《博弈论：原理、模型与教程》第07章 子博弈精炼Nash均衡 第02节 子博弈精炼Nash均衡的求解

《博弈论：原理、模型与教程》

第二部分 完全信息动态博弈

第7章 子博弈精炼Nash均衡

7.2 子博弈精炼Nash均衡的求解（重点！）

（已精细订正！）

定义7－1虽然给出了子博弈精炼Nash的定义，但没有说明如何求解子博弈精炼均Nash衡。

下面以图6－8 中扩展式博弈为例，介绍一种最常用的求解子博弈精炼Nash均衡的方法—逆向归纳法。 （讲！）

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1 A x1 BC2 x2DFx6x4 1 x 3E2，1 x51，1 1，2 6 x73，0 图6-8 博弈树

考察图6－8中的博弈。参与人1在博弈开始时（即在信息集

I1(?x1?)上面临两种选择—行动A和行动B。参与人1此时选择哪种行

动呢？对于理性的参与人1来讲，只会选择使自己支付最大化的行动。从图6－8很容易知道参与人1选择行动B时所得到的支付为2；但是，如果参与人1选择行动A，则所得支付就要取决于参与人2在信息集I2(?x2?)上的选择，以及博弈达到决策结x3时参与人1在信息集

I1(?x3?)上的选择。也就是说，参与人

1选择行动A所得支付，取决于

子博弈?(x2)的结果。因此，为了确定参与人1在博弈开始时的选择，就必须确定参与人1选择行动A的所得支付，而为了确定参与人1选择行动A的所得支付，就必须先求解子博弈?(x2)。如何求解博弈?(x2)呢？可以采用同样的方法来求解子博弈?(x2)，即在求解子博弈?(x3)的基础上，确定参与人2在信息集I2(?x2?)上的选择，从而求解子博弈

?(x2)。

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由以上分析可以得到图6－8中博弈的求解过程：

首先求解博弈树中最底层的子博弈?(x3)得到子博弈?(x3)的结果为

(3,0)（即参与人

1选择E）；

再求解博弈?(x2)，容易得到博弈的结果(1,1)（即参与人2选择D）； 最后求解原博弈，即子博弈?(x1)，得到博弈的结果为(2,1)（即参与人1选择B）。

（讲！）

考察更一般的情形。对于图7－6中的博弈树，参与人i在信息集

Ii({xi})选择行动L还是行动R，取决于选择行动L和行动R所带来的

后果。由于参与人i选择行动L时使博弈进入了子博弈?(xi?1)，因此参与人i选择行动L的后果就是得到子博弈?(xi?1)。同样，参与人i选择行动R的后果就是得到子博弈?(xi?2)。所以，参与人i在信息集Ii({xi})上的最优选择，取决于参与人i在信息集Ii({xi})上可能采取的行动，所导致的各个子博弈。也就是说，参与人i在信息集Ii({xi})上的最优选择，一定是使博弈进入能给自己带来最大支付的子博弈。因此，为了确定参与人i在信息集Ii({xi})上的选择，就必须先求解参与人i在信息集Ii({xi})上可能采取的行动所导致的各个子博弈。而对于各个子博弈求解又可以采用同样方法进行。

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i L xi R j xi?1 'L j xi?2 'R L''R

图7－6 一般情形的博弈树

由以上分析可以得到求解有限扩展式博弈的一般步骤： ?找出博弈的所有子博弈1。

?按照博弈进行的“反方向”逐一求解各个子博弈，即最先求解最底层子博弈，再求解上一层的子博弈，……，直至原博弈。也就是说，在求解每一个子博弈时，该子博弈要么不含有其他任何子博弈，要么所含子博弈都已被求解。

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由于原博弈为有限扩展式博弈，因此博弈的子博弈有限。

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上述求解有限扩展式的方法亦称“逆向归纳法”（backward induction）。由于逆向归纳法对各个子博弈逐一进行求解，因此逆向归纳法所得到的解在各个子博弈上构成均衡。这也意味着逆向归纳法所得的解为子博弈精炼Nash均衡。

（重点，讲！）

【例7-2】 考察如图7－7所以的扩展式博弈。图7－7中，博弈存在5个子博弈，即子博弈 ?(x3)、?(x4)、?(x5)、?(x2)和?(x1)（即原博弈），其中?(x3)、?(x4)和?(x5)为最底层的子博弈。

下面利用逆向归纳法求解博弈的子博弈精炼Nash均衡。

1 x1 L R 2 2 x x3 L 'R'L 'R x11'1 L x 2, 1 \1 x4 x5 x10 2, 3 R x9 4,1 \R x73, 2 \L x8 2, 3 \5, 1 图7－7 逆向归纳法求解扩展式博弈

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