电路原理》第五版习题解答,邱关源,罗先觉(第十四章)

《电路原理》第五版习题解答,邱关源,罗先觉

第13章 拉普拉斯变换 重点拉普拉斯变换的基本原理和性质 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 电路的时域分析变换到频域分析 的原理

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一、拉普拉斯变换的定义拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函 数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换 为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的 代数方程以便求解。

例

熟悉的变换

对数变换A

把乘法运算变换为加法运算

B AB

lg A lg B lg AB

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相量法

把时域的正弦运算变换为复数运算

正弦量 相量拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数)

i1 i2 i I1 I 2 I对应

复频域函数F(s)(象函数)

简写 F (s) s为复频率

f ( t )

s j

应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。

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拉氏变换的定义

t < 0 , f(t)=0 正变换反变换

F (s) f (t )e st dt 0 1 c j f (t ) F (s)e st ds 2 j c j

0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包 含的冲击。

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F ( s) 简写 f (t ) 注1

1

f (t ) F (s)

正变换反变换 st

F ( s)

f (t )e dt st

0

0

f (t )e dt

0

f (t )e st dt

0

在t=0 至t=0+ f(t)= (t)时此项 02

象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s),U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。

3

象函数F(s) 存在的条件：

0

f (t )e

st

dt

e st 为收敛因子

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如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：f ( t ) Me ct t [0, )

则

0

f (t ) e dt Me st 0

(s c ) t

dt

M s C

总可以找到一个合适的s值使上式积 分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存 在。

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典型函数的拉氏变换

F (s) f (t )e st dt0

单位阶跃函数的象函数

f (t ) (t )F ( s) [ (t )] (t )e dt st 0

0

e st dt

1 st 1 e s s 0

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单位冲激函数的象函数

f (t ) (t )F ( s) [ (t )] (t )e dt st 0

(t )e st dt0

0

e s0 1指数函数的象函数

f (t ) eF ( s) at

at

e

0

e e dt

at st

1 ( s a ) t e 0 s a

1 s a

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二、拉普拉斯变换的基本性质线性性质

若

则

A

[ f1 ( t )] F1 ( S ) ,1

f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )

[ f 2 ( t )]

F2 ( S )

A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )

0 A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) e st dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t )

0 A1 f1 ( t )e dt 0 A 2 f 2 ( t )e dt st st

A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )

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根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。

例1 解 例2 解

求 : f (t ) U ( t )的象函数

F (s)

U [U (t )] U [ (t )] s

求 : f (t ) sin( t )的象函数

F (s)

sin( t )

1 j t j t 2 j ( e e )

1 1 1 s2 2 2 j s j s j

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微分性质时域导数性质

若： f (t ) F ( s)

udv

uv vdu

则

df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )

df ( t ) 证： dt st

0

st e f (t ) e f (t )( s)dt 0 0

df (t ) st e dt e st df (t ) 0 dt

f (0 ) sF (s)

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例1

求 : f (t ) cos( t )的象函数

dsin(ωt ) 1 dsin(ωt ) 解 ωcos(ωt ) cos(ωt ) dt ω dt 1 d [cosωt ] (sin( ωt ) ω dt s s 0 2 2 2 s s 2

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例2 解

求 : f (t ) δ( t )的象函数

1 dε( t ) [ε( t )] δ( t ) s dt d 1 δ(t ) [ ε(t )] s 1 s dt

推广：

d f (t ) [ ] 2 dt2

2

s[sF (s) f (0 )] f ' (0 )'

s F (S ) sf (0 ) f (0 )d n f (t ) [ ] n dt s n F (S ) s n 1 f (0 ) f n 1 (0 )

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频域导数性质

设：

[ f ( t )] F (s) 0

则： st

dF (s) [ tf ( t )] ds

d 证： f (t )e st dt ds 0

f (t )( t )e dt

例1解

[ tf (t )]求 : f (t ) tε( t )的象函数

d 1 1 [tε( t )] ds ( s ) ( s 2 )

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例2 解 例3 解

求 : f (t ) t nε( t )的象函数

[t n ε(t )] ( 1)n d n (s) ( n! ) n 1 ds

n

s

求 : f (t ) te at的象函数

[te ]

αt

d 1 1 ( ) ds s α ( s α )2

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积分性质

设： [ f ( t )] F ( s )证：令t 0

则： [

t

0

[ f (t )dt ] (s)t

1 f (t )dt ] F (s) s应用微分性质

d [ f (t )] 0 f (t )dt dt

F(s) s (s) f (t )dt0

t

t 0

例

解

2 [t ε( t )] 3 s2

求 : f ( t ) tε( t )和f (t ) t 2 ε(t )的象函数 11 [tε( t )] [ 0 (t )dt ] s s

F ( s) φ( s ) s

[t ε( t )] 2 0 tdt2 t

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延迟性质

设：注

[ f ( t )] F ( s )

则：

[ f ( t t0 )] e st F ( s )0

f ( t t0 ) 0 当 t t0证：

f(t - t 0 ) 0 t0

f (t t0 )e st dt s ( t t0 ) st0

f (t t

0 )e

e

dt

令t t0

e

st0

0

f ( )e s d

e st0

st0

F ( s)

e

延迟因子

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例1 解

求矩形脉冲的象函数

f(t)1

f (t ) (t ) (t T )s s

根据延迟性质 F ( s ) 1 1 e sT 例2 解 求三角波的象函数T

Tf(t)

t

f ( t ) t[ ( t ) ( t T )] 1 e sT F ( s) 2 2 s s f ( t ) t ( t ) ( t T ) ( t T ) T ( t T ) 1 1 sT T sT F ( s) 2 2 e e s s s

T

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例3 解

求周期函数的拉氏变换设f1(t)为第一周函数

f(t) 1 ... T/2 T t

[ f1 ( t )] F1 ( s )1 则： [ f ( t )] F1 ( s ) sT 1 e 证：f ( t ) f1 ( t ) f1 ( t T )ε( t T ) f1 ( t 2T )ε( t 2T )

[ f (t )] F1 ( s) e F1 ( s) e sT

2 sT

F1 ( s)

F1 ( s)[e

sT

e

2 sT

e

3 sT

]

1 F1 ( s ) sT 1 e

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