《计数原理》测试题B卷

《计数原理》测试题B卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）

1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P Q.把满足上述条件的一

对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是 A．9

B．14

C．15

D．21

( )

2．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从

上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为 ( )

A．4

B．6 C.5 D.3

3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 ( )

A．12种

B．18种

C．24种

D．36种

4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A．36种

5．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ( )

A．24

6. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求 每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的 涂色方法共有( )

A．288种 C．240种

B．264种 D．168种

B．18

C．12

D．6

B．42种

C．48种

D．54种

7．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )

A．10种 B．15种 C．20种

D．30种

8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( )

A．152

B．126 C．90

D．54

( )

1

2x2－ 5的二项展开式中，x的系数为 9．在 x

A．10

B．－10

C．40 D．－40

a1

10．(x＋x－5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

xx

A．－40

B．－20

C．20

D．40

二、填空题（每小题6分, 共24分）

11．将数字1,2,3,4,5按第一行2个数，第二行3个数的形式随机排列，设ai(i＝1,2)表示第i行中最小的数，则满足a1>a2的所有排列的个数是________．(用数字作答)

12． 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，

则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．

13． 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．

14.若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________. 三、解答题（共计76分）．

x2y2

15.（本题满分12分）方程＋1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，

mnn∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？

16.（本题满分12分）有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

17.（本题满分12分）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

1621

18．（本题满分12分）已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于 5＋ 5的展开式的常

x

数项，而(a2＋1)n展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．

19.（本题满分14分）从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

(1)A，B必须当选； (2)A，B必不当选； (3)A，B不全当选； (4)至少有2名女生当选；

(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

20.（本题满分14分）已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n (m，n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取最小值时n的值；

(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．

高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题B卷答案

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1. 【答案】B

【解析】当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B. 2. 【答案】B

【解析】如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.

3. 【答案】A

【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．

再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．

因此共有A3A11＝12(种)不同的排列方法． 3·2·4. 【答案】 B

【解析】分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在

313第一位有C13种排法，其他3个节目有A3种排法，故有C3A3种排法．依分类加法计数原理，13知共有A44＋C3A3＝42(种)编排方案．

5. 【答案】B

【解析】根据所选偶数为0和2分类讨论求解．

当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位

21有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C3C2＝6(种)方法；

当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位

212有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C3C2A2＝12(种)方法．

依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数． 6. 【答案】 B

【解析】分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F

有2种方法，故有A32＝48(种)方法； 4×

1第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C3种方法，故共

有A33C14·3＝216(种)方法．

由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法. 7. 【答案】C

【解析】由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场． 当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．

当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．

当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C24＝12(种)情况． 由上综合知，共有20种情况． 8. 【答案】B

【解析】考虑特殊元素(位置)优先安排法．

23第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有C13C4A3＝108. 3第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C23A3＝18，

∴不同安排方案的种数是108＋18＝126. 9. 【答案】 D

1r25－r －【解析】因为Tr＋1＝Cr(2x)5

x

5r10

＝Crx52

－

－2r

5r

(－1)rxr＝Cr(－1)rx1052

－

－

－3r

，

所以10－3r＝1，所以r＝3，

53

所以x的系数为C3(－1)3＝－40. 52

－

10. 【答案】 D

【解析】令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.

1111

因此(x＋x－5展开式中的常数项即为(2x－5展开式中的系数与x的系数的和．

xxxx1－5－r5－r5－2r

(2x5展开式的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r·xr＝Crx·(－1)r. 5(2x)52x

15－2令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此(2x－5展开式中x的系数为C2(－1)2＝80.令552x115－3－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此(2x－5展开式中C3·(－1)3＝－40. 52xx11

所以(x＋x－5展开式中的常数项为80－40＝40.

xx二、填空题（每小题6分, 共24分） 11. 【答案】72

3

【解析】依题意数字1必在第二行，其余数字的位置不限，共有A24A3＝72个．

12. 【答案】16

【解析】由题意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，则其他位

3置任意排1、2、3，则这样的数有A22A3＝12(个)；若十位和千位排5、3，这时4只能排在522的一边且不能和其他数字相邻，1、2在其余位置上任意排列，则这样的数有A2A2＝4(个)，

综上，共有16个． 13. 【答案】288

【解析】记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在两端有4种排

11法，然后3位女生去插空，排法如ab甲 丙c乙 共有4A23A2A3种，若男生甲排在中2间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab乙 甲c丙 共有2A23A4种排法．根据1122分类加法计数原理共有4A23A2A3＋2A3A4＝288(种)不同排法．

14. 【答案】10

【解析】将f(x)＝x5进行转化，利用二项式定理求解． f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，

5r它的通项为Tr＋1＝Cr·(－1)r， 5(1＋x)

－

323T3＝C25(1＋x)(－1)＝10(1＋x)，∴a3＝10.

三、解答题（共计76分）．

15. 【解析】以m的值为标准分类，分为五类． 第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择； 2分 第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择； 4分 第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择； 6分 第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择； 8分 第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择． 10分 ∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法， 即有20个符合题意的椭圆． 12分

16. 【解析】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)． 4分

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)． 8分

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘

法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)． 12分

17. 【解析】用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法． 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式． 4分

第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式． 6分

第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式． 8分

由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种． 12分

16215 18. 【解析】由5x＋，得

x Tr＋1＝Cr5

r 16x2 5－r 1 r＝ 165－r·C5 5 x 520－5r2

.

令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，

16

∴r＝4，∴常数项T5＝C45＝16. 6分 5又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n. 由题意得2n＝16，∴n＝4.

由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，

4∴C24a＝54，∴a＝3. 12分

19．【解析】(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可， ∴有C310＝120(种)． 2分

(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，∴有C510＝252(种)． 4分

3(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C10种， 5故A，B不全当选有C12－C310＝672种． 6分

(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，

14∴有C5C7－C512－C5·7＝596(种)． 9分

(5)分三步进行：

第一步：选1男1女分别担任两个职务为C1C17·5； 第二步：选2男1女补足5人有C2C16·4种； 第三步：为这3人安排工作有A33.

13由分步乘法计数原理共有:C1C1C2C4·A3＝12 600(种)． 14分 7·5·6·

1

20. 【解析】(1)由已知C1m＋2Cn＝11，∴m＋2n＝11， 22x2的系数为C2m＋2Cn＝

m(m 1)

＋2n(n－1) 2

m2－m21235111－m ＝(11－m) ＝ m41＋16. 2 2

∵m∈N*，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3. 7分 (2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3. 设这时f(x)的展开式为

f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30. 14分

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