输油管的布置

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 3247 所属学校（请填写完整的全名）： 广东石油化工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄景新 2. 林吉达 3. 梁嘉宇 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 袁福坤

日期： 2010 年 9 月 11 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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输油管的布置

摘要

输油管的合理布置，能使成品油的输送距离尽量缩短，能减少建设输油管的费用。在实际问题中，先考虑各种可能建设管道的路线，提出建设管线方案，再进行优选。

对问题一，分别构建了共用管线与非共用管线费用相同或不同时的三种模型，分别为“T”型管线模型、“Y”型管线模型、“V”型管线模型，特别在“Y”型管线模型中利用费尔马点找到最短的建设管线，并对“T”型管线模型、“V”型管线模型也做了进一步优化。

对问题二，在共用管线与非共用管线费用相同的条件下建立三种模型。对甲级公司和乙级公司给出的拆迁费、补偿费等附加费用，利用加权平均法进行估计计算，求得附加费用为21.5万元/千米，并用MATLAB求解问题二中的各种方案的最优解。优选后发现“V”型管线模型比其它模型的建设费用都少，为最好的管线建设方案，建设费用为282.9381万元。

对问题三，在共用管线与非共用管线不同的条件下建立三种模型，通过对移动管线交接点比较“Y”型和“V”型管线的费用增加量，得到“V”型比“Y”型更优，再通过求取“V”型和“T”型的最优解，比较后得到“V”型管线建设方案是最佳方案，需要建设费用为252.1769万元。

关键词：输油管 加权平均法 最短路径 最小费用

1

一、问题背景与重述

1.1 问题背景

某油田计划在铁路一侧建造两家炼油厂，同时，为了成品油的运送，选择在铁路线上建设一个车站，车站的建立必然在两炼油厂相对于铁路的平面投影之间。车站、炼油厂、输油管道的构建模式具有普遍性，油田设计院希望能提出一个方案使得从两炼油厂到车站建设输油管线所需的费用最少。

1.2 问题重述

1）针对两炼油厂到铁路和两炼油厂之间的距离的各种不同情形，提出设计方案。在方案设计时，注意考虑共用管线费用与非共用管线费用相同和不同的情形。

2）考虑到实际情形，假设A炼油厂在郊区，B炼油厂在城区，且已知A厂和B厂到铁路的距离和两厂在铁路上的水平投影之间的距离以及A厂离城区的距离。已知管线的单位建设费用为每千米7.2万元，同时估计了城区的拆迁和工程补偿费用，需要设计出管线布置最优方案以及相应的最小费用。

3）为进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，选择相适应的油管。这时，A厂的输油管建设费用降为每千米5.6万元，B厂的降为每千米6.0万元，共用管线为每千米7.2万元，拆迁等费用同问题二。求出管线的最佳布置方案及相应的费用。

二、问题分析

对于油田设计院来说，一个好的油管建设方案应该是造价最少的。因此，在管线的价钱一样的时候，建设的管线最短则是最好的方案，但是各油厂管线的建设费用并不一定相等。因此，对问题一，不需要比较哪种方案造价最少，只需要给出各种能建设的方案以及该方案的最优解，并根据共用与非共用管线费用相同与不同两种情况进行讨论。

对问题二，给出了每千米管线的建设费用，且炼油厂与铁路的相对位置确定。求解最少费用不仅要考虑管线的建设费用，还要考虑城区管线建设时的拆迁费、补偿费等附加费用。用代数法和MATLAB求得最优解，得出最优管线建设方案及其相应费用。

对问题三，在问题二的基础上调整了各种管线的单位建设成本，拆迁费、补偿费等费用不变。用代数法和MATLAB求得各种方案最优解，选出最佳建设方案。

三、问题假设

1.假设施工路段铁路是直线型；

2.假设施工范围内任何地方都能建设直线管线； 3.车站可以建设在铁路线上的任何位置。

四、符号说明及概念定义

A、B ---------------- 分别表示炼油厂A，炼油厂B； D、L ---------------- 分别表示车站D,铁路L；

I ---------------- 表示建设管线的总费用；

IT ---------------- 表示“T”模型时管线建设的总费用；

2

IV ---------------- 表示“V”模型时管线建设的总费用；

PA ---------------- 表示炼油厂A每千米管线的建设费用； PB ---------------- 表示炼油厂B每千米管线的建设费用；

PAB ---------------- 表示炼油厂A、B每千米共用管线的建设费用；

Q ---------------- 表示城区建设管线的附加费用；

s ---------------- 表示需建设管线的长度。

五、模型的建立与求解

5.1 模型的分析

这是一个两点到直线距离之和的数学模型，但是由于管线的费用有相同和不同的情况，模型就不局限于距离最短的模型，需要对问题做多种模型假设，求出最佳的管线建设方案与相应的最小费用。

5.2 问题一的模型建立

首先约定炼油厂分别为A、B，车站为D，管线每千米建设费用分别是A厂为PA，B厂为PB,共用管线为PAB。针对两炼油厂所需管道大小和建设管线的施工难易度相同或不同，有三种不同的假设：

（1）所有管线每千米的建设费用都相同，即PA?PB?PAB；

（2）非共用管线每千米的建设费用相同，与共用管线每千米费用不同，即PA?PB?PAB； （3）所有管线每千米的建设费用都不相同，即PA?PB?PAB。 5.2.1 PA?PB?PAB时的各种方案

三点不共线时，当所用管线每千米的建设费用相同，即PA?PB?PAB时，若管线最短，则费用最少。因此，定义铁路为L，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为O、C，以L为x轴，O为原点，建立直角坐标系?1?（如图1所示）。

3

y A P B y=l O D 图1

L C x

设A(0,a)，B(c,b)（不妨设b?a），P(x,l),点P到L的距离为PD。易知，欲使PA+PB+PD最小，点P一定在四边形OABC内部（包含边界）。

若l?a，即点P在直线y?a的上方（如图2所示）。由于

PA?PB?PD?AB?PD?AB?AO。所以，PA?PB?PD取得最小值时，点P不可能

在A点的上方， 故0?l?a。

为了便于问题的解决，先固定l的大小，使点P在直线y?l上移动。如图2，设点A关于直线L1:y?l的对称点为A'，则A'的坐标为（0，2l?a）。

B y

A A' p L1: y=l O D 图2

记S?PA?PB?PD，由平面几何知识可知：

S?PA?PB?PD?PA'?PB?PD?AB?PD?'L C x

c?(b?2l?a)?l(0?l?a)22

记 f(l)?c2?(2l?a?b)2?l(0?l?a) （1）

4

对f(l)求导（见附录一），可得 l?a?b23c6a?b2?3c6

又由0???a?3(b?a)?c?3(a?b)

约定s为需要建设管道的长度，由以上讨论有：

① 当0?c?3(b?a)时，易判断f'(l)?0，即f(l)在区间[0，a]上单调递减，所以 f(l)min?f(a)?a?c2?(a?b)2 （2）

此时，易求出点P的坐标为（0，a），即点P与点A重合时，s最小。 ② 当3(b?a)?c?3(a?b)时，易判断f(l)在区间[0，a?b23c6a?b2?3c6]上单调递减，在区

间[?,a]上单调递增，所以

22 f(l)min?

由l?a?b2?3c6a?b3cf(?)?26c?c3??a2b3?c6??a?b32 （3）

c可知点A'的坐标为(0,b?3c3)

所以，直线A'B的方程为：

y?33x?b?3c3；

直线y?l为：

a?b23c6y??。

??33c3(a?b)?cx?b??y??y???332联立方程组得：???a?b3ca?b3c??y??y????2626?? （4）

所以，点P坐标为P(3(a?b)?ca?b,?223c6)时，s最小。

5

③ 当c?3(a?b)时，易判断f'(l)?0，即f(l)在区间[0,a]上单调递增。 所以

f(l)min?f(0)?c2?(a?b)2 （5） 此时A'的坐标为A'(0,?a)，直线A'B的方程为：y?所以，点P坐标为P(综上所述：

① 当0?c?3(b?a)时，smin?a?c2?(a?b)2，此时点P的坐标为（0，a）； ② 当

3(b?a)?c?3(a?b)a?bcx?a，令y?0得x?aca?b

aca?b,0)时，s最小。

时，smi?na?b?23c，此时点P的坐标为

P(3(a?b)?ca?b,?223c6)；

③ 当c?3(a?b)，smin?c2?(a?b)2，此时点P的坐标为P(aca?b,0)。

当共用管线的费用和非共用管线的每千米建设费用相同，即PA?PB?PAB时，可通过以上等式得出各个方案的最少费用如下：

① Imin?PA[a?c2?(a?b)2] （6） ② Imin?PA(a?b?23c) （7）

③ Imin?PA[c2?(a?b)2] （8） 5.2.2 PA?PB?PAB时的各种方案

当A厂成品油输送管线每千米的建设费用和B厂的相同，而与共用管线的每千米建设费用不同，即PA?PB?PAB时，不妨设b?a，根据以上对最小管线的讨论，可以得到以下几种模型：

①“T”型管线模型

P A B b C

d H a D 图3 “T”

6

令AB之间的距离为l，PH之间的距离为d，由图3可知，两炼油厂到车站需要建设管线的长度为

s?BP?AP?d

由于b?d?a，很显然

s?BP?AP?d?BP?AP?a

可得“T”型管线模型的最短管线：

smin?AP?BP?a?l?a （9） 最小费用为：

Imin?PA?l?PAB?a （10） ② “Y”型管线模型

B A H a O x h D c 图4 “Y”型

b C 设OD的距离为x，OC的距离为c，HD的距离为h，如图4。则：

2222 s?(a?h)?x?(b?h)?(c?x)?h （11）

所需费用：

I?PA[(a?h)2?x2?(b?h)2?(c?x)2]?PABh （12） ③ “V”型管线模型

B A b x D c 图5 “V”型

如图5，“V”型管线模型没有共用管线，设OD的距离为x，OC的距离为c。则：

s?a2?x2?b2?(c?x)2 （13） 所需费用： I?PA[a2?x2?b2?(c?x)2] （14）

7

a O C

5.2.3 PA?PB?PAB时的各种方案

当A厂成品油输送管线每千米的建设费用和B厂的不同，也与共用管线的每千米建设费用不同时，即，也有PA?PB?PAB时的三种模型，但由于每千米的建设费用不同，该方案的建设费用与PA?PB?PAB时不同。

结合各种模型的模型图，根据5.2.2中求得的各种模型的管线s的表达式，可得

PA?PB?PAB时的管线长度与总建设费用I的表达式如下：

“T”型管线模型的管线长度：s?lBP?lAP?d； （15） “T”型管线模型的建设费用：I?PB?LBP?PA?LAP?PAB?d； （16）

2222“Y”型管线模型的管线长度：s?(a?h)?x?(b?h)?(c?x)?h； （17）

“Y”型管线模型的建设费用：I?PA?(a?h)2?x2?PB?(b?h)2?(c?x)2?PAB?h；（18） “V”型管线模型的管线长度：s?a2?x2?b2?(c?x)2； （19） “V”型管线模型的建设费用：I?PA?a2?x2?PB?b2?(c?x)2。 （20） 5.2.4 PA?PAB?PB时的各种方案

当PA?PAB?PB时，令PC?PAB?PA，同理可得： “T”型管线模型的管线长度： s?lBP?lAP?；d （21）

“T”型管线模型的建设费用：I?PB?LBP?PC?(LAP?d)； （22）

2222“Y”型管线模型的管线长度：s?(a?h)?x?(b?h)?(c?x)?h； （23）

“Y”型管线模型的建设费用：I?PC?((a?h)2?x2?h)?PB?(b?h)2?(c?x)2；（24） “V”型管线模型的管线长度：s?a2?x2?b2?(c?x)2； （25） “V”型管线模型的建设费用：I?PC?a2?x2?PB?b2?(c?x)2。 （26） 5.2.5 PB?PAB?PA时的各种方案

当PB?PAB?PA时，令PD?PAB?PB，同理可得：

“T”型管线模型的管线长度：s?lBP?lAP?d； （27）

8

“T”型管线模型的建设费用：I?PD?(LBP?d)?PA?LAP； （28）

2222“Y”型管线模型的管线长度：s?(a?h)?x?(b?h)?(c?x)?h； （29）

“Y”型管线模型的建设费用：I?PA?(a?h)2?x2?PC?((b?h)2?(c?x)2?h)；（30） “V”型管线模型的管线长度：s?a2?x2?b2?(c?x)2； （31） “V”型管线模型的建设费用：I?PA?a2?x2?PD?b2?(c?x)2。 （32）

5.2.6 三点共线时的特例 当三点共线时，如图：

B A D 图6

由图6可知，s?BA?AD。其中BA为B厂需要建设的管线，AD为共用管线。由于两点间直线距离最短，可知，三点共线时，直线最小。因此，当A、B、D三点共线时，只讨论如图模型的两种情况。

① 当PA?PB?PAB时， 建设管线的费用为：

I?PA?s?PA(BA?AD)； （33） ② 当PA?PB?PAB时， 建设管线的费用为：

I?PB?BA?PAB?AD （34） ③ 当PA?PAB?PB时，（令PC?PAB?PA） 建设管线的费用为：

I?PB?BA?PC?AD （35） ④ 当PB?PAB?PA时，（令PD?PAB?PB） 建设管线的费用为：

I?PA?BA?PD?AD （36）

9

5.3 问题二的最优解

题目中已经给出该情形的两厂区的具体位置，如图7。已知A厂区位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a=5，b=8，c=15，l=20。

图7

5.3.1 分析郊区的最短管线

考虑到城区需要附加拆迁补偿费，管线最短的方案不一定就是费用最少的方案。设城区管线与郊区管线交接处H与铁路的距离为h，依题意知0?h?8（因为当h大于8时即h?b，明显增加建设费用）。

由于管线在郊区的建设费用一样，即PA?PB?PAB ，则郊区的最短管线路线可由5.2.1中的三种模型的条件 ① 0?c?3(b?a) ；②3(b?a)?c?3(a?c) ； ③ c?3(a?b)，结合（图8）和题目中所给数据可得到：

① 当0?c?3(h?a)，即当h?13.660时，管线s取得最小值smin；

② 当3(h?a)?c?3(a?c)，即当3.660?h?13.660时，管线s取到最小值smin； ③ 当c?3(a?h)，即当h?3.660时，管线s取到最小值smin。

5.3.2 分析城区的拆迁补偿费

为对城区的拆迁和工程补偿费进行估计，聘请了三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：

工程咨询公司 附加费用（万元/千米） 公司一 21 公司二 24 公司三 20 附加费用定义为Q，利用加权平均法对三家公司的估算进行计算，加权系数如下： 甲级公司：0.5 乙级公司：0.25

10

附加费用加权平均后的值：

Q=21?0.5+24?0.25+20?0.25=21.5（万元/千米）。

当一级公司和二级公司所加权重不同的时候，例如：

甲级公司：0.4 乙级公司：0.3

用同样的方法可求得：

Q?21.6（万元/千米）

由此可知，所加权重不同时对附加费的影响不大。以下计算则采用Q?21.5万元每千米。

5.3.3 优选各种方案的及求解相应费用

已知郊区每千米管线的建设费用为7.2万元，则城区每千米管线的建设费用为21.5?7.2?28.7万元。考虑到0?h?8，因此，只对5.3.1中的②和③进行求解，且②中h的区间为3.660?h?8，定义A厂管线、B厂管线与共用管线的交点为P，分析如下。

（1）当3.660?h?8时，由5.2.1中的方案②可知，此时三条管线交点坐标

P(3(a?h)?ca?h,?223c6)，可得模型（如图8）：

H P D h h D 图9

图8

该方案管线总长度： s?管线建设费用：

5?h?1532?

5?(8?h)； （37）

22 I?3.6(5?h?153)?28.75?(8?h)； （38）

22利用MATLAB（见附录二程序一）求出最小值为：

Imin?282.9381（万元）

（2）当h?3.660时，由5.2.1中的方案③可知，此时P的坐标为P(aca?b,0)，显然，两

11

炼油厂的管线于车站D相交，可得模型（如图9）。 该方案管线总长度： s?管线建设费用：

I?7.2225?(5?h2)?25?(h?8； ) （39）

222?5(?5h2?)28.7?5?h(；8 ) （40）

22利用MATLAB（见附录二程序二）求出最小值为：

Imin?325.3396（万元）

显然，方案②的管线建设最小费用为282.9381万元，而方案③的为325.3396万元，

应该采用方案②布置管线（即“V”型管线模型），最小费用为282.9381万元。

5.4 问题三的最优解

为进一步节省费用，管线建设费用分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为7.2万元，拆迁等费用与5.3相同。5.3中已经用加权平均法算出了拆迁及工程补偿费为每千米21.5万元，且城区只扑B厂的输油管线，所以，城区费用为：

22（8-h） (41) I城区=27.55?

5.4.1 “T”型模型的引申求解

H h

如（图10）所示，总管线长度：

图10

2222(?5)? s?5?15?h5?(h8? ) （42）

管线建设费用：

2 IT?5.6?5?615?h(?25)?27.5?5h?；( 8 ) （43）

22通过MATLAB（见附录二程序三）计算管线建设费用最小值为：

IT?257.2824（万元）

12

5.4.2 “V”型模型的引申求解 如（图9）所示，总管线长度： s?管线建设费用：

IV?27.5252?(8?h)?2(15?x?)h2?2 （44） 5?x25?(?8h2)?6(?x15?h)?225.6?x5 （45）

2通过MATLAB（见附录二程序四）计算，当x?8,h?8取得最小值，且最小值为：

IV?252.1769（万元）

5.4.3 “Y”型与“V”型引申求解的比较

假设城区和郊区管线建设交点高为h?b?8km，与“V”模型对比，当两管线交点高度与车站位置相同时，通过建设公用管线费用PAB的增加量与建设非公用管线建设费用PA减少量作减法计算，求得费用差I差，从而评价出“V”“Y”模型的最优方案。

h P D 图11

222 如图（11），结合上面5.3.3讨论的管线长度，可得费用差方程为：

I差=7.2h?5.6[5?x?22(5?h)?x]?6[8?(15?x)?222(8?h)?(15?x)] （46）

通过MATLAB（见附录二程序五）求得，在x?2,h?2时，费用差的最小值Imin为：

Imin=?0.0268万元

而“V”型管线模型在x?2,h?2时，费用IV'为：

IV=349.3325万元

很明显，“Y”型管线模型相对与“V”型管线模型时，在x?2,h?2时建设费用减少?0.0268万元，与349.3325?252.1769?97.1556万元的费用相比相差很大。这说明P点上移，所省的费用不大，当P点在车站D处的时候，建设费用最省。 所以，“V”型管线模型比“Y”型管线模型更好。

13

'

5.4.4 最优方案与相应费用

最后，通过“V”型管线模型与“T”型管线模型的最优解对比得出，“V”模型的方案为最佳的方案。当取用“V”型管线模型方案时，最优解为：

IV?252.1769万元

六、模型的评价与推广

本文在考虑管线建设模型时从多方面建立了多种模型，较为全面地分析了建设管线最少费用的各种可能性，求得在建设管线的每千米费用相同与不同的情况下的最小费用。方案比较符合实际，为炼油厂与车站的选择、输油管道的建设提供可行的施工方案。

为求解各个方案的最小值，各模型采用了MATLAB软件辅助计算，大大减少了处理数据的工作量。另外，通过对车站与炼油厂相对位置的综合分析，结合炼油厂间的距离以及炼油厂与铁路的距离的具体情况，合理地分析了最佳站点与最短管线以及求得了最少费用，这是构建模型时的最大特点。

本文的模型不仅是几种特例的分析与计算，同时也具有普遍性，当各段管线的费用有变动时，亦能很快通过本模型得出最佳方案并求取最优解。因此，该模型简单，直观，便于计算，同时能得出最优解，适合推广。

参考文献

【1】储炳南，三角形“费尔马点”的一个推广

http://dlib.edu.cnki.net/kns50/detail.aspx?QueryID=33&CurRec=1 2010.9.10 【2】胡桂松，由“费尔马点”问题引发的联想

http://dlib.edu.cnki.net/kns50/detail.aspx?filename=SXTB200501013&dbname=CJFD2005 2010.9.10 【3】杨筱蘅 张国忠，输油管线设计与管理，石油大学出版社 1996.8 【4】钱颂迪，运筹学，清华大学出版社，1990.1

14

附录

附录一： 2(2l?a?b)2(2l?a?b)?c?(2l?a?b)22f'(l)?c2?1??(2l?a?b)2c2?(2l?a?b)2

f'(l)?0?c2?(2l?a?b)2?2(a?c?2l)?0 ?c2?(2l?a?b)2?4(a?b?2l)2 ?c2?3(2l?a?b)2

?0 ?[c?3(2l?a?b)][c?3(2l?a?b)]?0

a?b3ca?bc

?l?2?6或l?2?36?a(舍去)

附录二：

程序一

>> clear h=3.660:8;

I=3.6*(5+h+15*sqrt(3))+28.7*sqrt(89+h.^2-16*h) I =

314.7250 300.8785 290.3443 284.0708 282.9381

程序二

>> clear h=0:3.660;

I=7.2*sqrt(250+10*h+h.^2)+28.7*sqrt(89+h.^2-16*h) I =

384.5973 363.2063 343.3354 325.3396

程序三

>> clear h=0:15;

I=28+6*sqrt(250-10*h+h.^2)+27.5*sqrt(89-16*h+h.^2) I =

Columns 1 through 12

382.3028 357.7090 334.5642 313.2508 294.2857 257.2824 261.3681 270.9604 285.2841

Columns 13 through 16

303.4036 324.4544 347.7390 372.7305

程序四

>> clear h=0:15;

15

278.3512 266.2918 259.0195

x=0:15;

I=27.5*sqrt(89+h.^2-16*h)+6*sqrt(225-30*x+x.^2+h.^2)+5.6*sqrt(25+x.^2) I =

Columns 1 through 6

377.4345 349.3325 323.8565 301.3236 282.1716 267.0312

Columns 7 through 12

256.7294 252.1769 254.1112 262.7785 277.7840 298.2444

Columns 13 through 16

323.1018 351.3710 382.2459 415.1077

程序五

>> clear x=0:15; h=0:15;

I=7.2*h-5.6*(sqrt(25+x.^2)-sqrt(25-10*h+h.^2+x.^2))-6*(sqrt(689+x.^2-30*x)-sqrt(689-16*h+h.^2-30*x+x.^2)) I =

0 -0.0268 1.0577 4.3141 9.9508 17.2761 25.5910 34.5092 43.8568 53.5613 63.5938 73.9425 84.5995 95.5554 106.7967 118.3054

16

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