运筹学考试试题答案与整理出来的复习题

5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量xi或xij的值（i =1，2，?m j=1，2?n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数 第二章线性规划的基本概念 一、填空题

1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。

5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关

6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。

8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。

9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。

10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。

11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。 12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。

14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。

15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解

16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。

17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。 19.如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj,Xj,同时令Xj＝Xj－Xj。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑cijxij。

′

〞

′

21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在i行j列。 二、单选题

1． 如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m

行解的个数最为_C_。 A．m个B．n个C．CnD．Cm个

2．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是 A

m

n

3．线性规划模型不包括下列_ D要素。

A．目标函数B．约束条件C．决策变量D．状态变量

4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将_B_。

A．增大B．缩小C．不变D．不定

5．若针对实际问题建立的线性规划模型的解是无界的，不可能的原因是B__。

A．出现矛盾的条件B．缺乏必要的条件C．有多余的条件D．有相同的条件 6．在下列线性规划问题的基本解中，属于基可行解的是 D

A．(一1，0，O)B．(1，0，3，0)C．(一4，0，0，3)7．关于线性规划模型的可行域，下面_B_的叙述正确。

A．可行域内必有无穷多个点B．可行域必有界C．可行域内必然包括原点D．可行域必是凸的

8．下列关于可行解，基本解，基可行解的说法错误的是_D__.

A．可行解中包含基可行解B．可行解与基本解之间无交集

C．线性规划问题有可行解必有基可行解D．满足非负约束条件的基本解为基可行解 9.线性规划问题有可行解，则 A A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解 D无唯一最优解 10.线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时C A没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解 11.若目标函数为求max，一个基可行解比另一个基可行解更好的标志是 A

A使Z更大 B 使Z更小 C 绝对值更大 D Z绝对值更小 12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D T

T

T

D．(0，一1，0，5)

T

A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不等式要求 13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在D集合中进行搜索即可得到最优解。

A 基 B 基本解 C 基可行解 D 可行域 14.线性规划问题是针对 D求极值问题.

A约束 B决策变量 C 秩 D目标函数 15如果第K个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要 B A左边增加一个变量 B右边增加一个变量 C左边减去一个变量D右边减去一个变量 16.若某个bk≤0, 化为标准形式时原不等式 D A 不变 B 左端乘负1 C 右端乘负1 D 两边乘负1 17.为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为 A A 0 B 1 C 2 D 3 12.若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题B

A 没有无穷多最优解 B 没有最优解 C 有无界解 D 有无界解 三、多选题

1． 在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是D .

A．可控变量B．松驰变量c．剩余变量D．人工变量 2．下列选项中符合线性规划模型标准形式要求的有BCD

A．目标函数求极小值B．右端常数非负C．变量非负D．约束条件为等式E．约束条件为“≤”的不等式

3．某线性规划问题，n个变量，m个约束方程，系数矩阵的秩为m(m

A．基可行解的非零分量的个数不大于mB．基本解的个数不会超过Cn个C．该问题不会出现退化现象D．基可行解的个数不超过基本解的个数E．该问题的基是一个m×m阶方阵 4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能ABCD

A．无有限最优解B．有有限最优解C．有唯一最优解D．有无穷多个最优解E．有有限多个最优解

5．判断下列数学模型，哪些为线性规划模型(模型中a．b．c为常数；θ为可取某一常数值

的参变量，x，Y为变量)ACDE

m

6．下列模型中，属于线性规划问题的标准形式的是ACD

7．下列说法错误的有_ABD_。

A． 基本解是大于零的解B．极点与基解一一对应

C．线性规划问题的最优解是唯一的D．满足约束条件的解就是线性规划的可行解 8.在线性规划的一般表达式中，变量xij为 ABE A 大于等于0 B 小于等于0 C 大于0 D 小于0 E 等于0 9.在线性规划的一般表达式中，线性约束的表现有 CDE A ＜ B ＞ C ≤ D ≥ E = 10.若某线性规划问题有无界解，应满足的条件有 AD

A Pk＜0 B非基变量检验数为零 C基变量中没有人工变量 Dδj＞O E所有δj≤0

11.在线性规划问题中a23表示 AE A i =2 B i =3 C i =5 D j=2 E j=3 43.线性规划问题若有最优解，则最优解 AD

A定在其可行域顶点达到 B只有一个 C会有无穷多个 D 唯一或无穷多个 E其值为0

42.线性规划模型包括的要素有 CDE A．目标函数 B．约束条件 C．决策变量 D 状态变量 E 环境变量 四、名词

1基：在线性规划问题中，约束方程组的系数矩阵A的任意一个m×m阶的非奇异子方阵B，称为线性规划问题的一个基。

2、线性规划问题：就是求一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。 3 .可行解：在线性规划问题中，凡满足所有约束条件的解称为线性规划问题可行解 4、行域：线性规划问题的可行解集合。

5、本解：在线性约束方程组中，对于选定的基B令所有的非基变量等于零，得到的解，称为线性规划问题的一个基本解。

6.、图解法：对于只有两个变量的线性规划问题，可以用在平面上作图的方法来求解，这种方法称为图解法。

7、本可行解：在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解称为基本可行解。 8、模型是一件实际事物或实际情况的代表或抽象，它根据因果显示出行动与反映的关系和客观事物的内在联系。

四、把下列线性规划问题化成标准形式：

2、minZ=2x1-x2+2x3

八、已知线性规划问题

(1) 写出其对偶问题(2)已知原问题最优解为X﹡=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的

最优解。

T

W* = 16

第五章线性规划的灵敏度分析

一、填空题

1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。 2、在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到的性质是_可行性，正则性。

3．在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起该非基变量自身的检验数的变化。 4．如果某基变量的目标系数的变化范围超过其灵敏度分析容许的变化范围，则此基变量应出基。 5．约束常数b；的变化，不会引起解的正则性的变化。

6．在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值是Z*+yi△b (设原最优目标函数值为Z﹡)

7．若某约束常数bi的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用对偶单纯形法求解。

8．已知线性规划问题，最优基为B，目标系数为CB，若新增变量xt，目标系数为ct，系数列向量为Pt，则

－

当Ct≤CBB1Pt时，xt不能进入基底。

9．如果线性规划的原问题增加一个约束条件，相当于其对偶问题增加一个变量。

10、若某线性规划问题增加一个新的约束条件，在其最优单纯形表中将表现为增加一行，一列。 11．线性规划灵敏度分析应在最优单纯形表的基础上，分析系数变化对最优解产生的影响

12．在某生产规划问题的线性规划模型中，变量xj的目标系数Cj代表该变量所对应的产品的利润，则当某

一非基变量的目标系数发生增大变化时，其有可能进入基底。 二、单选题

1．若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则C。

A．该基变量的检验数发生变化B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化

2．线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对D的影响。

A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解

3．在线性规划的各项敏感性分析中，一定会引起最优目标函数值发生变化的是B。 A．目标系数cj的变化B．约束常数项bi变化C．增加新的变量 D．增加新约束 4．在线性规划问题的各种灵敏度分析中，B_的变化不能引起最优解的正则性变化。

A．目标系数B．约束常数C．技术系数D．增加新的变量E．增加新的约束条件 5．对于标准型的线性规划问题，下列说法错误的是C

A．在新增变量的灵敏度分析中，若新变量可以进入基底，则目标函数将会得到进一步改善。B．在增加新约束条件的灵敏度分析中，新的最优目标函数值不可能增加。C．当某个约束常数bk增加时，目标函数值一定增加。D．某基变量的目标系数增大，目标函数值将得到改善 6.灵敏度分析研究的是线性规划模型中最优解和 C 之间的变化和影响。

A 基 B 松弛变量 C原始数据 D 条件系数 三、多选题

1．如果线性规划中的cj、bi同时发生变化，可能对原最优解产生的影响是_ ABCD.

A．正则性不满足，可行性满足B．正则性满足，可行性不满足C．正则性与可行性都满足D．正则性与可行性都不满足E．可行性和正则性中只可能有一个受影响

2．在灵敏度分析中，我们可以直接从最优单纯形表中获得的有效信息有ABCE。

-1

A．最优基B的逆B B．最优解与最优目标函数值C．各变量的检验数D．对偶问题的解E．各列向量 3．线性规划问题的各项系数发生变化，下列不能引起最优解的可行性变化的是ABC_。

A．非基变量的目标系数变化 B．基变量的目标系数变化C．增加新的变量D，增加新的约束条件 4．下列说法错误的是ACD

-1

A．若最优解的可行性满足B b≥0，则最优解不发生变化B．目标系数cj发生变化时，解的正则性将受到影响C．某个变量xj的目标系数cj发生变化，只会影响到该变量的检验数的变化D．某个变量xj的目标系数cj发生变化，会影响到所有变量的检验数发生变化。 四、名词、简答题

1.灵敏度分析：研究线性规划模型的原始数据变化对最优解产生的影响 2．线性规划问题灵敏度分析的意义。（1）预先确定保持现有生产规划条件下，单位产品利润的可变范围；（2）当资源限制量发生变化时，确定新的生产方案；（3）确定某种新产品的投产在经济上是否有利；（4）考察建模时忽略的约束对问题的影响程度；（5）当产品的设计工艺改变时，原最优方案是否需要调整。 四、某工厂在计划期内要安排生产I、Ⅱ两种产品。已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原料的消耗如表所示： 设备 原材料A 原材料B I 1 4 0 Ⅱ 2 0 4 8台时 16kg 12kg 该工厂每生产一件产品I可获利2百元，每生产一件产品Ⅱ可获利3百元。 (1)单纯形迭代的初始表及最终表分别如下表I、Ⅱ所示：

x1 x2 x3x4 x5

xB X3 X4 X5 Xl X5 X2 -Z 0 2 3 O 0 0 8 1 2 1 O 0 16 4 0 0 1 0 12 0 4 00 1 14 0 0 -3/2 -1/8 0 4 4 2 1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0 说明使工厂获利最多的产品混合生产方案。 (2)如该厂从别处抽出4台时的设备用于生产I、Ⅱ，求这时该厂生产产品I、Ⅱ的最优方案。 (3)确定原最优解不变条件下，产品Ⅱ的单位利润可变范围。 (4)该

厂预备引进一种新产品Ⅲ，已知生产每件产品Ⅲ，需消耗原材料A、B分别为6kg，3kg使用设备2台时，可获利5百元，问该厂是否应生产该产品及生产多少?

(1)使工厂获利最多的产品混合生产方案：生产I产品4件，生产II产品2件，设备台时与原材料A全部用完，原材料B剩余4kg，此时，获利14百元。 (2)X*=(4，3,2，0，o)Tz*=17 (3)0≤C2≤4 (4)应生产产品Ⅲ，产量为2。

五、给出线性规划问题

用单纯形表求解得单纯形表如下，试分析下列各种条件变化下最优解(基)的变化：

xB xl x2 -8 1 2 xl x2 x3x4 x5 0 0 -3 -5 -1 1 0 -1 4-1 0 1 2 -1 1 -Z (1)分别确定目标函数中变量X1和X2的系数C1，c2在什么范围内变动时最优解不变； (2)目标函数中变量X3的系数变为6； (3)增添新的约束X1+2x2+x3≤4

解：(1)3/4≤C1≤3 2≤C2≤8 (2)X*=(2，0，1，0，0，0)T Z*=10

(3)X*=(2，1，0，0，1，0)T Z*=7 (4)X*=(0，2，0，0，0，1/3)T Z*=25/3

第六章物资调运规划运输问题 一、填空题

1． 物资调运问题中，有m个供应地，Al，A2?，Am，Aj的供应量为ai(i=1，2?，m)，n个需求地B1，B2，?Bn，

B的需求量为bj(j=1，2，?，n)，则供需平衡条件为

bi ?a=?j?1ii?1mn2．物资调运方案的最优性判别准则是：当全部检验数非负时，当前的方案一定是最优方案。

3．可以作为表上作业法的初始调运方案的填有数字的方格数应为m+n－1个(设问题中含有m个供应地和n个需求地)

4．若调运方案中的某一空格的检验数为1，则在该空格的闭回路上调整单位运置而使运费增加1。 5．调运方案的调整是要在检验数出现负值的点为顶点所对应的闭回路内进行运量的调整。 6．按照表上作业法给出的初始调运方案，从每一空格出发可以找到且仅能找到_1条闭回路 7．在运输问题中，单位运价为Cij位势分别用ui，Vj表示，则在基变量处有cij Cij=ui+Vj 。

mnnm8、供大于求的、供不应求的不平衡运输问题，分别是指?ai_＞?bi的运输问题、?ai_＜?bi的运输

i?1i?1j?1j?1问题。

10．在表上作业法所得到的调运方案中，从某空格出发的闭回路的转角点所对应的变量必为基变量。 11．在某运输问题的调运方案中，点(2，2)的检验数为负值，(调运方案为表所示)则相应的调整量应为300_。

I Ⅱ Ⅲ Ⅳ A B C 300 600 100 400 300 300 12.若某运输问题初始方案的检验数中只有一个负值：－2，则这个－2的含义是该检验数所在格单位调整量。 13.运输问题的初始方案中的基变量取值为正。 14表上作业法中，每一次调整1个“入基变量”。

15.在编制初始方案调运方案及调整中，如出现退化，则某一个或多个点处应填入数字0 16运输问题的模型中，含有的方程个数为n+M个。

17表上作业法中，每一次调整，“出基变量”的个数为1个。 18给出初始调运方案的方法共有三种。

19.运输问题中，每一行或列若有闭回路的顶点，则必有两个。 二、单选题

1、在运输问题中，可以作为表上作业法的初始基可行解的调运方案应满足的条件是D。

A．含有m+n—1个基变量B．基变量不构成闭回路

C．含有m+n一1个基变量且不构成闭回路D．含有m+n一1个非零的基变量且不构成闭回 2．若运输问题的单位运价表的某一行元素分别加上一个常数k，最优调运方案将B。

A．发生变化 B．不发生变化C．A、B都有可能

3．在表上作业法求解运输问题中，非基变量的检验数D。

A．大于0B．小于0C．等于0D．以上三种都可能

4.运输问题的初始方案中，没有分配运量的格所对应的变量为 B A基变量 B 非基变量 C 松弛变量 D 剩余变量 5.表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，那么基变量所在格为 C A 有单位运费格 B 无单位运费格 C 有分配数格 D 无分配数格 6.表上作业法中初始方案均为 A A 可行解 B 非可行解 C 待改进解 D 最优解 7.闭回路是一条封闭折线，每一条边都是 D A 水平 B 垂直 C水平＋垂直 D水平或垂直 8当供应量大于需求量，欲化为平衡问题，可虚设一需求点，并令其相应运价为 D A 0 B 所有运价中最小值 C所有运价中最大值 D最大与最小运量之差 9.运输问题中分配运量的格所对应的变量为 A A基变量 B 非基变量 C 松弛变量 D剩余变量 10.所有物资调运问题，应用表上作业法最后均能找到一个 D A 可行解 B 非可行解 C 待改进解 D 最优解 11.一般讲，在给出的初始调运方案中，最接近最优解的是 C A 西北角法 B 最小元素法 C 差值法 D 位势法 12.在运输问题中，调整对象的确定应选择 C A 检验数为负 B检验数为正 C检验数为负且绝对值最大 D检验数为负且绝对值最小 13.运输问题中，调运方案的调整应在检验数为 C 负值的点所在的闭回路内进行。

A 任意值 B最大值 C绝对值最大 D绝对值最小

14.表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，因而初始调运方案的给出就相当于找到一个 C A 基 B 可行解 C 初始基本可行解 D最优解 15平衡运输问题即是指m个供应地的总供应量 D n个需求地的总需求量。 A 大于 B 大于等于 C小于 D 等于 三、多选题

1．运输问题的求解结果中可能出现的是ABC _。

A、惟一最优解B．无穷多最优解C．退化解D．无可行解 2．下列说法正确的是ABD。

A．表上作业法也是从寻找初始基可行解开始的B．当一个调运方案的检验数全部为正值时，当前方案一定是最佳方案C．最小元素法所求得的运输的运量是最小的D．表上作业法中一张供需平衡表对应一个基可行解

3．对于供过于求的不平衡运输问题，下列说法正确的是ABC。

A．仍然可以应用表上作业法求解B．在应用表上作业法之前，应将其转化为平衡的运输问题C．可以虚设一个需求地点，令其需求量为供应量与需求量之差。D．令虚设的需求地点与各供应地之间运价为M(M为极大的正数)

4．下列关于运输问题模型特点的说法正确的是ABD

A． 约束方程矩阵具有稀疏结构 B．基变量的个数是m+n-1个C．基变量中不能有零D．基变量不构成

闭回路

5.对于供过于求的不平衡运输问题，下列说法正确的是 ABC

A．仍然可以应用表上作业法求解 B．在应用表上作业法之前，应将其转化为平衡的运输问题 C．可以虚设一个需求地点，令其需求量为供应量与需求量之差。

D．令虚设的需求地点与各供应地之间运价为M(M为极大的正数) E. 可以虚设一个库存，令其库存量为0

三、判断表(a)(b)(c)中给出的调运方案能否作为表上作业法求解时的初始解，为什么?

(a) Bl B2 B3 B4 B5 B6 产量 Al 20 10 30 A2 30 20 50 A3 10 10 50 5 75 A4 20 20 销量 20 40 30 10 50 25 (b) (c) Bl B2 B3 B4 B5 B6 产量 Bl B2 B3 B4 Al 30 30 Al 6 5 A2 20 30 50 A2 5 4 2 A3 10 30 10 25 75 A3 5 3 A4 20 20 销量

5

9

9

7

销量 20 40 30 10 50 25 (a)可作为初始方案； (b)中填有数字的方格数少于9(产地数+销地数－1)，不能作为初始方案；

(c)中存在以非零元素为顶点的闭回路，不能作为初始方案

四、已知某运输问题的产销平衡表。单位运价表及给出的一个调运方案分别见表(a)和(b)，判断给出的调运方案是否为最优?如是说明理由；如否。也说明理由。

表(a)产销平衡表及某一调运方案单位运价表 销地 产地 Bl B2 B3 B4 B5 B6 产量 l 30 20 50 A2 30 10 40 A3 10 40 10 60 A4 20 11 31 销量 30 50 20 40 30 11

五、给出如下运输问题

运价 销 B1 B2 B3 B4 产量 产 Al 5 3 10 4 90 A2 1 6 9 6 40 A3 20 10 5 7 70 销量 30 50 80 40 200 产量11 11 8

5．分别求出下面两图中从发点到收点的最大流。每条有向边上的数字为该边的容量限制。

6．下面网络中，点①，②是油井，点⑥是原油脱水处理厂，点③、④、⑤是泵站，各管道的每小时最大通过能力(吨／小时)如有向边上的标注。求从油井①、②每小时能输送到脱水处理厂的最大流量。

(提示：虚设一个发点S，令有向边(S，1)，(S，2)的容量为∞)。

名词

十一章

1、 需求：需求就是库存的输出。

2、 存贮费：一般是指每存贮单位物资单位时间所需花费的费用。 3、 缺货损失费：一般指由于中断供应影响生产造成的损失赔偿费。

4、 订货批量Q：存贮系统根据需求，为补充某种物资的库存而向供货厂商一次订货或采购的数量。 5、 订货间隔期T：两次订货的时间间隔可订货合同中规定的两次进货之间的时间间隔。

6、 记账间隔期R：指库存记账制度中的间隔记账制所规定的时间。 十二章

1、 预测：是决策的基础，它借助于经济学、概率论与数理统计、现代管理科学、系统论和计算机科学等

所提供的理论及方法，通过适当的模型技术，分析和预测研究对象的发展趋势。 十三章

1、 决策：凡是根据预定目标而采取某种行动方案所作出的选择或决定就称为决策。

2、 单纯选优决策：是指根据已掌握的数据，不需再加工计算，或仅进行方案指标值的简单计算，通过比

较便可以直接选出最优方案的决策方法。

3、 模型选优决策：是在决策对象的客观状态完全确定的条件下，建立一定的符合实际经济状况的数学模

型，进而通过对模型的求解来选择最优方案的方法。

4、 非确定型决策：是一种在决策分析过程中，对决策方案付诸实施后可能遇到的客观状态，虽然能够进

行估计，但却无法确定每一种客观状态出现的概率的决策。

5、 风险型决策：是一种在分析过程中，对方案付诸实施后可能遇到的客观状态，不仅在决策分析时能够

加以估计，而且对每一种状态出现的概率大小也有所掌握。

6、 决策树：就是对一个决策问题画一张图，用更容易了解的形式来表示有关信息。 十四章

1、 排队论：排队论所讨论的是一个系统对一群体提供某种服务时该群体占用此服务系统时所呈现的状态。 2、 排队规则：是描述顾客来到服务系统时，服务机构是否充许，顾客是否愿意排队，在排队等待情形下

服务的顺序。

3、 M/G/1排队系统：是单服务台系统，其顾客到达服从参数为λ的泊松分布，服务时间属一般分布。 随机排队模型：称服务员个数为随机变量的排队系统为随机排队服务系统，相应的模型为随机排队模型。

一、（10分）某咨询公司，受厂商委托，对新上市的一种新产品进行消费者反映的调查。该公司采用了挨户调查的方法，委托他们调查的厂商以及该公司的市场研究专家对该调查提出下列几点要求：

（1）必须调查2000户人家；

（2）在晚上调查的户数和白天调查的户数相等；

（3）至少应调查700户有孩子的家庭；

（4）至少应调查450户无孩子的家庭。

每会见一户家庭，进行调查所需费用为

家庭 有孩子 无孩子 白天会见 25元 20元 晚上会见 30元 24元 问为使总调查费用最少，应调查各类家庭的户数是多少？（只建立模型）

二、（10分）

某公司受委托，准备把120万元投资两种基金A和B，其中A基金的每单位投资额为50元，年回报率为10%，B基金的每单位投资额为100元，年回报率为4%。委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上要求投资风险最小。据测定每单位A基金的投资风险指数为8，每单位B基金的投资风险指数为3，投资风险指数越大表明投资风险越大。委托人要求在B基金中的投资额不少于30万元。为了使总的投资风险最小，该公司应该在基金A和基金B中各投资多少单位？这时每年的回报金额是多少？

为求该解问题，设

可以建立下面的线性规划模型

使用《管理运筹学》软件，求得计算机解如下图所示，

最优解

目标函数值 = 62000.000

变量值相差值

x1 4000.000 0.000

x2 10000.000 0.000

3

约束松驰/剩余变量对偶价格

1 0.000 0.057

2 0.000 -2.167

3 7000.000 0.000

目标系数范围

变量下限当前值上限

x1 3.750 8.000 无上限

x2 无下限 3.000 6.400

常数项范围

变量下限当前值上限

1 780000.000 1200000.000 1500000.000

2 48000.000 60000.000 102000.000

3 无下限 3000.000 10000.000

根据图回答问题：

a.最优解是什么，最小风险是多少？

b.投资的年收入是多少？

c.每个约束条件的对偶价格是多少？

d.当每单位基金A的风险指数从8降为6，而每单位基金B的风险指数从3上升为5时，用百分之一百法则能否断定，其最优解变或不变？为什么？

e.对图中的右边值范围的上、下限给予具体解释，并阐述如何使用这些信息。 三、（10分）

某造船厂根据合同从当年起连续三年末各提供五条规格型号相同的大型客货轮。已知该厂这三年内生产大型客货轮的能力及每艘客货轮的成本如下表所示。

已知加班生产时，每艘客货轮成本比正常高出10%，又知造出来的客货轮如当年不交货，每艘每积压一年所造成的积压损失为60万元。在签合同时，该厂已积压了两艘未交货的客

货轮，而该厂希望在第三年末完成合同后还能储存一艘备用。问该厂应如何安排每年客货轮生产量，使在满足上述各项要求的情况下，总的生产费用为最少？建立上述运输问题模型。

正常生产时间内 年度 可完成的客货轮数 1 3 加班生产时间内 正常生产时每艘成本 可完成的客货轮数 3 （万元） 600 2 4 2 700 3 四、（10分）

2 3 650 某畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Ai (i＝1，2，3，?，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：

在东区由A1，A2，A3三个点中至少选择两个；

在西区由A4，A5两个点中至少选一个；

在南区由A6，A7两个点中至少选一个；

在北区由A8，A9，A10三个点中至多选两个。

Ai各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表（单位：万元）所示。

投资额 利润 A1 110 31 A2 130 35 A3 160 45 A4 90 17 A5 80 15 A6 100 25 A7 90 20 A8 150 43 A9 170 53 A10 190 56 但投资总额不能超过820万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立上述问题的整数规划模型。

0 5 x4 x3 15 6 3 3 3/5 0 1 -1 4/5 -3 5 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 1/5 -1 最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,6,15,0)T，最优目标值z*=30

（2）求对偶问题的数学模型及其最优解；

minw?45y1?30y2?6y1?3y2?3?3y?4y?1?12??5y1?5y2?5??y1?0,y2?0y1*=0,y2*=1

(3) 最优解不变的情况下，求产品A的利润允许变化范围； 最优解不变的情况下，?c1?0,c1?3

（4）假定能以10元的价格购进15单位的材料，这样做是否有利，为什么？ 有利

单位材料的影子价格是1元，10元钱购进15单位的材料的单位价格为2/3元，低于影子价格。同时，在保持最优基不变的情况下

?30?b2?15

购进15吨的原材料，最优基不变。该材料的影子价格仍为1元。

（5）当可利用的资源增加到60单位时，求最优解。

b'?B?1b?1?1??45???15?

1????????060??12?????5??cj CB 0 5 0 5 x5 x3 XB x4 x3 b -15 12 15 9 3 x1 3 3/5 0 -3 6/5 -3 1 x2 -1 4/5 -3 1 3/5 -2 5 x3 0 1 0 0 1 0 0 x4 1 0 0 -1 1/5 -1 0 x5 【-1】 1/5 -1 1 0 0 最优解为X*=(x1,x2,x3,x4,x5)T=(0,0,9,0,15)T，最优目标值z*=45

（6）当产品B的原材料消耗减少为2个单位时，是否影响当前的最优解，为什么？ x2在最有表是非基变量，该产品的原材料消耗只影响x2的检验数。

P2'?B?1P2?1?1??3??1?

1??????2???02?5???????5???2?c2?CBB?1P2'?1??1??05??2???1???5?所以最优解不变?2?0

（7）增加约束条件2x1+x2+3x3≤20，对原最优解有何影响，对对偶解有何影响？ 增加的约束条件，相当于增加了一个约束方程

2x1?x2?3x3?x6?20 cj CB 0 5 0 0 5 0 x4 x3 x6 XB x4 x3 x6 b 15 6 20 15 6 2 3 3/5 2 0 3 3/5 4/5 0 2 x1 4 x2 -1 4/5 1 -3 -1 4/5 -7/5 -3 1 x3 0 1 3 0 0 1 0 0 0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x5 -1 1/5 0 -1 -1 1/5 -3/5 -1 0 0 1 0 0 x6 0 0 1 0 对原问题的最优解无影响，对对偶问题的最优解也无影响。

二、某钻井队要从8个可供选择的井位中确定4个钻井探油，使总的钻探费用最省。若8

个井位的代号是s1、s2、…、s8，相应的钻探费用为c1、c2、…、c8，并且井位满足下列条件限制：（10分） i. 或选择s1和s7，或选择s8； ii. s6和s7中选一个； iii. s2和s5不能同时选； iv. 选择了s1的话就不能选择s4； v. 选择了s2的话必须选择s3

试用：整数规划方法建模。

?1当选择si令：xi???0当不选择simaxz?c1x1?c2x2?c3x3?c4x4?c5x5?c6x6?c7x7?c8x8 ?x1?x7?x8?1?x?x?17?6??x2?x5?1??x1?x4?1?x2?x3?0???xi?0或1

四、A、B两个煤矿负责供应甲、乙、丙三个城市煤炭。已知A、B两矿年产量、三个城市的需求量以及从两煤矿至各城市煤炭运价如下表。由于供不应求，经协商，甲城市必要时可少供应0－30万吨，乙城市需求须全部满足，丙城市需求不少于270万吨。试求：将甲、乙两矿煤炭全部分配出去，满足上述条件又使总运费最低的调运方案。（15分） 产销 A B 销量（T） 甲 15 21 320 乙 18 25 250 丙 22 16 350 产量 400 450 解：(1)依题意得产销平衡表如下： 产销 A B C 销量（T） 15 21 M 290 15 21 0 30 18 25 M 250 22 16 M 270 22 16 0 80 400 450 70 甲’ 甲’’ 乙 丙’ 丙’’ 产量 (2)做初始的调运方案（伏格尔法） 产销 A B C 销量（T） 产销 A 15 15 18 22 22 290 甲’ 15 150 140 M 30 甲’’ 21 30 0 250 乙 15 21 M 270 丙’ 250 18 25 270 M 22 16 10 70 80 丙’’ U 0 70 22 16 450 400 甲’ 甲’’ 乙 丙’ 丙’’ 产量 （3）用位势法进行检验 0 B C V 0 M-5 21 21 M 0 0 -5 21 21 0 1 M-8 24 25 M 12 0 16 16 M 12 0 0 16 16 0 -6 0 -16 0 (4) 做闭回路调整 调整后为：

产销 A B C 销量（T） 290 （5）进行进一步检验 产销 A B C V 0 M-5 21 M 0 15 21 0 5 0 16 0 15 21 1 M-8 24 M 0 18 25 12 0 M 16 M 22 16 12 0 0 16 0 22 16 -6 0 -16 甲’ 甲’’ 乙 丙’ 丙’’ U 15 150 140 M 21 30 30 0 250 15 21 M 270 250 18 25 270 M 22 16 40 40 80 0 70 22 16 450 400 甲’ 甲’’ 乙 丙’ 丙’’ 产量 (6) 调整后的方案为最优方案

最低费用＝150×15＋250×18＋140×21＋270×16＋40×16＋30×0＋40×0＝14650

五、分配甲、乙、丙、丁四人去完成5项任务。每人完成各项任务时间如下表所示。由于任务数多于人数，故规定其中有一人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项，试确定总花费时间最少的指派方案。（15分）

甲 乙 丙 丁 A 25 39 34 24 B 29 38 27 42 C 31 26 28 36 D 42 20 40 23 E 37 33 32 45 解：假设增加一个人戊完成各项工作的时间取A、B、C、D、E最小值。 得效率矩阵为：

AB甲?25乙??39丙?34?丁?24戊??24CDE29314237?38262033?? 27284032??42362345?27262032??各行减最小值，各列减最小值：得

AB甲?045乙??19185丙?70??丁?11912戊??475变换得

C17DE7?08?? 13????17??7??DEAB甲?045乙??18174丙?70??丁??1811戊??364进一步

C187?07?? 14????16??6??CDEAB甲?001183??1813003乙???丙?1100180???丁?0147012?戊??32002??最有指派方案

ABC甲?0乙??0丙?0?丁?1戊??0

DE

1000?

0010?? 0001?

?

0000?0100??

甲——B，乙——C,D，丙——E，丁——A

最低费用＝29＋26＋20＋32＋24＝131 六、某公司打算将3千万元资金用于改造扩建所属的3个工厂，每个工厂的利润增长额与所

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