因式分解学案初稿

1．1多项式的因式分解

【学习目标】 课标要求

理解因式分解的概念，体会类比思想在数学学习中的应用。 目标达成

1、能理解因式分解的概念。

2、了解因式分解在解决其他数学问题中的桥梁作用。 3、在学习过程中培养学生的观察能力和探究能力。 【自主学习】 一、学习新知

21、6可以怎样分解？什么是因数？x?4等于x?2乘以哪个多项式?什么叫因式?

2、什么叫多项式的因式分解？说一说因式分解的概念应注意哪些方面?

3、因式分解与整式乘法有什么关系？

4、什么叫质数（素数）？什么叫公约数、最大公约数？怎样寻找几个整数的最大公约数？

二、我的疑问

【合作探究】

1、下列分解质因数，不正确的是（ ）

A、12?2?2?3 B、30?2?3?5 C、100?4?25 D、28?2?2?7 2、指出8与12的最大公因数（ ）

A、 12 B、8 C、2 D、4

3、下列等式从左边到右边的变形中，是因式分解的有（ ）

22（1）4abc?4a?b?c （2）(a?b)(a?b)?a?b

33

（3）ny?my?r?y(n?m)?r （4）x2?2x?3?(x?3)(x?1) （5）x3?1?x(x2?) （6）

1x111xa?bx?x(a?b) 444A、1 个 B、2个 C、3个 D、4个 4、计算：2011?57?2011?22?2011?21

5、已知多项式x?nx?m能被分解为(x?3)(x?4)，求2m?n的值。

【归纳小结】

1、多项式因式分解的概念。

2、你是如何判断等式变形是因式分解的？ 【训练评估】

一、课堂目标达成

1、下列从左边到右边的变形中，是因式分解的有（ ）

①24xy?4x?6xy ②(x?3)(x?3)?x?9 ③9x2?6x?2?3x(3x?2)?2

④ax?322213112bx?x(a?b) ⑤x2?2?x(x?) 33x

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、方程x?16?0的解是（ ）

A、x?4 B、x??4 C、x??4 D、x?8 3、正整数12，24，36的最大公因数是 4、下列因式分解正确的是（ ）

A、3x?xy?x?3x(x?y) B、?xy?xy?2y??y(xy?x?2)

222

C、x(x?y)?y(x?y)?(x?y)2 D、x2?x?3?x(x?1)?3

5、新学期的教师节，小明代表班级在水果店里买了苹果、香蕉、梨各a千克，这三种水果的单价分别为x、y、z元（1）你能用两种方法计算他共花了多少钱吗？

（2）上述两个式子中，分别要做多少次加法？多少次乘法？按照哪个式子计算较简便？

（3）你能从这个例子中体会到因式分解的好处吗？

二、课后巩固提升

1、如果多项式x?ax?18，因式分解为(x?3)(x?6)，则m的值为（ ） A、?3 B、3 C、9 D、?9 2、化简(?2)2011?(?2)2010?(?2)2009

3、观察下列按顺序排列的等式

21?0?1?12，2?1?2?22，3?2?3?32，4?3?4?42...........

请你猜想第10个等式应为

4、如图所示，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小正方形拼成长方形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式，请你写出其中的三个等式。

【学后反思】

A D aB a

bbC

1．2提公因式法（1）

【学习目标】 课标要求

会用提公因式法分解因式。 目标达成

1、能够判断各项是否有公因式并能把它找出来。 2、能熟练掌握提公因式的方法。

3、能运用“化归”的数学思想，提高数学思维能力。 【自主学习】 一、学习新知

1、什么叫公因式？怎样寻找公因式？

2、什么叫提公因式法？

3、用提公因式法分解因式的步骤是怎样的？

4、用提公因式法分解因式应注意哪几点？

我的疑问

【合作探究】

1、写出下列多项式中各项的公因式 （1）4x?8x：

（2）12abc?8ab?4ab： 2232232

（3）8(m?n)2?16(m?n)： （4）3a(p?q)?6b(q?p)： 2、下列各式中，没有公因式的是（ ）

A、4a?4b 与a?b B、mx?y 与x?y C、(x?y)2 与?x?y D、x2?xy与(x?y)(x?y) 3、在括号内填上适当的多项式

（1）ax?2ay?a（ ） （2）x4?2x3?x?x?（ （3）?13x2y2?xy?（ ）?(xy?3) 4、分解因式

（1）3x2?6xy?3 （2）?4m3?16m2?16m

（3）9x2?27xy2?81x4y2

【归纳小结】

1、用提公因式法分解因式的步骤是怎样的？

2、用提公因式法分解因式应注意哪几点？

【训练评估】 一、课堂目标达成

1、多项式?9xy?3xy?6xyz各项的公因式是（ ）

A．3yz B．3xz C．?3xy D．?3x2、下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A．5m(a?b)与b?a B．(a?b)2与?a?b

）

C．ax?y与x?y D．?a?ab与ab?ab

3、将多项式x2n222?x3n分解因式为（ ）

A．xn(x2?x3) B．x2n(?xn) C．x(1?x) D．x(1?x

4、把下列各式因式分解。

232nn2n3n?2)

（1）16xy?8xy?4xy （2）?

12ab?4a3b2?ab2 322 5、已知x?y?5，xy?2，求xy?xy的值。

二、课后巩固提升

1、多项式4xy?M可以分解为4xy(x?y?xy)，那么M等于（ ） A．?4xy?4xy B．4xy?4xy C．?4xy?4xy D．4xy?4xy

2、(?2)201132232322322322?22010的结果为（ ）

20102011 A．?2 B．?2 C．23、利用因式分解进行计算。

（1）22?3.15?61?3.15?17?3.15 （2）2.186?1.237?1.237?1.186?4.763

（3）2010?20112011?2011?20102010

2011 D．22010

4、已知a?b?4，ab?4，求3ab?6ab?18b?6的值。

5、如图，某设计院在设计建筑物中，需绕制三个半径为0.25m，0.35m，0.4m的筋圆环，则有需钢筋有多长？怎样计算比较简便？

【学后反思】

221．2提公因式法（2）

【学习目标】 课标要求

能熟练运用提公因式法分解因式。

目标达成

1、进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. 2、进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.

3、通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 【自主学习】

一、学习新知

1、看书“说一说”，多项式中各项的公因式是什么？

2、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2?a?__________(a?2) （2）y?x?__________(x?y) （3）b?a=__________(a?b) （4）(b?a)=__________(a?b) （5）?m?n?__________(m?n)

22（6）?s?t?__________(s?t)

22223、通过书上例题的学习，你能说出当公因式为多项式时，要注意哪些问题？

二、我的疑问

【合作探究】

1、在左、右两列多项式中，把相等的两个多项式用线连接起来。

2 a?b (b?a)

(a?b) ?(b?a) ?(a?b) (b?a) 2、把下列各式因式分解。

（1）4x(x?3)?5(x?3) （2）3(a?3)?a?3

2332

（3）(a?b)3?(a?b)2 （4）3x(x?2)?(2?x)2?x?2

（5）16a2b(a2?b2)?8ab2(a2?b2)

3、请同学们用提公因式法分解因式。

ab(x?2y)2?2ab2(2y?x)

以下是小华、小明、小红的解答： 小华：ab(x?2y)2?2ab2(2y?x) ?(x?2y)[ab(x?2y)?2ab2] ?(x?2y)(abx?2aby?2ab2) 小明：ab(x?2y)2?2ab2(2y?x) ?ab(x?2y)[(x?2y)?b] ?ab(x?2y)(x?2aby?2b) 小红：ab(x?2y)?2ab(2y?x)

22(?2y)?2b] ?ab(x?2y)[x ?ab(x?2y)(x?2y?2b) 你认为谁的做法是对的，为什么呢？

4、分解因式：

(x?y)4?x(x?y)3?y(y?x)2

【归纳小结】

1、当公因式是多项式时怎样用提公因式法分解因式？ 2、用提公因式法分解因式要注意哪些问题？ 【训练评估】

一、课堂目标达成

1、把多项式(m?1)(m?1)?(m?1)提公因式(m?1)后，余下的部分是（ ） A．m?1 B．2m C．2 D．m?2

222、如果x?y?0，x?y??50，则xy?xy的值是（ ）

3、把下列多项式因式分解

（1）3m(x?y)?n(y?x) （2）2m(m?n)?m(m?n)?mn(n?m)

4、先化简，再求值。

x(x?y)?(x?y)(x?y)?y，其中x?3,y?4。

二、课后巩固提升

1、如果10a(x?y)?5a(y?x)?M?(2a?x?y)，那么M表示（ ） A．(x?y) B．a(x?y) C．5a(x?y) D．5a(x?y)

2、已知a?3?b?c，则代数式a(a?b?c)?b(b?c?a)?c(c?a?b)的值为多少？

22222222

3、已知x?16?0，求代数式x(x?1)2?x(x2?x)?x?7的值。

4、有一地区根据地理位置即气候特点，在种植大棚采用了如下结构：占地呈矩形，四周为砖墙，上为玻璃屋顶，设矩形的长、宽分别为a、b，且前墙高为c，后墙高为d。 （1）求这座大棚四周砖墙的面积S；

（2）如果a?6.6m，b?3.4m，c?0.5m，d?1.5m，求S。

【学后反思】

21．3公式法分解因式（1）

【学习目标】

课标要求

能熟练运用平方差公式分解因式。

目标达成

1、会分析和判断一个多项式是否为平方差公式， 2、掌握运用平方差公式把多项式分解因式的方法；

3、进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 【自主学习】

一、学习新知

221、什么是平方差公式？你能将a?b因式分解吗？

2、平方差公式的特点是什么？

3、填空

（1）4a=（ ）2 （2）

4242a=（ ）2 922 （3）0.16a=（ ）2 （4）1.44ab=（ ）2 4、根据书上例题，说一说用平方差公式分解因式的步骤是怎样的？

二、我的疑问

【合作探究】

1、下列各式能否用平方差公式分解？如果能，怎样分解？如果不能，请你说明理由。 （1）x?y （2）x?y （3）?x?y

（4）?x?y （5）x?2y?1

2、把下列各式因式分解。

（1）16x?y （2）

（3）(a?2b)?(a?b?2) （4）x?y

224422222222222252x?9y2 49

（5）x2y2?4x2

23、你认为x?3能进行因式分解吗？如果能，请你分解；如果不能，请说明理由。试分

2解因式：x?7。

【归纳小结】

1、平方差公式的特点是什么？

2、用平方差公式分解因式的步骤是怎样的？ 3、用平方差公式分解因式要注意哪些问题？ 【训练评估】

一、课堂目标达成

1、下列多项式中，分解因式的结果是?(a?3)(a?3)的是（ ）

2222 A．a?9 B．a?9 C．?a?9 D．?a?9

2、把下列各式分解因式

（1）25?a （2）(x?p)?(x?q)

（3）x?2y

3、请你从下列各式中任选两个式子做差，并将得到的式子进行因式分解。

222224a2，(x?y)2，1，9b2

二、课后巩固提升

1、一次课堂作业，小敏做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）

A．x3?x?x(x2?1) B．xy?xy?xy(x?y)

22 C．x?y?(x?y)(x?y) D．81a?4b=(9a?2b)(9a?2b)2222

2、因式分解(x?1)2?9的结果是（ ）

A．(x?8)(x?1) B．(x?2)(x?4)

C．(x?2)(x?4) D．(x?10)(x?8)=(9a?2b)(9a?2b) 3、多项式(2n?1)?1中，若n为整数，那么它能否被8整除？请说明理由。

4、老师在黑板上写出三个算式：5?3?8?2，9?7?8?4，15?3?8?27，王华接着又写出两个具有相同规律的算式：11?5?8?12，15?7?8?22，............. （1）请写出两个（不同于上述算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性。

【学后反思】

2222222222

2

1．3公式法分解因式（2）

【学习目标】 课标要求

能熟练运用完全平方公式分解因式。

目标达成

1、会分析和判断一个多项式是否为完全平方式， 2、掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；

3、进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。

【自主学习】 一、学习新知 1、观察下列式子：

a?2ab?b?(a?b)， a?2ab?b?(a?b)，

思考：这是不是因式分解？这是什么公式？这个公式左边的有哪些特点？

2、 判断下列多项式能否运用完全平方公式进行因式分解。 （1）x?2xy?y （2）?x?4xy?4y

22（3）9x?6xy?y （4）a?2ab?1

22222222222

3、根据书上例题，说一说运用完全平方公式进行因式分解的步骤是怎样的？

二、我的疑问

【合作探究】

1、下列因式分解的过程哪些是正确的，哪些是错误的，请分别说明理由。 （1）x?5x?4?(x?2) （2）?x?2xy?y??(x?y) （3）

22222121a?ab?b2?(a?b)2 22 2、把下列各式因式分解

（1）4x?4x?1 （2）a?8ab?16b （3）

3、若a?ab?4P是一个完全平方式，则P= 【归纳小结】

1、完全平方公式的特点是什么？

2、用完全平方公式分解因式的步骤是怎样的？

3、用完全平方公式分解因式要注意哪些问题？ 【训练评估】 一、课堂目标达成

1、下列多项式能用完全平方式因式分解的是（ ）

2x2y2222?xy?y C．x?xy?y D．?x?xy? A．x?2xy?y B．? 44222212x?2xy?2y2 （4）x3?2x2y?xy2 2222、（1）a?ab?___?(a?

212b) （2）a2?8a?____?(a?___)2 2b2b?(a?)2 （3）a?___?4223、用完全平方公式进行因式分解： （1）a?a?

2（3）(x?y)?2(x?y)?1 （4）3ax?6ax?3a

22122 （2）?9m?6mn?n 4

二、课后巩固提升 1、把下列各式因式分解

（1）ab?6ab?9ab （2）x?2x?1

（3）x?8x?16

2、若25x?kxy?4y可以分解为(5x?2y)，则k的值是（ ） A．?10 B．10 C．?20 D．20 3、已知x?y?2?x2?2xy?y2?0，求x?2y的值。

4、（中考试题）给出三个多项式：

2224232421211x?2x?1，x2?4x?1，x2?2x。请选择

222你喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解。

【学后反思】

1．4十字相乘法分解因式（选学）

【学习目标】 课标要求

能熟练运用十字相乘法分解因式。 目标达成

1、了解十字相乘法的概念。

2、会用十字相乘法对二次项系数为1二次三项式分解因式。 3、在学习中培养学生的逆向思维能力。

【自主学习】 一、学习新知 1、口算

（1）(x?1)(x?2) （2）(x?3)(x?8)

2、请写出(x?a)(x?b)= 3、你能将x?(a?b)?ab因式分解吗？

4、十字相乘法：一个二次三项式x2?px?q，如果能够把常数项q分解成两个因数a,b的积，且使a?b等于一次项的系数p，那么它们就可以分解因式， 即x2?px?q= 5、你能说出十字相乘法的步骤吗？

二、我的疑问

【合作探究】

1、将下列数字分解成所有可能的两个整数的积，并写出所有的分解成两整数的和 2,3,?7,6,12,?15

2、把下列各式分解因式

（1）x?5x?6 （2）x?x?6

（3）x?7x?12 （4）x?3x?10

22222

【归纳小结】

1、十字相乘法的特点是什么？

2、用十字相乘法分解因式的步骤是怎样的？

3、用十字相乘法分解因式要注意哪些问题？ 【训练评估】 一、课堂目标达成 1、把下列各式分解因式

（1）x4?6x?8 （2）x2?3xy?2y2

（3）(a?b)2?4(a?b)?3

2、.如果 x2?x?1?0 ，那么代数式 x3?2x2?7的值为( A、 6 B、 8 C、 ?6 D、 ?8

二、课后巩固提升 1、把下列各式因式分解

（1）y2?7y?12 （2）m2?7m?18

（3）x2?11xy?18y2 （4）x4?9x2?14

)

2、化简并求值

(3a?1)2?2(3a?1)?3，其中a?2

【学后反思】

1．5分组分解法分解因式（选学）

【学习目标】 课标要求

能熟练运用分组分解法分解因式。 目标达成

1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义．

2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解．

【自主学习】 一、学习新知

1、你能把如下式子分解因式吗？ax?ay?ab?ac 2、你能用几种方法将上式分解因式？

3、观察例题：分解因式a?ab?ab?b 【解法一】a?ab?ab?b ＝(a?ab)?(ab?b) ＝a(a?b)?b(a?b) ＝(a?b)(a?b)

2222322332233223

＝ (a?b)2(a?b) 【解法二】a?ab?ab?b

＝(a3?ab2)?(a2b?b3) 3223 ＝a(a2?b2)?b(a2?b2) ＝(a2?b2)(a?b) ＝(a?b)2(a?b) 思考：

（1）你还有其他的解法吗？

（2）你能说出这种分解因式的方法的步骤吗？

（3）分组分解法要注意哪些问题？

二、我的疑问

【合作探究】

1、把下列各式分解因式

（1）6k2?9km?6mn?4kn

（3）

am?an?m2?n2

2）x2?4?4xy?4y2

（4） a2?2ab?b2?1 （

2、下列式子能继续进行因式分解吗？为什么？如果要进行因式分解，怎么办呢？ (ax?by)2?(ax?by)2

【归纳小结】

1、分组分解法的特点是什么？

2、用分组分解法分解因式的步骤是怎样的？

3、用分组分解法分解因式要注意哪些问题？ 【训练评估】 一、课堂目标达成 把下列各式分解因式 （1）2ac?6ad （3）2x3

二、课后巩固提升 把下列各式因式分解

（1）x?10xy?25y?3x?15y （2）x?10xy?25y?3x?15y+2

（3）x?10xy?25y?6x?30y?9

222222?bc?3bd （2）1?a2?b2?2ab

222?2x2y?8y?8x （4）4a?12ab?9b?c

【学后反思】

小结与复习

【学习目标】 课标要求

能灵活运用提公因式法和公式法分解因式。

目标达成

1、回顾因式分解的概念及方法。

2、能更加灵活的运用提公因式法和公式法分解因式。

3、在数学学习活动中获得成功的体验。 【自主学习】

一、基础过关：

1、下列从左到右是因式分解的是（ ）

A、x(a?b)?ax?bx B、2x2?1?y2?(x?1)(x?1)?y2 C、x?1?(x?1)(x?1) D、ax?bx?c?x(a?b)?c 2、下列因式分解中，正确的是（ ） A、3m?6m?m(3m?6)

2222

B、ab?ab?a?a(ab?b)

22C、2?x?2xy?y??(x?y) 3、请你找出下列各式的公因式

D、x?y?(x?y)

222 ①5x?25x的公因式为

②?2ab?4ab的公因式为

2 ③多项式x?1与(x?1)的公因式是

22223

4、把多项式m2(a?2)?m(2?a)分解因式等于（ ） A、(a?2)(m2?m)B、(a?2)(m2?m) C、m(a?2)(m?1)D、m(a?2)(m?1)

5、下列各多项式中，可用平方差公式分解因式的是（ ） A、a?4 B、a?2a C．?a?4 D．?a?4 6、把下列多项式分解因式 （1）axy?axy

（3）x?9

7、分解因式：x?y

小明是这样做的，x4?y4?(x2?y2)(x2?y2)，你认为他做得对吗？如果对，请说明理由；如果不对，请你改正过来。

二、我的疑问

【合作探究】

1、若xmx?n?(x?3)(x?2),那么m? ，n? 2.如果9x?kx?25是一个完全平方式,那么k的值是 3.一个矩形的面积为a?2ab?a ,宽为 a ,则矩形的长为__________. .

3222222222 （2）?14abc?7ab?49abc

2 （4）(x?y)2?14(x?y)?49

442

4.在多项式4x?1中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是 ________ (只写一个即可)

5、下列多项式中，能用公式法分解因式的多项式是（ ） A、x?4 B、x?x?0.25 C、x2?xy D、x?2x?

6、若a,b,c是三角形的三边长且满足(a?b)2?(a?c)2?0，则此三角形是（ ）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、不能确定

7、把下列各式分解因式

（1）(x2?y2)2?4x2y2 （2）x2(y?1)?(1?y)

（3）(a?b)(3a?b)2?(a?3b)2(b?a) （4)x(x?y)(x?y)?x(x?y)2

(5)(a?2b)?2(a?2b)(b?2a)?(2a?b) （6）3xy?18axy?27axy

【归纳小结】

1、解一元一次不等式组的过程是什么？

2、用一元一次不等式组解决实际问题的步骤有哪些？其关键步骤是什么？

2222222

【训练评估】 一、课堂目标达成 1、把下列各式因式分解：

（1)25x?16x (2) ?81x2?4y2

(3) 9(m?n)2?(m?n)2 (4) 3x3?12x2y?12xy2

2、.利用因式分解计算：

（1）999?999 (2) 975?25

(3) 800?1600?798?798

32233、已知a?b?5 ,ab?2，求ab?2ab?ab的值。

222223

二、课后巩固提升

1、在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式 x?y , 因式分解的结果是(x?y)(x?y)(x?y), 若取

4422x?9,y?9时,则各个因式的值是: x?y?0, x?y?18,x2?y2?162 于是就可以把

“0181620”作为一个六位数的密码, 对于多项式 4x?xy, 取x?10,y?10时, 用上述方法产生的密码是:___________________________

2、 已知多项式2x?x?13x?k分解因式后有一个因式为2x?1。求k的值。

3232

3、计算(1?11111)(1?)(1?).....(1?)(1?) 22222234

4、已知:x?y?1?xy?3?0，

5、求证：913?324能被8整除。

【学后反思】

910求代数式xy3?x3y的值。

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