概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)

习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）??{4,5,6,7,8?} （2）??{(x.y)x2?y2?1} （3）??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C.

解：B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件.

（1）A1?A2 （2）(A1?A2)A3 （3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶

（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶 （3）第二次中靶

4．设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：

（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ； （2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ； （4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；

1

（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ； （6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解：（1）A1?A2?A3; (2) A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) A1A2A3

(6) A1A2A3 5.证明下列各题

（1）A?B?AB （2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)

证明：（1）右边=A（??B）?A?AB=????A且??B??A?B=左边

（2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=????A或??B??A?B 习题1.2

1.设

A、B、C

三事件，

P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率.

解：?P(AB)?0?P(ABC)?0

P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?114?2?8?12 2.已知p(A)?0.5 ，P(AB)?0.2 ， P(B)?0.4，求 （1）P(AB)(2)P(A?B)， (3)P(A?B)， (4)P(AB).

解：（1）

?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?0.1

（2）

?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?0.5

3.设P(A)=0.2 P(A?B)=0.6 A.B互斥，求P(B). 解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B)

,

2

， 故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4 4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8

（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B)

（1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小， 即

P(A?B)?P(B)?0.8，则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4

（2）当P(A?B)达到最大， 即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为0.2 5.设

P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(A?B?C)?, 4816求P(A?B?C).

解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?1117?3??? 481616习题1.3

1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.

解：设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}

3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1??0.602 3C522.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.

3

3

解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10

C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为

p??pi?i?110101 ?1960019603解法二 样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为

13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.

解法一 设A表示“取出的3个数之积能被10整除”， ， A1表示“取出的3个数中含有数字5”， A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”

P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2) ?8??5??4??1??????????1?0.786?0.214?9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。 则A?(A1?A2?A3)(B1?B2?B3)

333A?(A1A2A3)?(B1B2B3)

P(A)?P(A1A2A3)?P(B1B2B3)?P(A1A2A3B1B2B3) 由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且

P(A1)?P(A2)?P(A3)?85，P(B1)?P(B2)?P(B3)? 99 4

P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?4 933?8??5??4?因此P?A??1?PA?1?[????????]?1?0.786?0.214

?9??9??9?4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率.

5解 共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?C10，有利的情况，即5

??3个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为

2322121223131122N(A)?C2C3?C2C3C3?C2C3C5?C2C5?C2C3C5?C2C3C5?1?3?5?3?10?10?2?5?2?3?10?126

故所求概率为P?1261? 5C1025.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件， （1）求其中恰有k(k?min(M,n))件次品的概率； （2）求其中至少有2件次品的概率.

kn?knn?1CMCNCN?M?M?MCN?M解：（1） （2）1- nnCNCN6．设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边； （2）甲、乙、丙三人坐在一起；

（3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率.

（n?1）! 解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为

而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?2)!

于是P(A)?(n?2)!1?

(n?1)!n?1（n?1）!，而事（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为

5

件B为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人

3占“一个”座位，有利于事件B发生的样本点个数为A3?(n?3)!

3A3(n?3)!6于是P(B)? ?(n?1)!(n?1)(n?2)（3）n个人并列坐在一张长桌的一边，样本空间样本点总数为n!， 而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?1)!

于是P(A)?(n?1)!1? n!n而事件B为甲、乙、丙三人坐在一起，可将三人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件B发生的样本点个数为3!(n?2)!

于是P(B)?6(n?2)!6? n!n(n?1)7.在一分钟内，一个正常信号与一个干扰信号均随机地各出现一次，设正常信号出现后持续10秒钟，干扰信号出现后持续5秒钟，若这两个信号相遇，则系统就受干扰了，求系统受干扰的概率.

解

样本空间的面积S(?)?602?3600

6

11系统受干扰的面积（阴影部分面积）S(A)?602??502??552

22系统受干扰的概率P(A)?S(A)?0.2326 S(?)8.两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两艘轮船停靠泊位的时间分别为1h和2h，求有一艘轮船停靠泊位时不需要等待一段时间的概率.

解

Y X

P(A)?1?S(A)?1?S(?)242?11?222??23222=0.8793 224习题1.4

1.一盒中有新旧两种乒乓球100只，其中新球中有40只白的和30只黄的，旧球中有20只白的和10只黄的.现从中任取一只，则： （1）取到一只新球的概率是 ； （2）取到一只黄球的概率是 ；

（3）已知取到的是新球，该球是黄球的概率是 ； （4）取到一只新黄球的概率是 .

解（1）0.7 （2）0.4 （3）3/7 （4）0.3

7

111 P(BA)? P(AB)? 求P(A?B)

324111解P(AB)?P(A)P(BA)???

43122.已知P(A)?P(B)?P(AB)1/121??

P(AB)1/263.已知P?A??0.5,P?B??0.6,P?BA??0.8，求P?AB?及PAB. 解P(AB)?P(A)P(BA)?0.5?0.8?0.4

??PAB?PA?B?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3

4.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）.

解法一 设事件A为“两颗骰子点数之和为7”，事件B“一颗骰子点数为1”，所求概率为

P(BA)??16????P(AB)P(A)162CC1?112?3C6C63

解法二 点数为7的种数为3（6，1；5，2；3，4），其中一个点数为1的种数为1，则所求概率为1、

5.已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率.

（1）两只都是正品， （2）两只都是次品， （3）一只是正品，一只是次品， （4）第二次取出的是次品.

C8228解（1）P1?2?

C1045（2）P2?11? 245C1011C8C16（3）P3?22?

45C10（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率

8

P41?1618?? 45245第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率

11C2C11 P42?21??245C10所以第二次取出的是次品的概率为P4?P41?P42?1 56.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（用B表示）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求P(AB)、P(BA)、

P(A?B).

解 P?AB??P?BA??P?AB?01/10??0.214 P?B?07/15P?AB?1/10??0.375 P?A?0.4/15P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?4/15?7/15?1/10?0.6337.12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解 设Ai(i?0,1,2,3)表示第一次比赛时用了i个新球，B表示第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

由全概率公式

1i3?iC92?iC3?iC9C3P?B???P?BAi?p?Ai?????0.455 33i?0i?0C12C12338.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求 （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？

解 设Ai(i?0,1,2,)表示箱中有i件次品，B表示顾客买下该箱玻璃杯

9

（1）由全概率公式

44C19C18P?B???P?BAi?p?Ai??0.8?1?0.1?4?0.1?4?0.94

i?0C20C202（2）由贝叶斯公式

P(A0B)?P(BA0)P(A0)P(B)?0.85

9.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解 设Ai(i?0,1,2,)表示从第i箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B表示从第一箱中取零件，B表示从第二箱中取零件

（1）由全概率公式

P(A1)?P(A1B)P(B)?P(A1B)P(B)?101181????0.4 502302109118171????? 5049230292（2）由全概率公式

P(A1A2)?P(A1A2B)P(B)?P(A1A2B)P(B)?因此有

P(A2A1)?P(A1A2)5109118171?(?????)?0.4856 25049230292P(A1)习题1.5

1.已知P(A)?a, P(B)?0.3, P(A?B)?0.7, (1)若事件A与B互不相容，求a； (2)若事件A与B相互独立，求a. 解（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?P(A)?P(B)?P(B)?P(AB)?1?a?0.7

10

11C8C16（3）P3?22?

45C10（4）第一次取出的是正品而第二次取出的是次品的概率

P41?1618?? 45245第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率

11C2C11 P42?21??245C10所以第二次取出的是次品的概率为P4?P41?P42?1 56.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（用B表示）的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求P(AB)、P(BA)、

P(A?B).

解 P?AB??P?BA??P?AB?01/10??0.214 P?B?07/15P?AB?1/10??0.375 P?A?0.4/15P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?4/15?7/15?1/10?0.6337.12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解 设Ai(i?0,1,2,3)表示第一次比赛时用了i个新球，B表示第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

由全概率公式

1i3?iC92?iC3?iC9C3P?B???P?BAi?p?Ai?????0.455 33i?0i?0C12C12338.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱，顾客开箱后随机取4只进行检查，若无次品，则购买，否则退回，求 （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率？

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（2）在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率？

解 设Ai(i?0,1,2,)表示箱中有i件次品，B表示顾客买下该箱玻璃杯 （1）由全概率公式

44C19C18P?B???P?BAi?p?Ai??0.8?1?0.1?4?0.1?4?0.94

i?0C20C202（2）由贝叶斯公式

P(A0B)?P(BA0)P(A0)P(B)?0.85

9.设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任意挑出一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解 设Ai(i?0,1,2,)表示从第i箱中取得的是一等品（取出的零件不放回），B表示从第一箱中取零件，B表示从第二箱中取零件

（1）由全概率公式

P(A1)?P(A1B)P(B)?P(A1B)P(B)?101181????0.4 502302109118171????? 5049230292（2）由全概率公式

P(A1A2)?P(A1A2B)P(B)?P(A1A2B)P(B)?因此有

P(A2A1)?P(A1A2)5109118171?(?????)?0.4856 25049230292P(A1)习题1.5

1.已知P(A)?a, P(B)?0.3, P(A?B)?0.7, (1)若事件A与B互不相容，求a； (2)若事件A与B相互独立，求a.

37

解（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?P(A)?P(B)?P(B)?P(AB)?1?a?0.7

于是a?0.3

（2）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)即

0.7?(1?a)?0.3?(1?a)?0.3于是a?3/7

2.甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人同时独立射击，求(1)两人都中靶的概率； (2)甲中乙不中的概率； (3)乙中甲不中的概率.

解 设A表示甲击中，B表示乙击中 （1）P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.59 （2）P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.3?0.24 （3）P(AB)?P(A)P(B)?0.2?0.7?0.14

3.甲、乙、丙三人独立的去破译一个密码，他们各自能破译该密码的概率分

111别为,和，求：（1）该密码能被他们破译的概率；（2）该密码被仅仅三人中

543的一人破译的概率.

解 设A,B,C分别表示甲、乙、丙独立的去破译出密码， （1）该密码能被他们破译的概率为

P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4323??? 5435（2）该密码被仅仅三人中的一人破译的概率为

P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?13241243111????????? 543543543304.某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见，并按多数人意见作出

38

决策，求作出正确决策的概率.

解 作出正确决策的概率为.

5678C90.75?0.34?C90.76?0.33?C90.77?0.32?C90.780.3?0.79?0.901

5.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3，当故障发生不少于3次时，指示灯发出信号

（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. 解（1）进行了5次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

34C50.33?0.72?C50.34?0.7?0.35?0.163

（2）进行了7次重复独立试验，指示灯发出信号的概率为

121?0.77?C70.3?0.76?C70.32?0.75?0.353

6.甲乙为交战双方，甲方一架飞机要飞过乙方的一个高炮阵地，假设该处每门炮能够击落该飞机的概率均为0.4，若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置多少门这种高炮？

解 设A表示击落该飞机（即至少有一门炮击中飞机），且需要配置n门这种高炮

P(A)?1?P(A)?1?0.6n?0.95

n?lg0.05?6 lg0.6因此若要保证以不低于95%的概率击落该飞机，那么该阵地至少需要配置6门这种高炮.

7.某射手射靶5次，各次射中的概率都是0.6，求下列各事件的概率： （1）前3次中靶，后2次脱靶；

（2）第一、三、五次中靶，第二、四次脱靶； （3）五次中恰有三次中靶； （4）五次中至少1次中靶. 解 设Ai(i?1,2,3,4,5)表示第i次中靶

（1）P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

39

?0.63?0.42?0.0346

（2）P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?0.63?0.42?0.0346

3（3）C50.63?0.42?0.3456

（4）P(A1?A2?A3?A4?A5)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?1?0.45?0.9898

第一章复习题(A)

1.填空题

（1）设A?B,P(A)?0.1,P(B)?0.5,则P(AB)= ,

P(A?B)= , P(A?B)? . 答案; 1.(1)0.1 0.5 0.9

（2）设A，B是任意两个随机事件,则P[(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)]? 答案0

（3）设A，B相互独立，P(A?B)=0.6, P(A)?0.4,则P(B)?

答案：

1 32.选择题

（1）设P?A??0.8，则下列结论正确的是 . P?B??0.7，P?AB??0.8，A.事件A与事件B相互独立, B.事件A与事件B互逆, C.B?A, D.P?A?B??P?A??P?B?. 答案：A

（2）设A，B是任意两个随机事件,且B?A，则下列结论正确的是 .

A.P(A?B)?P(A), B.P(AB)?P(A),

C. P(B|A)?P(B), D. P(B?A)?P(B)?P(A).

40

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