2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期中考试试卷

2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期中考试试卷

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 已知集合 ， ，则

A. A.

B. B.

C. C.

D. D.

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是 、 3. 对于向量 、 和实数 ，下列命题中真命题是

，则 A. 若 或 B. 若 ，则 或 ，则 或 C. 若 D. 若 ，则

4. 已知数列 满足 ，则

A.

B.

C. D.

5. 将 的图象向左平移 个单位，则所得图象的函数解析式为

A. C. A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

B. D.

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 设 ，则“ 是第一象限角”是“ ”的

7. 设 ，则下列说法不正确的是

A. 为 上的偶函数 B. 为 的一个周期 C. 为 的一个极小值点 D. 在区间 上单调递减 8. 已知非空集合 ， 满足以下两个条件： （ⅰ） ， ；

（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，则有序集合对 的个数为

A. B.

二、填空题（共6小题；共30分）

9. 定积分 的值等于 ．

C. D.

第1页（共8 页）

10. 设在海拔 （单位： ）处的大气压强为 （单位： ）， 与 的函数关系可近似表示为

，已知在海拔 处的大气压强为 ，则根据函数关系式，在海拔

处的大气压强为 ． 11. 能够说明“设 是实数．若 ，则

； ①

，则 ． ②若

”是假命题的一个实数 的值为 ．

12. 已知 为边长为 的正三角形， ， 分别为边 ， 的中点，则

13. 已知函数 （其中 ， ）的部分图象如图所示，则 ，

．

14. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，其中 ．

① ；

②若 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．

三、解答题（共6小题；共78分）

15. 已知 ， ，且函数 ．

（1）设方程 在 内有两个零点 ， ，求 的值；

（2）若把函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得函数 图象，

求函数 在 上的单调增区间．

16. 已知数列 是等比数列，满足 ， ，数列 满足 ，且数列

是公差为 的等差数列．

（1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和．

17. 已知函数 ，其中 ．

（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；

（2）求 在区间 上的最小值．（其中 是自然对数的底数）． 18. 如图，在四边形 中， ，且 为正三角形．

第2页（共8 页）

（1）求 的值；

（2）若 ， ，求 和 的长．

19. 已知函数 ， ．

（1）求 的单调区间；

（2）求证： 是 的唯一极小值点；

（3）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围．（只需写出结论） 20. 若在数列 ： ， ， ， 中， 且对任意的 ，

恒成立，则称数列 为“ 数列”．

（1）若数列 ， ， ， 为“ 数列”，写出所有可能的 ， ；

（2）若在“ 数列” ： ， ， ， 中， ， ，求 的最大值；

（3）设 为给定的偶数，对所有可能的“ 数列” ： ， ， ， ，记

，其中 表示 ， ， ， ，这 个数中最大的数，求 的最小值．

第3页（共8 页）

答案

第一部分 1. C

【解析】因为 ， ，

，则当它们都是非零向量时 夹角为 ； 3. B 【解析】提示：对于选项A，若 、

所以 或 ． 2. A

选项B正确；

，则 对于选项C，若 ；

对于选项D，若 ，则 ． 4. D

6. C 9. 10. 11. 12. ，

5. B 7. D 8. A

第二部分

13. ，

14. ， 第三部分

15. （1）

，

而 ，得：

而 ，得： 或

所以 ．

（2） 把函数 的图象向左平移 个单位可得

的图象，再向上移 个单位可得 则 的单调递增区间： 则

的图象，

，

， ，

而 ，得： 在 16. （1） 设数列 的公比为 ，

则

和 上递增．

第4页（共8 页）

解得 ， ， 所以， ，

令 ，则 ， 则 ，即

（2）

．

17. （1） 由 的定义域为 得

，

当 时，得

，则

，

此时， ， ．

故曲线 在点 处的切线方程为 ． （2） 令 得， 或 ， ①当 时，对任意的 ， 因为 ，

所以 在 上单调递增， 则 最小 ， ②当 时，

极小值

则 最小 ， ③当 时，对任意的 ， 因为 ，

所以 在 上单调递减， 则 最小 ，

综上所述，由①，②，③可知， 在区间 上的最小值，

．

18. （1） 因为

， ， 所以

， 所以

（2） 设 ， ，

第5页（共8 页）

在 和 中，由余弦定理得

解得 或 （舍），代入得

即 ， ．

19. （1） 因为 ， 令 ，得 ． 因为 ， 所以 ．

当 变化时， ， 的变化情况如下：

递增极大值递减故 的单调递增区间为

， 的单调递减区间为 ．

（2） 因为 ， 所以 ，

设 ，则 ， 故 在 上是单调递增函数，

又因为 ，故方程 只有唯一实根 ， 当 变化时， ， 的变化情况如下：

递减极小值递增

故 在 时取得极小值 ， 即 是 的唯一极小值点． （3） ．

20. （1） 或 或

（2） 的最大值为 ，理由如下：

一方面，注意到： ， 对任意的 ，令 ， 则 且 ，

故 对任意的 恒成立．

当 时， 时，注意到 ， 得

第6页（共8 页）

此时

即 ，解得： ，故 ， 另一方面，取 ， 则对任意的 ， ， 故数列 为“ 数列”，

此时 ， 即 符合题意． 综上， 的最大值为 ． （3） 的最小值为 证明如下：

当 时， 一方面：

由 式， ， 此时有： 故

，

另一方面，当 ， ， ， ， ， ， ， 时， ， 取 ，则 ，

， ， 且 ，

， 此时 综上， 的最小值为

，

．

第7页（共8 页）

第8页（共8 页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wrc7.html