第五届高数竞赛理工类答案

南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题答案

y P 五、 = = y y ( x 1) 2 + y 2 Q ( x 1) = = x y ( x 1) 2 + y 2 由格林公式得

( x 1) y 2 , 2 2 ( x 1) + y 2 ) (2

( x 1) y 2 2 2 ( x 1) + y 2 ) (2L

.

2分

∫

L +l

Pdx + Qdy = 0 ,于是 ∫ Pdx + Qdy =

∫ Pdx + Qdy ,l

3分

其中 l 为 ( x 1) + y 2 = 1 的正向，令 x 1 = cos θ , y = sin θ ,则2

I =∫

2π

0

sin θ ( sin θ ) cos θ cos θ dθ cos 2 θ + sin 2 θdθ = 2π

6分

=

∫

2π

0

7分

六、设凸弧的方程为 y = f ( x ) ,依题意得x x x3 = ∫ f ( t )dt 1 + f ( x ) . 0 2

3分

两边对 x 求导得

xy′ y = 6 x 2 1 ,即

y′ 通解为

1 1 y = 6 x . x x

y = cx 6 x 2 + 1 ,由 y (1) = 0 得 c = 5 . 故所求曲线为

6分

y = 5 x 6 x 2 + 1.

7分

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七、 an = sin π

(

n 2 + k 2 n + nπ

)

= ( 1) sin πn

(

n2 + k 2 nk 2π,

)3分 是交错级数.

= ( 1) sinn

n2 + k 2 + n∞

当 n 充分大时，级数

∑an =1

n

lim sinn→∞

k 2π n2 + k 2 + n∞

=0,且当 n 充分大时 an > an +1 ,因此级数 ，由于

∑an =1

∞

n

收敛. 4 分

其次，考虑级数

∑an =1

n

an k 2π k 2π lim = lim n sin = , n→∞ 1 n →∞ 2 n2 + k 2 + n n因此级数

∑an =1 ∞ n =1

∞

n

发散，

5分

所以级数

∑ sin (π2

n 2 + k 2 条

件收敛.2

)

6分

八、 F ( t ) = =

∫∫∫ z dv + ∫∫∫ f ( x

+ y 2 )dvh

∫

h

0

z 2 dz2

∫∫x + y ≤t2 2

dxdy + ∫ dz02

∫∫x + y ≤t2 2

f ( x 2 + y 2 ) dxdy

2分

=

π h33

t 2 + h ∫ dθ ∫ f ( r 2 )rdr2π

t

3分

0

0

=

π h33

t 2 + 2π h ∫ f ( r 2 ) rdr ,t0

5分 6分

dF 2 3 = π h t + 2π htf ( t 2 ) . dt 3由罗毕达法则得

tf ( t 2 ) π h3 F ( t ) π h3 lim 2 = + lim 2π h = + π hf ( 0 ) . t →0 t →0 t 3 2t 3

7分

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九、令 u = x 2 y, v = ( xy ) ,

z = 2 xf1′ + y ′ f 2′ , x

2分

2z 2 = ( ′ + xy ′′ ) f 2′ 2 xf11′′ + ( 2 x 2 y ) ′ f12′′ + xy ( ′ ) f 22′′ . x yi i i

7分

2n 2n 2n 十、因为 ≤ ≤ , n +1 n + i n ni i n 1 n n 2n 1 n i 所以 2 ≤∑ ≤ ∑ 2n . ∑ i n i =1 n + 1 i =1 i =1 n+ n

2分

i 1 1 n n 1 lim ∑ 2 = ∫ 2 x dx = , 0 n →∞ n ln 2 i =1

4分

lim

i 1 n n n 1 n i 1 2 = lim lim ∑ 2 n = , ∑ n→∞ n + 1 n→∞ n i=1 n →∞ n + 1 ln 2 i =1

6分

2 n 1 n n 2 2 2n 1 由夹逼准得 lim + +L + = . n →∞ n + 1 1 1 ln 2 n+ n+ 2 n

7分

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十一、

∑n =1

∞

( 1)n

n

(n

2

n + 1)

2n

∞ 1 1 = ∑ n ( n 1) + ∑ , 2 n=0 2 n =0

∞

n

n

1 2 1 ∑ 2 = 1 = 3 . n =0 1+ 2 1 令 s ( x ) = ∑ n ( n 1) x n 2 , 则 2 n= 2 ∞ 1 n n ′′ 4 s ( x) = ∑ x = , n= 2 2 ( 2 + x )3 ∞ n

∞

2分

4分

4 1 s (1) = ∑ n ( n 1) = , 27 2 n =0

∞

n

6分

∑n =0

∞

( 1)

n

(n

n + 1) 2 4 22 = + = 2n 3 27 272

7分

十二、因为 f ( t ) 连续， f ( t ) 也连续，所以由积分中值定理存在 ξ ∈ [ 0,1] 使

∫ f ( t ) dt = f (ξ ) ,0 ≤ ξ ≤ 1 .1 0

2分x

又 f ( x ) f (ξ ) = 所以

∫ξ f ′ ( t )dt ,即 f ( x ) = f (ξ ) + ∫ξ f ′ ( t )dt ,x

4分

f ( x ) ≤ f (ξ ) +

∫ξ

x

f ′ ( t )dt ≤ f (ξ ) + ∫ f ′ ( t ) dtx

ξ

6分

≤ f (ξ ) + ∫ f ′ ( t ) dt1 0

故 f ( x) ≤

∫ ( f ( t ) + f ′ ( t ) )dt .1 0

7分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wrej.html