大学物理答案 6.第六章
更新时间:2023-11-07 15:52:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第六章 机械运动和机械波
思考题
6-35简谐振动中相位为φ、π+φ、2π+φ、3π+φ、….时描述的是同一运动状态吗?为什么?
6-36 对一简谐振动系统,画出其动能和势能关于时间变量的曲线,并分析两者反相的物理意义。
6-37 将单摆摆线从铅直方向拉到φ角的位置撒手任其摆动。这里φ角是初相位吗?若不是,它将对应什么物理量?
6-38 若以一装满水的空心球作为单摆的摆钟,并让水从球体缓慢流出,试描述其摆动周期的变化情况。
6-39 利用受迫振动的稳定解(6.19)式说明为什么恒力不能导致受迫振动。(提示:恒力的频率ω可视为零)
6-40 在太空中能听到声音吗?为什么?
6-41 在较长时间间隔(Δt>>T)内,任意以t为变量的正弦(或余弦)型函数的平均值均为零,例如:
6-42 海啸是一种波长约为几十至几百千米、在海水中传播的波动现象。它在深海区域并不易被察觉,但一旦海啸接近岸边往往会造成巨大的灾害。试从能量角度分析其中的原因。
6-43 描述机械波时间周期性的物理量由周期T、频率v和圆频率ω给出。类似
2?1地,我们可以用?、 、描述波的空间周期性,试说明这三个量对应的物理
??意义。
6-44 试解释弦乐器的以下现象:
(1) 较松的弦发生的音调较低,而较紧的弦则音调较高;
(2) 较细的弦发生的音调较高,而较粗的弦则音调较低(古人称之为“小弦大
声,大弦小声”);
(3) 正在振动的两端固定的弦,若用手指轻按弦的中点时,音调变高到两倍,
若改按弦的三分之一处时,音调增至三倍;
(4) 用力弹拨琴弦(而非用手指按弦)时,能同时听到若干音调各异的声音。
(提示:音调高低与弦振动的频率成正比。此外,在(4)情形中弦以基频振动的同时还以若干泛频振动。)
习题
6-1 如题6-1图所示,用一根金属丝把一均匀圆盘悬挂起来,悬线oc通过圆盘质心,圆盘呈水平状态,这个装置称为扭摆,当使圆盘转过一个角度时,金属丝受到扭转,从而产生一个扭转的恢复力矩。若扭转角度很小,圆盘对oc周的转动惯量为I,扭转力矩可表示为M=-kθ,求扭摆的振动周期。 解:由转动方程 kk2?I2M??k??I?, ????0, ?? , T??2? II?K
6-2 一质量为m的细杆状的1m长的直尺,如果以其一端点为轴悬挂起来,轴处摩擦不计,求其振动周期。
解: 复摆(物理摆)小角度振动时方程为:
mgh?mghsin???mgh??I? ? ? ???0
I?2?
mgh1l2?I, I?ml2, h?, T??2??1.64(S) I32?mgh
题6-2 图
6-3 有一立方形的木块浮在静止水中,静止时浸入水中的部分高度为a。若用力稍稍压下,使其浸入水中部分的高度为b,如题6-3 图所示,然后松手 ,任其做自由振动。试证 ,如果不计水的粘度阻力,木块将做简谐振动,并求振动的周期和振幅。
解:浮力与重力相等处于平衡状态有: ?gas?mg ?m??asmg??g(a?x)s?mx
?gxs?mx?0??2??gsm ?g2?a T??2?a?g
6-4 一质量为1.0 × 10-3 kg的质点,做简谐振动,其振幅为2.0×10-4m,质点再离平衡位置最远处的加速度为 8.0×103m/s2。 (1) 试计算质点的振动频率; (2) 质点通过平衡位置时的速度;
-4
(3) 质点位移为1.2×10m时的速度;
(4) 写出作用在这质点上的力作为位置的函数和作为时间的函数。 22 x??A?cos(?t??) x?A?max解:
(1) ??2?xmax?4.0?107 ????1.0?103(HZ)A2?
(2) x??A?sin(?t??) x?A??1.3(m?s?1)
?4 (3)x?Acos(?t??)?1.2?10(m) ?cos(?t??)?x?3A5
x??Asin(?t??)??A?(?1?cos2(?t??)) ?1 ??1.0(m?s)
24 (4)F??kx??m?x??4.0?10x(N) F??m?2Acos(?t??)??8.0cos(6.3?103t??)
6-5 如题6-5图所示,一重力作用下的弹簧振子,振子静止时弹簧伸长?=10cm;将振子向下拉一段距离d=2.0cm,并将位移方向给它一个向下的初速度v0=10cm/s,任其运动,不计空气阻力,试求: (1) 振动频率 (2) 振幅A
(3) 初始相位φ (4) 振动表达式。(取10m/s2) 解:(1)振动频率
v2(2)振幅 A?x0?(0)2?0.02(m)?
x(3)初相位 ??cos?10?cos?10.9??0.46(rad) A
(v0>0取正号,v0<0取负号)
(4)振动表达式X=0.02cos(10t-0.46)(m)
6-6 一不计质量,自然长度为的弹簧,两端分别系上质量为m1和m2的质点,放在光滑的水平桌面上,开始时手持m1和m2把弹簧拉长至 ,停止不动,然后两手同时放开,试问 这系统将如何运动?
解:无外力整个过程质心不动, t时刻m1和m2位置分别为x1, x2故有:
x1?x2?x -k(x-l)?m1x1
m?m2 m1x1?m2x2 x?1x1 ?x1??x2??x?l'?l m2
m2m1 m1?x1?m2?x2 ?x1?(l'?l) ?x2?(l'?l) m1?m2m1?m2 m1m2k?- k(x - l)?x ??x ?2? A?l?-l
m1?m2?
此时系统做振幅为A,圆频率为w的简振动。
6-7 有一鸟类学家,他在野外观察到一种少见的大鸟落在一棵大树的细枝上,他想测得这只鸟的质量,但不能捉住来称量,于是灵机一动,测得这鸟在数枝上在4s内来回摆动了6次,等鸟飞走以后,他又用1kg的砝码系在大鸟原来落得位置上,测出树枝弯下了12cm,于是很快算出了这只鸟的质量。你认为这位鸟类学家是怎样算的?你想到了这种方法了吗?这只鸟的质量是多少? 解:树枝与鸟形成一个谐振子。
mg2 k??81.66(kg/m) T?l3
k2?k????9.42(rad) m?2?0.92(kg) mT?
6-8 如题6-8图所示,有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,振子的质量为m/,开始时处于静止平衡状态,有一 发质量为m的子弹以速度v0沿弹簧方向飞来,击中振子并埋在其中,试以击中时为计时零点,写出此系统的振动表达式。 解:碰撞时动量守恒,碰撞后机械能守恒。 121kA?(m?m?)v2 22?(m?m?)v v?mv0mv0 m?m??mv0k A? ?? ??
?m?m2?k(m?m)
mv0k?
x?Acos(?t??)?cos(?? t?) m?m?2k(m?m?)6-9 如题6-9图所示振动系统,振子是一个做纯滚动的圆柱体,已知 圆柱体的质量为m,半径为R,弹簧的劲度系数为k,并且弹簧是系在圆柱体的中心旋转对称轴上。试求这一振动系统的频率。
解:设平衡点为弹簧原长时,又弹簧质量不计,对圆柱体在运动中受力有: ?kx?f?mx?cc1 ? ? f?mxc?x1122c2 ?fR?(mR)??mR?22R
?kxc?1mxc?mxc xc??(2k)xc23m 12k12k2 ???, ??()23m2?3m
6-10 如题6-10图所示,弹簧的劲度系数为k,定滑轮的质量为m/,半径为R,转动惯量为,物体的质量为m。轴处摩擦不计,弹簧和绳的质量也不计,绳与滑轮间无相对滑动。
(1) 试 求这一振动系统的振动频率。
(2) 如果在弹簧处于原厂时由静止释放物体m,m向下具有最大速度时开始计时,
并令m向下运动为x的正坐标,试写出m的振动表达式。 解:(1)设弹簧原长平衡时,伸长x kx0=mg 以伸长时 m所在点为坐标原点,运动中,有: ??T?k?x?x0???R?I?对于m有: ?T?mxmgx?R?1I2联立两式子有: k(m?2)2I???R ?kx?(m?)xf?I2(m?2)2?R R设弹簧原长时,释放m
? x??mg, A?mgx??A, v?0 ???000kk2
1?? 2????振动表达式为: ??mgk???x?cost??? ?Ik2???m???2 ?R?????
1q26-11 在LC电路中,电容极板上的电荷量若为q,电容器将储存能 ,流经
2cdq1q21212?Li?常量,试电感中的电流若为i,电感中将储存磁能Li,i?且
2c2dt2求LC电路的固有振荡频率。
1q21dq2qdqdqd2q解: 1q212?Li?C ?L()?C ??L?0 2c22c2dtcdtdtdt2 d2q111?q?0 ?? ??dt2LCLC2?LC
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