求出w?20和w?5时狗的运动

轨迹，并分析狗是否能追上慢跑者。

15、卫星轨道的长度

1970年4月24日，我国自行设计制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，由“长征一号”运载火箭一次发射成功。卫星运行轨道距地球最近点s1?439公里、最远点s2?2384公里，轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.5度，绕地球一周耗时114分钟。卫星重173公斤，用20009兆周的频率播送《东方红》乐曲。求该卫星运行轨道的长度。 16、海域水深

在某海域测得一些地点(x,y)处的水深z见下表： x y z 103.5 129 88 185.5 195 105 157.5 107.5 77 81 162 117.5 141.5 7.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 56.5 -66.5 84 8 4 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 若船的吃水深度为5英尺，问：该船应避免进入矩形区域（75，200）×（-50，150）内的哪些地方？ 17、零件的轮廓线

待加工零件的轮廓线为一个左右对称的平面图形，下图是其粗略图形：

以轮廓线的几何中心为坐标原点，以过原点的水平线、竖直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系。 下表给出了轮廓线上横坐标x每隔0.2长度单位的数据点(x,y)（顺时针方向为序，由轮廓线的左右对称性，表中只给出右半部的数据）： 0.0、5.0 1.4、1.69 2.8、0.57 4.2、0.26 0.2、4.71 1.6、1.40 3.0、0.50 4.4、0.24 0.4、4.31 1.8、1.18 3.2、0.44 4.6、0.20 0.6、3.68 2.0、1.00 3.4、0.40 4.8、0.15 0.8、3.05 2.2、0.86 3.6、0.36 5.0、0.00 1.0、2.50 2.4、0.74 3.8、0.32 1.2、2.05 2.6、0.64 4.0、0.29 4.8、-1.40 4.6、-1.96 4.4、-2.37 4.2、-2.71 4.0、-3.00 3.8、-3.25 3.6、-3.47 3.4、-3.67 3.2、-3.84 3.0、-4.00 2.8、-4.14 2.6、-4.27 2.4、-4.39 2.2、-4.49 2.0、-4.58 1.8、-4.66 1.6、-4.74 1.4、-4.80 1.2、-4.85 1.0、-4.90 0.8、-4.94 0.6、-4.96 0.4、-4.98 0.2、-4.99 0.0、-5.00 用数控机床加工该零件时，刀具必须沿着数据点前进，并且刀具每次只能沿x方向或y方向前进0.05的步长。试计算合乎加工要求的数据点，并据此画出轮廓线的精确图形。 18、施肥效果分析问题

某地区作物生长所需的营养主要是氮(N)、磷(P)、钾(K)。某作物研究所针对该地区土豆、生菜两种作物的产量与施肥量之间的关系做了一定数量的实验，实验所得数据如下列表格所示，其中ha表示公顷，

t表示吨，kg表示公斤。

土豆：

N P K 施肥量产量施肥量产量施肥量产量(kg/ha) (t/ha) (kg/ha) (t/ha) (kg/ha) (t/ha) 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 生菜： N P K 施肥量产量施肥量产量施肥量产量(kg/ha) (t/ha) (kg/ha) (t/ha) (kg/ha) (t/ha) 0 28 56 84 112 168 224 280 336 392 15.02 12.70 14.56 16.27 17.75 22.59 21.63 19.34 16.12 14.11 0 49 98 147 196 294 391 489 587 685 6.39 9.48 12.46 14.33 17.10 21.94 22.64 21.34 22.07 24.53 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651 15.75 16.76 16.89 16.24 17.56 19.20 17.97 15.84 20.11 19.40 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 0 24 49 73 98 147 196 245 294 342 33.46 32.47 36.06 37.96 41.04 40.09 41.26 42.17 40.36 42.73 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651 18.98 27.35 34.86 38.52 38.44 37.73 38.43 43.87 42.77 46.22 当一种营养素的施肥量变化时，总将另外两种营养素的施肥量保持在第7个水平上，如对土豆产量关于N的施肥量作实验时，P和K的施肥量分别取在196kg/ha与372kg/ha。

试分析施肥量与产量之间的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面作出评估。 19、财政收入预测问题

财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952－1981年的原始数据，试构造预测模型。 国民收入工业总产值 农业总产值 总人口 就业人口 固定资产投资 财政收入 年份 （亿元） (亿元) （亿元） （万人） （万人） （亿元） (亿元) 1952 598 349 461 57482 20729 44 184 1953 586 455 475 58796 21364 89 216 1954 707 520 491 60266 21832 97 248 1955 737 558 529 61465 22328 98 254 1956 825 715 556 62828 23018 150 268 1957 837 798 575 64653 23711 139 286 1958 1028 1235 598 65994 26600 256 357 1959 1114 1681 509 67207 26173 338 444 1960 1079 1870 444 66207 25880 380 506 1961 757 1156 434 65859 25590 138 271 1962 677 964 461 67295 25110 66 230 1963 779 1046 514 69172 26640 85 266 1964 943 1250 584 70499 27736 129 323 1965 1152 1581 632 72538 28670 175 393 1966 1322 1911 687 74542 29805 212 466 1967 1249 1647 697 76368 30814 156 352 1968 1187 1565 680 78534 31915 127 303 1969 1372 2101 688 80671 33225 207 447 1970 1638 2747 767 82992 34432 312 564 1971 1780 3156 790 85229 35620 355 638 1972 1833 3365 789 87177 35854 354 658 1973 1978 3684 855 89211 36652 374 691 1974 1993 3696 891 90859 37369 393 655 1975 2121 4254 932 92421 38168 462 692 1976 2052 4309 955 93717 38834 443 657 1977 2189 4925 971 94974 39377 454 723 1978 2475 5590 1058 96259 39856 550 922 1979 2702 6065 1150 97542 40581 564 890 1980 2791 6592 1194 98705 41896 568 826 1981 2927 6862 1273 100072 43280 496 810 20、西红柿的施肥量与产量

为研究西红柿的施肥量对产量的影响，科研人员对14块大小一样的土地施加不同数量的肥料，收获时记录西红柿的产量，并在整个耕作过程中尽量保持其他条件相同，得到的数据如下表所示： 地块序号 1 2 3 4 5 6 7 产量（L） 1035 624 1084 1052 1015 1066 704 施肥量（kg） 6.0 2.5 7.5 8.5 10.0 7.0 3.0 地块序号 8 9 10 11 12 13 14 产量（L） 960 990 1050 839 1030 985 855 施肥量（kg） 11.5 5.5 6.5 4.0 9.0 11.0 12.5 试建立施肥量与产量的关系的模型，以便从施肥量对产量作出预测。

21、血压与年龄

（1）生活常识告诉我们，人的年龄越大，血压越高。为了解血压随着年龄的增长而升高的规律，某医学与健康机构随机采集了30个成年人的血压和年龄，如下表1所示：

表1

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 血压 （单位：mmHg） 144 215 138 145 162 142 170 124 158 154 162 年龄 （单位：岁） 39 47 45 47 65 46 67 42 67 56 64 序号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 血压 年龄 （单位：mmHg） （单位：岁） 130 135 114 116 124 136 142 120 120 160 158 48 45 18 20 19 36 50 39 21 44 53 12 13 14 15 150 140 110 128 56 59 34 42 27 28 29 30 144 130 125 175 63 29 25 69 试根据提供的数据来确定血压与年龄的关系，并计算60岁的人比50岁的人的血压（平均）高多少？ （2）世界卫生组织（WHO）颁布的“体重指数”的定义是体重（单位：kg）与身高（单位：m）之比的平方，它比体重本身更能反映人的胖瘦。下表2是上述30个成年人的血压、年龄、体重指数和吸烟习惯（1表示吸烟，0表示不吸烟）的测量数据：

表2 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 血压 年龄 （单位：mmHg） （单位：岁） 144 215 138 145 162 142 170 124 158 154 162 150 140 110 128 130 135 114 116 124 136 142 120 120 160 158 144 130 125 175 39 47 45 47 65 46 67 42 67 56 64 56 59 34 42 48 45 18 20 19 36 50 39 21 44 53 63 29 25 69 体重指数 24.2 31.1 22.6 24.0 25.9 25.1 29.5 19.7 27.2 19.3 28.0 25.8 27.3 20.1 21.7 22.2 27.4 18.8 22.6 21.5 25.0 26.2 23.5 20.3 27.1 28.6 28.3 22.0 25.3 27.4 吸烟习惯 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 试根据提供的数据来确定血压与年龄、体重指数和吸烟习惯之间的关系，分析吸烟习惯对血压的影响，

并预测体重指数为25的50岁吸烟者的血压。 22、刀具的寿命

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障。故障是完全随机的，且生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的。现积累有100

次故障纪录，出现这些故障时该刀具完成的零件数如下： 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851

试研究该刀具的寿命情况如何（即刀具出现故障时完成的零件数的分布情况如何）。 23、水塔的水流量

某居民区内有一个给居民供水的水塔，水塔是一个高12.2米、底面圆的直径为17.4米的正圆柱。一般可以通过测量水塔的水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔的水位下降到设定的最低水位8.2米时，水泵自动启动向水塔供水，再到设定的最高水位10.8米时停止供水，这段时间内无法测量水塔的水位和水泵的供水量。

某一天的水位测量记录如下表1所示，试据此估计任意时刻（包括水泵供水时）从水塔流出的水流量及一天的总用水量。

表1：水位测量纪录（//表示水泵启动） 时刻（h） 水位（cm） 0 968 0.92 948 1.84 931 2.95 913 3.87 898 4.98 881 5.90 869 7.01 852 7.93 839 8.97 822 时刻（h） 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 水位（cm） // // 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 时刻（h） 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 水位（cm） 866 843 822 // // 1059 1035 1018

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