直线与平面垂直的判定第二课时(线面角)

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1

直线与平面垂直的定义

内的任意一条直线都垂直， 如果直线 l 与平面 α内的任意一条直线都垂直， 内的任意一条直线都垂直 我们说直线 互相垂直， 我们说直线 l 与平面 α互相垂直， 记作 l ⊥ α . 互相垂直平面 垂足

α 的垂线直线 l 的垂面

lα直线与平面的一条 边垂直

P

性质定理 线线垂直 线面垂直

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2

直线与平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 两条相交直线 则该直线与此平面垂直. 直，则该直线与此平面垂直.

l⊥a l ⊥b a α b α a ∩b = A

l ⊥α 判定定理

l

b

α

A

a

线线垂直

线面垂直

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3

两条平行直线中的一条垂直一个平面, 两条平行直线中的一条垂直一个平面 则另一条直线也垂直这个平面已知a ⊥ α , a // b, 则b ⊥ αa

b

α

m

n

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如图,PD⊥平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证 ⊥ AB⊥PC. ⊥ 证明: ∵ PD⊥平面ABC, ⊥而CD在平面ABC内， ∴ PD⊥ AB ⊥

P C A D B

又∵ △ABC为等腰三角形,D为AB的中点,

∴ AB ⊥ CD ⊥ ∴ AB⊥平面PDC ∴ AB ⊥PC

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1、斜线在平面内的射影 、 (1)点在平面内的射影 ) 过一点向平面引垂线， 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影 射影. 平面内的射影P

α

Q

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(2)平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 平面的斜线、斜足、 一条直线和一个平面相交， 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 这条直线叫做平面的斜线 平面的斜线， 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足 从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线， 斜足 从平面外一点向平面引斜线 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段 平面的斜线段. 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段平面的斜线 P 点P到平面的斜线段 Q α 斜足

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(3)斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 斜线在平面内的射影、 的射影. 的射影. 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影. 这个平面内的射影P

斜线段在平面内的射影α M Q

斜线在平面内的射影

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知识探究： 知识探究：直线和平面所成的角

思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 1: 在一个相对倾斜度， 在一个相对倾斜度，应该用什么角来反 映这个倾斜度？ 映这个倾斜

度？ l

α

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思考2:如图，AB为平面α 思考2:如图，AB为平面α的一条斜 2:如图 为平面 为斜足，AC为平面α内的任意 线，A为斜足，AC为平面α内的任意 一条直线，能否用∠BAC反映斜线 反映斜线AB 一条直线，能否用∠BAC反映斜线AB 与平面α的相对倾斜度？为什么？ 与平面α的相对倾斜度？为什么？B

A

α

C

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思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 3: 的平面角的顶点为斜足， 的平面角的顶点为斜足，角的一边 在斜线上， 在斜线上，另一边在平面内的哪个 位置最合适？ 位置最合适？P

α

A

B

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P 斜线 垂线

α

A

θ

平面的一条斜线和它在平面 平面的一条斜线和它在平面 斜线 内的射影所成的锐角，叫做这条 射影所成的锐角 内的射影所成的锐角，叫做这条 直线和这个平面所成的角

O

斜线在平面上的射影

一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 一条直线和平面平行，或在平面内，它们所 成的角是0 成的角是0 °的角

直线和平面所成角的范围是[0° 90° 直线和平面所成角的范围是[0°,90°]

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直线和平面所成的角证明： 证明：设直线 平面的一条斜线不 OD是α内与 和它在这个平面内的射影所成 是 内与a不 的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 和这个平面所成的角 同的任意一条直 过点A引 线,过点 引AC 过点 a ∠AOB(记为θ)是a与α所成的角 (记为θ 垂足为 与 垂直OD垂足为 垂直 A C. 因为AB< , 因为 <AC, 所以 θ O AB/AO<AC/AO < B C 最小角定理 α D 即 sinθ< ∠AOC. θ<sin∠ θ< 斜线和平面所成的角， 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面 因此θ<∠ θ<∠AOC 因此θ<∠

内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角

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例1 分别指出对角线 1C与六个面所成的角 分别指出对角线A 与六个面所成的角 与六个面所成的角. D1 A1 D A B B1 C11、找到或作出直线与平面 、 所成的角 2、证明 图中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、

C

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[例1]:如图，在正方体 例 ：如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中， 中 (1)求A’D与平面 与平面ABCD所成的角； 所成的角； 求 与平面 所成的角 (2)求AC’与平面 与平面ABCD所成的角正弦值。 所成的角正弦值。 求 与平面 所成的角正弦值D’ C’ B’ D A B C

线面角的计算： 线面角的计算： 角的计算1、找到或作出直线与平面所成 、 的角 2、证明 图中的角就是所求的角 、 3、计算出此角的大小 、

A’

计算” 一“作”二“证”三“计算”

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(课本例2).如图所示, 在正方体ABCD A1 B1C1 D1中, 求直线A1 B和平面A1 B1CD所成的角.D

1

C1

A1D

B1

OC

A

B

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如图，AB为平面 的一条斜线， 为平面α 例2 如图，AB为平面α的一条斜线， 为斜足，AO⊥平面 平面α 垂足为O B为斜足，AO⊥平面α,垂足为O,直 BC在平面 在平面α 已知∠ABC=60° 线BC在平面α内，已知∠ABC=60°, OBC=45° 求斜线AB和平面α AB和平面 ∠OBC=45°,求斜线AB和平面α所成 的角. 的角.A

B O D

α

C

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3:如图，已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内 如图，已知Rt△ABC的斜边BC在平面α Rt 的斜边BC在平面 两直角边AB AC和平面 AB、 和平面α ,两直角边AB、AC和平面α所成的角分别为 求斜边上的高AD和平面α AD和平面 450和300,求斜边上的高AD和平面α所成的 角的正弦值。 角的正弦值。A

O B C D

α

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4:如图，∠BOC在平面α内，OA是α的斜 如图，∠BOC在平面α 在平面 OA是 ,AO=BO=CO=a, 线，若∠AOB=∠AOC=600,AO=BO=CO=a,BC= 2a OA和平面 所成的角. 和平面α ,求OA和平面α所成的角.A

B C

O O O O

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