2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练：40 简单几何体的结构及其三视图和直观图

课时分层训练(四十) 简单几何体的结构

及其三视图和直观图

(对应学生用书第277页)

A组 基础达标

一、选择题

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )

A．圆柱 C．球体

B．圆锥

D．圆柱、圆锥、球体的组合体

C [截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．] 2．下列说法正确的是( )

A．棱柱的两个底面是全等的正多边形 B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形 C．{直棱柱}?{正棱柱} D．{正四面体}?{正三棱锥}

D [因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}?{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．]

3．(2017·河北石家庄质检)一个三棱锥的主视图和俯视图如图7-1-8所示，则该三棱锥的左视图可能为( )

图7-1-8

A B C D

D [由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，

所以该三棱锥的左视图可能为选项D.]

4．(2018·东北三省四市模拟(一))如图7-1-9，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为( )

【导学号：79140221】

图7-1-9

A．6 C．25＋2

B．42 D．26＋2

D [由三视图知，该几何体是底面腰长为2的等腰直角三角形、长为4的侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点)的三棱锥，所以该三棱锥的最长棱的棱长为42＋?22?2＝26，最短棱的棱长为2，所以该几何体中最长的棱与最短的棱的长度之和为26＋2，故选D.]

5．我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：如图7-1-10以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为( )

图7-1-10

B [由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，

由图易得其俯视图为B，故选B.]

二、填空题

6．(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图7-1-11所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．

图7-1-11

2

22 [因为直观图的面积是原图形面积的4倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为22.]

7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的主视图的面积等于________．

2 [由题意知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图

的面积相等为2.]

8．如图7-1-12所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的面积的比值为________.

【导学号：79140222】

图7-1-12

1 [三棱锥P-ABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.] 三、解答题

9．某几何体的三视图如图7-1-13所示．

图7-1-13

(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．

1

[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后的几何体．

4(2)直观图如图所示．

10．如图7-1-14，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，

如图7-1-15为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

图7-1-14 图7-1-15

(1)根据图中所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA.

[解] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.

(2)由左视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝62.

由主视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝?62?2＋62＝63 cm.

B组 能力提升

11．(2018·贵州适应性考试)如图7-1-16，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P-BCD的俯视图与主视图面积之比的最大值为( )

图7-1-16

A．1 C.3

B．2 D．2

1

D [设正方体的棱长为1，则由题意得三棱锥主视图的面积S主视图＝2×1×11

＝2，而三棱锥俯视图面积的最大值为S

俯视图

＝S

四边形

ABCD＝1×1＝1，所以三

S俯视图

棱锥P-BCD的俯视图与主视图的面积之比的最大值为＝2，故选D.]

S主视图12．已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________.

【导学号：79140223】

6 [如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V-ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝22.

因为一条侧棱长为211.

所以VO＝VA2－AO2＝44－8＝6. 所以正四棱锥V-ABCD的高为6.]

13．已知正三棱锥V-ABC的主视图、左视图和俯视图如图7-1-17所示．

图7-1-17

(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出左视图的面积． [解] (1)直观图如图所示．

(2)根据三视图间的关系可得BC＝23， ∴左视图中 VA＝

?2?23

4－?××23?＝23，

?32?

2

1

∴S△VBC＝2×23×23＝6.

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