概率论与数理统计习题（含解答，答案）

概率论与数理统计复习题（1）

一．填空.

1.P(A)?0.4,P(B)?0.3。若A与B独立，则P(A?B)? ；若已知A,B中至少有一个事件发生的概率为0.6，则P(A?B)? 。 2．p(AB)?p(AB)且P(A)?0.2，则P(B)? 。

3．设X~N(?,?2)，且P{X?2}?P{X?2}, P{2?X?4}?0.3，则?? ；

P{X?0}? 。

4．E(X)?D(X)?1。若X服从泊松分布，则P{X?0}? ；若X服从均匀分布，则P{X?0}? 。

5．设X~b(n,p),E(X)?2.4,D(X)?1.44，则P{X?n}?

6．E(X)?E(Y)?0,D(X)?D(Y)?2,E(XY)?1,则D(X?2Y?1)? 。 7．X~N(0,9),Y~N(1,16)，且X与Y独立，则P{?2?X?Y??1}? （用?表示），?XY? 。

8．已知X的期望为5，而均方差为2，估计P{2?X?8}? 。

?均是未知参数?的无偏估计量，且E(??2)?E(??2)，则其中的统计量 更9．设??1和?212有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。

二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求：

（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；

（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

1

三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四．X 的概率密度为f(x)??的分布函数F(x)；

五．（X,Y）的概率密度 f(x,y)???kx, 0?x?c,2且E(X)=。（1）求常数k和c；(2) 求X

3其它?0, ?kx(2?y), 2?x?4,0?y?2。求 （1）常数k；

otherwise?0, （2）X与Y是否独立；（3）?XY；

六．.设X，Y独立，下表列出了二维随机向量（X，Y）的分布，边缘分布的部分概率，试将

其余概率值填入表中空白处. Ｘ Ｙ y1 y2 1 8 y3 piX x1 x2 pYj 1 81 6 七．. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率.

概率与数理统计复习题（1）

一、填空

1.P(A-B)=0.28 P(A-B)=0.3

P(AB)=P(A)*P(B)=0.12 ??分析: P(B)=0.3 ? ?? ?P(AB)=0.28

P(AB)+P(AB)=P(A)? A,B独立 ??P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)?P(AB)?0.1?????P(AB)?0.3

P(A+B)=0.6 P(A)=0.4 P(B)=0.3 ?P(A)?0.4? P(A)=0.4?2.P(B)?0.8

2

分析: P(AB)=P(AB)=P(A+B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)???1?P(A)?P(B)?0???P(B)?0.8P(A)?0.2?

3.??2　　P?ｘ>0??0.8

分析:P?ｘ<2??P?x?2??P?x?2??1?P?x?2??2P?x?2??1?2???2???　　　P?ｘ<2??0.5?F(2)?0.5????0.5??0???2??????????P?x?0??0.8?4?2????2?2??0.3???2??0.8?P?2?x?4??0.3?F(4)?F(2)?0.3???????????????????14.P?x?0??1?　　P?x?0?=1

e　P?x>0??1?P?x?0??1?F(0)?1????0?2??1????2????2???????????????1?1???P?x?k??e?k!分析:　　a. x服从泊松分布,则 ?k!????Ex?Dx?1???1??P?x?0??1?P?x?0??1P?x?0??1?eP?x=k???ke??

ｂ.x服从均匀分布,属连续分布,则P?x=0??0?P?x?0??1?P?x?0??1 5.P?x?n??0.46

????n?6　　p=0.4?分析:　　　x~b(n,p)?Dx?np(1-p)? ?nnn-nn?x~b(n,p)?Px=n?Cpq?p??n??E(x)=2.4 D(x)=1.44 ??Ex?npP?x?n??0.46

6.D(x?2y?1)?6

分析:　　D(x?2y?1)?D(x?2y)?Dx?D(2y)?cov(x,?2y)?Dx?4Dy?2cov(x,y)?Dx?4Dy-2(Exy-ExEy)?　　　　　??D(x?2y?1)?6E(x)=E(y)=0 Dx=Dy=2 Exy=1?

17.P??2?x?y??1???()?0.5　　　　　Pxy?0

5 3

?2???E(x?y)?Ex?Ey?0?1??1?x-y~N(-1,5)　?分析:y~N(1,16)????????D(x?y)?Dx?Dy?9?16?25?P?-2

???xy=0cov(x,y)?　?xy=?DxDy?78.P?2

9P?-2

^Dx?1与?2均是未知参数的无偏估计?E(?2)?E(?2)?E???分析:D(?1)?E(?1)?(E?1)?E(?1)?D(?1)?E(?1)2D(?2)?E(?2)?(E?2)?E(?2)?D(?2)?E(?2)　　　　　　　　　　　　　　　　E(?1)?E(?2)^^^^2^2^2^^^^2^2^2^^^^^^?^^^???D(?1)?D(?2)??2更有效????10.高,小,变大

二.解:A1:甲河流泛滥　　　　A2:乙河流泛滥　　　B:某地区受灾?????? P(A1)=0.1??(1)??P(B)?0.1?0.2?0.03?0.27?P(A2)=0.2??P(A1A2)?0.03???A2P(A1A2)P()=0.3??0.3??A1P(A1)????

P(B)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)(2)P(A1P(A1A2)0.03)???0.15 A2P(A2)0.2 4

三.解:设Ai?敌机中了弹　　　　B?敌机被击落P(BBB)?0.2,P()?0.6,P()?1A1A2A333BBiP(B)??P(Ai)*P()??C3*(0.3)i(0.7)3?i*P()?0.2286

AiAii?1i?1P(A2)?BP(A2)*P(P(B)B)A2?0.496四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有

①

??0f(x)?1?cx?f(x)?23??0c 即

??0kxdx?1?ckx2dx?23??0c??

c?1?k?2

②由①知x的密度函数为当x?0时 F?x??0； 当0?x?1时 F?x??当x?1时 F?x??f(x)???x2x0?x?10其他??f?t?dt??x02tdt?x2

?x??f?t?dt??102xdx?1

?F?x?x?0?0???x2??x?1

?1x?1?42五、由（x、y）联合密度的性质有： ①．

???????x,y?dxdy?1 即?2?0kx?2?y?dxdy?????1?k?1 36?1?x?2?y?2?x?4,,0?y?2②． 由①可求出（x，y）的联合密度：f?x,y???36

其他?0?fX?x???f?x,y?dy????20411x?2?y?dy?x ?0?y?2? 36611fY?y???f?x,y?dx??x?2?y?dx??2?y? ?2?x?4?

??2366

5

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