揭阳市2013高三数学文科二模考试

广东省揭阳市2013届高中毕业班第二次高考模拟考试试题

数学(文科)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y?1?2x的定义域为

A.[0,??) B.(??,0] C. (0,??) D. (??,0) 2．若1?2ai?(1?bi)i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a?bi|=

A．

1?i 2B．5 C．

5 2D．

5 4??????3．已知点A(?1,5)和向量a=（2,3），若AB?3a，则点B的坐标为

A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5，14) 4．设函数f(x)?cos(2??x)?3cos(A.

?2?x)，则函数的最小正周期为

? B.? C.2? D.4? 2x2y25．以椭圆??1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为

43y2y2x2y2x2y222?x?1 B.x??1 C. ??1 D. ??1 A. 3343346．在等差数列?an?中，首项a1?0,公差d?0，若am?a1?a2???a9，则m的值为 A．37

B．36 C．20 D．19

7．设定义在[-1，7]上的函数y?f(x)的图象如图（1）示， 则关于函数y?1的单调区间表述正确的是 图（1） f(x)[1,3)上单调递增；

A.在[-1,1]上单调递减 B.在(0,1]单调

C.在[5,7]上单调递减 D.在[3, 5]上单调递增

8. 一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(2)示，则该几何体的体积为

正视图侧视图

A.7 B.

224723 C. D. 图363（2）

俯视图

9.若直线ax?by?1?0平分圆C:x?y?2x?4y?1?0的周长，则ab的取值范围是 A.(??,] B.(??,] C.(0,] D.(0,]

2214181418?0?x?1,10．已知点P(x,y)满足?则点Q(x?y,y)构成的图形的面积为

0?x?y?2.?A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（9－13题）

11．若点(a,?1)在函数y?log1x的图象上，则tan34?的值为 ． a12．已知函数f(x)?4|a|x?2a?1．若命题：“?x0?(0,1)，使f(x0)?0”是真命题，则实数a的取值范围为 . 13．对于集合M，定义函数fM(x)????1,x?M,对于两个集合A，B，定义集合

?1,x?M.A?B?{xfA(x)?fB(x)??1}. 已知A={2,4,6,8,10}，B?{1,2,4,8,12}，则用列举法写

出集合A?B的结果为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：??22cos(??的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为 ． 15．(几何证明选讲选做题) 如图（3）示，C,D是半圆周上的两 个三等分点，直径AB?4，CE?AB，垂足为E，BD与 CE相交于点F，则BF的长为 ．

D C F A E o 图 3

B

?4)

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

1?2sin(2x?)4， 已知函数f(x)?cosx（1）求函数f(x)的定义域；

（2）设?是第四象限的角，且tan???

?4，求f(?)的值． 3

17. （本小题满分12分）

某校为“市高中数学竞赛”进行选拔性测试， 规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90 分以下(不包括90分)的则被淘汰．现有100人参

加测试，测试成绩的频率分布直方图如图（4）.

(1)求获得参赛资格的人数；

(2)根据频率分布直方图，估算这100名学生测试 的平均成绩；

(3)现在成绩[110,130)、[130,150] （单位：分） 的同学中采用分层抽样机抽取5人，按成绩从低到 高编号为A1,A2,A3,A4,A5，从这5人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130,150]的概率．

18．（本小题满分14分）

0.0170频率/组距0.01400.00650.00500.00450.0030030507090110130150(分数)2，3，?），且a1，a2，a3成公数列?an?中，a1?3，an?1?an?cn（c是常数，n?1，比不为的等比数列．

（1）求c的值；

（2）求?an?的通项公式．

19．（本小题满分14分） C如图（5），已知三棱柱BCF-ADE的侧面CFED与ABFE都是边长 为1的正方形，M 、N两点分别在AF和CE上，且AM=EN．

NF（1）求证：平面ABCD?平面ADE； D（2）求证： MN//平面BCF；

（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．

E图（5）BMA

20. （本小题满分14分）

如图(6)已知抛物线C:y?2px(p?0)的准线为，焦点为F， 圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角 为

2l y t ?的直线t，交于点A，交圆M于点B,且|AO|?|OB|?2． 3A B O F X M （1）求圆M和抛物线C的方程；

（2）试探究抛物线C上是否存在两点P,Q关于直线 图（6） m:y?k?x?1??k?0?对称？若存在，求出直线m 的方程，若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知a?0，函数f(x)?ax?lnx. （1）求f(x)的单调区间； （2）当a?212时，证明：方程f(x)?f()在区间（2，??）上有唯一解； 83（3）若存在均属于区间[1，3]的?,?且????1，使f(?)=f(?)， 证明：

ln3?ln2ln2． ?a?53

揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考

数学(文科)参考答案及评分说明

一．选择题：BCDCB ABDBB 解析：2．由1?2ai?(1?bi)i得?a?15,选C ， ,b?1?|a?bi|?a2?b2?22??????x?1?63．设B(x,y)，由AB?3a得?，所以选D

?y?5?94．函数f(x)?2sin(x??6)，故其最小正周期为2?，故选C.

6．由am?a1?a2???a9得(m?1)d?9a5?36d?m?37，选A． 7. 函数y?1当x=0，x=3，x=6时无定义，故排除A、C、D，选B. f(x)1123，故?1?1?1?323v2v=uv=u-18．依题意可知该几何体的直观图如右上图示，其体积为. 23?2??选D.

9．依题意知直线ax?by?1?0过圆C的圆心（-1,2），即 a?2b?1，由

11?a?2b?22ab?ab?，故选B.

8?0?u?v?1,10．令x?y?u,y?v，则点Q(u,v)满足?，在uov平面内画

0?u?2.?出点Q(u,v)所构成的平面区域如图，易得其面积为2.故选B. 二．填空题：11.

o-1u12u=213;12. a?1(或a?(,??))；13. {1，6，10，12}；

2214. ?cos???sin??2?0（或?cos(??解析：11．依题意得a?3，则tan?4)?2）；15.23 34?4?=tan?3。 a312．由“?x0?(0,1)，使得f(x0)?0”是真命题，得f(0)?f(1)?0? a?0(1?2a)(4|a|?2a?1)?0????(2a?1)(2a?1)?0a?0或???(6a?1)(2a?1)?0?a?1.

213．要使fA(x)?fB(x)??1，必有x?{x|x?A且x?B}? {x|x?B且x?A}={1，6，10，12，16} ，所以A?B={1，6，10，12}

14．把??22cos(???4)化为直角坐标系的方程为x2?y2?2x?2y，圆心C的坐标为

（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x?y?2?0,化为极坐标系的方程为

??cos???sin??2?0或?cos(??)?2.

415.依题意知?DBA?30?,则AD=2，过点D作DG?AB于G，则AG=BE=1，所以

BF?23. 3三．解答题：

16．解：（1）函数f(x)要有意义，需满足：cosx?0，解得x?分

即f(x)的定义域为{x|x??2?k?,k?Z，------2

?2?k?,k?Z}-------------------------------------4分

1?2sin(2x?)4 （2）∵f(x)?cosx?1?2(?22sin2x?cos2x)1?cos2x?sin2x22--------6分 ?cosxcosx2cos2x?2sinxcosx ? ?2(cosx?sinx)----------------------8分

cosx44，得sin???cos?, 又sin2??cos2??1 33934∴cos2??，∵?是第四象限的角∴cos??，sin???------------------------10分

255514∴f(?)?2(cos??sin?)?．---------------------------------------------------12分

5由tan???17.解： (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为：

100×(0.0050＋0.0045＋0.0030)×20＝25人．----------------3分 (2)设100名学生的平均成绩为x，则

x＝[

30＋5050＋7070＋9090＋110110＋130

×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0045＋22222

130＋150

×0.0030]×20＝78.4分．------------------------------------6分 2

(3) 成绩在[110,130)的人数为100×0.0045×20=9人，成绩在[130,150)的人数为100×0.0030×20=6人，所以应从成绩在[130,150)中抽取

69

×5=2人，从成绩在[110,130)中抽取×5=3人，故1515

A4,A5?[130,150)，----------------------------------8分

从

A1,A2,A3,A4,A5中任取两人，共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A2,A3),

(A2,A4),(A2,A5),(A3,A4),(A3,A5),(A4,A5)十种不同的情况，-----------10分

其中含有

A4,A5的共有7种，所以至少有1人的成绩在[130,150)的概率为10．-----12分

7

18．解：（1）a1?3，a2?3?c，a3?3?3c， --------------------------------1分 ∵a1，a2，a3成等比数列，∴(3?c)?3(3?3c)， --------------------------------3分 解得c?0或c?3． --------------------------------4分 当c?0时，a1?a2?a3，不符合题意舍去，故c?3．-------------------------------6分 （2）当n≥2时，由a2?a1?c，a3?a2?2c，??an?an?1?(n?1)c，-------------8分

2an?a1?[1?2???(n?1)]c?n(n?1)n(n?1)can?a1?[1?2?L?(n?1)]c?c． 22 -------------------------------10分

33n(n?1)?(n2?n?2)(n?2，3，?)．------------------12分 223当n?1时，上式也成立，∴an?(n2?n?2)(n?N?)．--------------------------------14分

2又a1?3，c?3，∴an?3?19．解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形

∴EF?DE,EF?AE,又DE?EA?E, ∴EF?平面ADE，---------------2分 又∵EF//AB，∴AB?平面ADE

∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD?平面ADE-------------------------4分 （2）证法一：过点M作MM1?BF交BF于M1，

过点N作NN1?CF交BF于N1，连结M1N1,------------5分 ∵MM1//AB,NN1//EF∴MM1//NN1 又∵

NCN1DFMAM1BEMM1FMCNNN1 ∴MM1?NN1--------------------------------7分 ???ABFACEEF∴四边形MNN1M1为平行四边形，---------------------------------------------8分

?MN//N1M1,又MN?面BCF,N1M1?面BCF,?MN//面BCF.----------10分

[法二：过点M作MG?EF交EF于G，连结NG，则

CCNFMFG??, NEMAGEDNFMB?NG//CF-----------------------------------------------------------6分

EGA

又NG?面BCF,CF?面BCF,?NG//面BCF，------------7分

同理可证得MG//面BCF，又MG?NG?G, ∴平面MNG//平面BCF--------9分 ∵MN?平面MNG, ?MN//面BCF．--------------------------------------------10分] （3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点

A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------11分 在△AEN中，∵?AEN?135?,AE?1,NE?CFB2 2DNPEA由余弦定理得AN2?AE2?EN2?2AE?ENcos135?，------13分 ∴AN?1010 即(PA?PN)min?．-----------------------14分 22p1?OAcos60??2??1，即p?2， 22220. 解：(1)∵

∴所求抛物线的方程为y?4x --------------------------------3分

22∴设圆的半径为r，则r?OB?1??2，∴圆的方程为(x?2)?y?4.--------------6分

2cos60(2) 设P?x3,y3?,Q?x4,y4?关于直线m对称，且PQ中点D?x0,y0?----------------------7分 ∵ P?x3,y3?,Q?x4,y4?在抛物线C上，∴

22y3?4x3,y4?4x4-----------------------8分

两式相减得：?y3?y4??y3?y4??4?x3?x4?--------------------------------9分

∴y3?y4?4?x3?x44???4k，∴y0??2k-----------------------11分

y3?y4kPQ∵D?x0,y0?在m:y?k?x?1??k?0?上

∴x0??1?0，点D?x0,y0?在抛物线外--------------------------------13分 ∴在抛物线C上不存在两点P,Q关于直线m对称. --------------------------14分

221．解：（1）函数f(x)的定义域(0,??) ，f?(x)?2ax?1?2ax?1 -------------2分

xx2a，令f?(x)?0得：0?x?2a----------4分 2a2a2a2a∴函数f(x)的单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,??)-------------5分

2a2a11（2）证明：当a?时，f(x)?x2?lnx，由（1）知f(x)的单调递减区间为(0,2)，

88单调递增区间为(2,??)，--------------------------------------------6分

?a?0 令f?(x)?0得：x?

令g(x)?f(x)?f()，则g(x)在区间(2,??)单调递增且

232e4122g(2)?f(2)?f()?0,g(e)??2??ln?0，-----------------8分

381832∴方程f(x)?f()在区间（2，??）上有唯一解．----------------------9分

3（注：检验g(x)的函数值异号的点选取并不唯一）

（3）证明：由f(?)?f(?)及（1）的结论知??2a??，-------------10分 2a从而f(x)在[?,?]上的最大值为f(?)（或f(?)），---------------------11分 又由????1,?,??[1,3],知1???2???3.--------------------------12分

?f(1)?f(?)?f(2)?a?4a?ln2，即?-----------------------13分

?f(3)?f(?)?f(2)?9a?ln3?4a?ln2ln3?ln2ln2从而．--------------------------------------------14分 ?a?53故?

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