2015年全国初中数学联合竞赛试题

2015年全国初中数学联合竞赛

时间：3月22日第一试：上午8:30--9:30第二试：上午9:50—11:20

第一试（A）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

a2?b2b2?c2c2?a2b，c满足a?b?c?3，a?b?c?4，则1. 设实数a，???（）

2?c2?a2?bA. 0 B. 3 C. 6 D. 9

222n?，B?m?8，n?，则n?（） 2. 若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，且过点A?m，A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

3. 矩形ABCD中，AD?5，AB?10，E、F分别为矩形外的两点，BE?DF?4，AF?CE?3，则EF?（）

A.415 B. 15 C.

4. 已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y?在反比例函数y??A.

5. 已知实数x，y满足关系式xy?x?y?1，则x2?y2的最小值为（） A.3?22B. 6?42C. 1 D. 6?42

6. 设n是小于100的正整数且使5n2?3n?5是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（） A.285 B. 350 C. 540 D. 635

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

b是一元二次方程x2?x?1?0的两根，则3a3?4b?1. 设a，221 D. 102 1?x?0?的图象上，位于第二象限的点Bx4?x?0?的图象上，且OA?OB，则tan?ABO的值为（） x21 B. C. 1 D. 2

222的值为_______________． a2

2. 从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为_______________．

△ACD的外心，若AB?AC，3. 已知锐角△ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为△ABD、EF?BC，则?C??B?________________．

4. 将数字1，2，3，……，34，35，36填在6?6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为___________．

第一试（B）

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

a2?b2b2?c2c2?a2b，c满足a?b?c?3，a?b?c?4，则1. 设实数a，???（）

2?c2?a2?bA. 12 B. 9 C. 6 D. 3

222n?，B?m?8，n?，则n?（） 2. 若抛物线y?x2?bx?c与x轴只有一个公共点，且过点A?m，A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

3. 矩形ABCD中，AD?5，AB?10，E、F分别为矩形外的两点，BE?DF?4，AF?CE?3，则EF?（）

A.415 B. 15 C.

4. 已知实数x，y满足关系式x2?xy?y2?3，则?x?y?的最大值为（）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

5.已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数y?反比例函数y??A.

6. 设n是小于100的正整数且使2n2?3n?2是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（） A. 784 B. 850 C. 1536 D. 1634

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

b是一元二次方程x2?x?1?0的两根，则3a3?4b?1. 设a，2221 D. 102 1位于第二象限的点B在?x?0?的图象上，

x4?x?0?的图象上，且OA?OB，则tan?ABO的值为（） x21 B. C. 1 D. 2

222的值为_______________． 2a

2. 从三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为_______________．

3. C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分?BAC，AB?20，AD?415，则AC的长为________________．

b，c，d，e，4. 在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，使得ab?bc?cd?de?ea最小，则这个最小值为_________________．

第二试（A）

一、（本题满分20分）关于x的方程x2?m?2x2?1?x有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围．

C?BD，AB?AC，二、（本题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且A过点D作DF?BD，交BA的延长线于点F，?BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N． （1）证明：?BAD?3?DAC； （2）如果

BF?DFCD，证明：MN?MD． ?BDACFAMBNEDC

三、（本题满分25分）设正整数m，n满足：关于x的方程?x?m??x?n??x?m?n至少有一个正整数解，证明：2m2?n2?5mn．

??第二试（B）

b满足ab?1，求M?一、（本题满分20分）若正数a，11的最小值． ?1?a1?2b 二、（本题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交与点E，且AC?BD，AB?AC?BD．过点D作DF?BD，交BA的延长线于点F，?BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N．

（1）证明：?BAD?3?DAC；

（2）如果MN?MD，证明：BF?CD?DF．

FAMBNEDC

三、（本题满分25分）若关于x的方程x2?34x?34k?1?0至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值．

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