【压轴题 精讲特训】挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的直角三角形问题(含2013试题,含详解)

因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线y

123

，与y轴x x 4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧）

42

交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个

动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．

请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．

思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

1231

x x 4 (x 2)(x 8)，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)． 424

1

（2）直线DB的解析式为y x 4．

2

113

由点P的坐标为(m, 0)，可得M(m, m 4)，Q(m,m2 m 4)．

242

1131

所以MQ＝( m 4) (m2 m 4) m2 m 8．

2424

（1）由y

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形． 解方程 m2 m 8 8，得m＝4，或m＝0（舍去）．

14

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)． 所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分． 所以四边形CQBM是平行四边形．

图2 图3

（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

考点伸展

第（3）题可以这样解：设点Q的坐标为(x,(x 2)(x 8))．

14

1

(x 2)(x 8)

1QGBH1

①如图3，当∠DBQ＝90°时， ．所以 ．

GBHD28 x2

解得x＝6．此时Q(6,－4)．

1

4 (x 2)(x 8)

QGDH②如图4，当∠BDQ＝90°时， 2．所以 2． GDHB x

解得x＝－2．此时Q(－2,0)．

图3 图4

例1 2012年广州市中考第24题

33

如图1，抛物线y x2 x 3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y

84

轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． ．．．．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

333

（1）由y x2 x 3 (x 4)(x 2)，

848

得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

DGCO3

． BGAO4

399

所以DG BG ，点D的坐标为(1, )．

444

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

2727

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG ．所以D′的坐标为(1,)．

44

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以

图2 图3

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M． 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．

联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

M1A3

，所以M1A＝6． AE4

3

所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为y x 3．

4

3

根据对称性，直线l还可以是y x 3．

4

在Rt△EM1A中，AE＝8，tan M1EA

考点伸展

第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式． 在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4． 在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．

因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．

例3 2012年杭州市中考第22题

在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点

B(－1,－k)．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

动感体验

请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．

请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．

思路点拨

1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y

k

．题目x

中的k都是一致的．

2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．

3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

满分解答

（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是y

k． x

2

当k＝－2时，反比例函数的解析式是y ．

x

（2）在反比例函数y

k

中，如果y随x增大而增大，x

那么k＜0．

当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．

15

抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝k(x )2 k的对称轴是直

24

1

线x ． 图1

2

1

所以当k＜0且x 时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．

2

15

（3）抛物线的顶点Q的坐标是( , k)，A、B关于原点O中心对称，

24

当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．

15

由OQ2＝OA2，得( )2 ( k)2 12 k2．

24

解得k1

，k2 ．

（如图2）

3）

图2 图3

考点伸展

k

（k＞0）交于A、Bx

和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．

问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？

如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．

因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．

如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线y

图4 图5

例4 2011年浙江省中考第23题

设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．

1

（1）已知直线①y x 2；②y x 2；③y 2x 2；④

2

y 2x 4和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．

答案

（1）直线①和③是点C的直角线．

（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么＝6或OP＝1．

BCPO2PO

，即．解得OP

CPOA7 PO3

1

x 6， l2：y＝－2x＋6． 2

1

如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1， l2：y x 1．

3

如图2，当OP＝6时，l1：y

图2 图3

例5 2010年北京市中考第24题

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y

m 125m

x x m2 3m 2与x轴的交点44

分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．

2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长． 3．点C的坐标始终可以表示为(3t,2t)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．

满分解答

m 125m

x x m2 3m 2经过原点，所以44

15

．因此y x2 x．所以点B的坐m2 3m 2 0． 解得m1 2，m2 1（舍去）

42

(1) 因为抛物线y

标为（2，4）．

(2) ①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t, 2t)．当点C落在抛物线上时，2t (3t)2

14522

． 3t．解得t OP

29

②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得t

10

． 3

如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时10 3t 2t．解得t 2．

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时10 3t 4t．解得t

10． 7

图1 图2 图3

考点伸展

在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．

如图5，当P、Q重合时，两圆内切，t

10． 3

如图6

，当两圆外切时，t 30

图4 图5 图6

例6 2009年嘉兴市中考第24题

如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN 4，MA 1，MB 1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB x．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．

思路点拨

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．

满分解答

（1）在△ABC中，AC 1，AB x，BC 3 x，所以

1 x 3 x,

解得1 x 2．

1 3 x x.

（2）①若AC为斜边，则1 x2 (3 x)2，即x2 3x 4 0，此方程无实根． ②若AB为斜边，则x2 (3 x)2 1，解得x

5

，满足1 x 2． 3

③若BC为斜边，则(3 x)2 1 x2，解得x 因此当x

4

，满足1 x 2． 3

54

或x 时，△ABC是直角三角形． 33

1

xh． 2

（3）在△ABC中，作CD AB于D，设CD h，△ABC的面积为S，则S

①如图2，若点D在线段AB上，则 h2 (3 x)2 h2 x．移项，得

(3 x)2 h2 x h2．两边平方，得(3 x)2 h2 x2 2x h2 1 h2．整理，

得x h2 3x 4．两边平方，得x2(1 h2) 9x2 24x 16．整理，得x2h2 8x2 24x 16

所以S2

412231

． xh 2x2 6x 4 2(x )2 （≤x 2）

4223

当x

4213

时（满足≤x 2），S2取最大值，从而S取最大值．

2223

图2 图3

②如图3，若点D在线段MA上，则(3 x)2 h2 h2 x． 同理可得，S2 易知此时S

412231

． xh 2x2 6x 4 2(x )2 （1 x≤）

4223

2． 2

2． 2

综合①②得，△ABC的最大面积为

考点伸展

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD a， 例如在图2中，由AC2 AD2 BC2 BD2列方程1 a (3 x) (x a)． 整理，得a

2

2

2

3x 4

．所以 x

8x2 24x 16 3x 4 2

． 1 a 1 2

xx

因此

2

S2

12

x(1 a2) 2x2 6x 4． 4

例 7 2008年河南省中考第23题

如图1，直线y

4

x 4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

3

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

① 求S与t的函数关系式；

② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．

观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．

观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

思路点拨

1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

满分解答

（1）直线y

4

x 4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC3

中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t，sinB 所以NH

4

，5

4t． 5

11424S OM NH (2 t) t t2 t．

22555

如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

定义域为0＜t≤2．

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

11424S OM NH (t 2) t t2 t．

22555

定义域为2＜t≤5．

图2 图3

②把S＝4代入S

22424

t t，得t2 t

4．解得t1 2

t2 2 5555

去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4

的情形，此时t 2

③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5 t，cosB 以

3

，所5

5 t325

． ．解得t

t58

如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t 5．不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t

25

或者t 5时，△MON为直角三角形．

8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．

如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6 图7

例8 2008年河南省中考第23题

如图1，直线y

4

x 4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．3

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C

运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

① 求S与t的函数关系式；

② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S随t的增大而增大．

观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．

观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

思路点拨

1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．

2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．

3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．

4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．

满分解答

4

x 4与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）． 3

（1）直线y

Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5． 点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5． 因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．

（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H． 在Rt△BNH中，BN＝t，sinB

44

，所以NH t． 55

如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时

11424

S OM NH (2 t) t t2 t．定义域为0＜t≤2．

22555

如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时

11424

S OM NH (t 2) t t2 t．定义域为2＜t≤5．

22555

图2 图3

②把S＝4代入S

22424

t t，得t2 t 4．

5555

解得t1 2

t2 2．

因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4

的情形，此时t 2 ③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5 t，cosB 所以

3

， 5

5 t325

． ．解得t

t58

如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，t 5． 不存在∠ONM＝90°的可能． 所以，当t

25

或者t 5时，△MON为直角三角形． 8

图4 图5

考点伸展

在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．

如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6 图7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wqb4.html