初中一次函数典型应用题

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-- 中考一次函数应用题

近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多,题目长，很多考生无法下手,打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里,我特举几例，也许对你有所帮助。

例1 已知雅美服装厂现有A 种布料７0米,Ｂ种布料52米，现计划用这两种布料生产M,Ｎ两种型号的时装共8０套。已知做一套M 型号的时装需要A 种布料０．６米，B 种布料0．9米,可获利润45元;做一套Ｎ型号的时装需要Ａ种布料1.１米，B 种布料0．４米，可获利润5０元。若设生产Ｎ种型号的时装套数为x ,用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y 元。

(1）求y 与x 的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

(2)雅美服装厂在生产这批服装中，当N 型号的时装为多少套时，所获利润最大?最大利润是多少?

例2 某市电话的月租费是２0元,可打60次免费电话(每次3分钟）,超过６０次后，超过部分每次0.１３元。

（1）写出每月电话费y (元）与通话次数x 之间的函数关系式;

(2)分别求出月通话50次、10０次的电话费;

(３）如果某月的电话费是2７．8元,求该月通话的次数。

例３ 荆门火车货运站现有甲种货物１5３0吨，乙种货物1１５0吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂Ａ、B 两种不同规格的货厢50节,已知用一节A 型货厢的运费是0．5万元，用一节B 型货厢的运费是0.8万元。

（1）设运输这批货物的总运费为y (万元）,用A 型货厢的节数为x (节），试写出y 与x 之间的函数关系式；

(2)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨,可装满一节A 型货厢,甲种货物25吨和乙种货物３5吨可装满一节B 型货厢,按此要求安排A 、B 两种货厢的节数，有哪几种运输方案?请你设计出来。

(3)利用函数的性质说明,在这些方案中,哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？

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例４ 某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产Ａ、B 两种产品，共50件。已知生产一件A 种产品,需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润７00元;生产一件Ｂ种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料１０千克,可获利润120０元。

(1）按要求安排Ａ、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来；

（2)设生产A 、B 两种产品获总利润为y （元），生产Ａ种产品x 件,试写出y 与x 之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

例5 某地上年度电价为０.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至0.5５～０.75元之间,经测算,若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度)与)4.0( x （元）成反比例，又当x =０.65时，y =0.8。

（1）求y 与x 之间的函数关系式;

（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加2０%？[收益=用电量×(实际电价 -成本价)]

例6 为加强公民的节水意识,某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时,每立方米收费１.0元并加收０.２元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1．５元并加收0．4元的城市污水处理费,设某户每月用水量为x (立方米)，应交水费为y （元）

（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时,y 与x 之间的函数关系式；

（2)如果某单位共有用户50户,某月共交水费514.6元,且每户的用水量均未超过1０立方米,求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？

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例7 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。

（1)设用x 辆车装运Ａ种苹果，用y 辆车装运Ｂ种苹果，根据下表提供的信息求y 与x 之间的函数关系式，并求x 的取值范围；

（2)设此次外销活动的利润为Ｗ(百元)，求Ｗ与x 的函数关系式以及最大利润,并安排相应的车辆分配方案。

解：（1)由题意得： 化简得：202+-=x y

当y ＝0时，x ＝10

∴1<x ＜10

答:y 与x 之间的函数关系式为：202+-=x y ；自变量x 的取值范围是:1<x ＜10的整数。

(2）由题意得:W ＝)20(5281.262.2y x y x --??+?+?

=2008.62.3++y x

＝200)202(8.62.3++-+x x

＝3364.10+-x

∵Ｗ与x 之间的函数关系式为：y =3364.10+-x

∴W 随x 的增大而减小

∴当x =２时,W 有最大值，最大值为:

33624.10+?-=最大值W =315.２(百元)

当x ＝2时，202+-=x y =16,y x --20＝2

答：为了获得最大利润，应安排２辆车运输A 种苹果,16辆车运输B 种苹果，２辆车运输C 种苹果。

同学们,从以上几例的解答过程中,你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？

小结:

确定函数解析式，求函数值 确定自变量取值范围 实际问题――――――数学问题 方案设计：利用不等式或不等式组及题意 方案决策： 最优方案：利用一次函数的性质及自变量 取值范围确定最优方案 解决问题――――――――――――――――――

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次

函

数

应

用

题

例

析

一次函数是初中数学中的重点内容之一,设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析,供参考.

一、图象型

例1 (200３年广西）在抗击“非典”中,

某医药研究所开发了一种预防“非典”的药

品.经试验这种药品的效果得知:当成人按规

定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最

高,达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8

小时时血液中含药量为每毫升１．5微克.每毫

升血液中含药量y(微克)随时间ｘ（小时）的

变化如图所示.在成人按规定剂量服药后:

(1)分别求出x≤1，ｘ≥１时y与x之间的

函数关系式；

（2)如果每毫升血液中含药量为2微克或２微克以上,对预防“非典”是有效的,那么这个有效时间为多少小时?

解析本题涉及的背景材料专业性很强,但只要读懂题意,用我们学过的函数知识是不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线,可把它看成是两个一次

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函数图象的组合.

(1)当x≤1时，设y=k1x.将(1,5)代入，得k１=５.

∴y＝5x.

当ｘ>1时,设y=k2x+b.以(１，5)，（８,１．5)代入,得,

∴

(２)以y＝2代入y＝5ｘ,得;

以y=2代入，得ｘ2＝7.

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故这个有效时间为小时.

注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.

二、预测型

例2 (20０2年辽宁省）随着我国人口增长速度的减慢,小学入学儿童数量有所减少,下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题:

(1)求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数关系式；

（2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？

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年份(x) 2000 2001 2002 …

入学儿童人数(y) 2520 2330 2140

解析建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学

儿童人数的变化趋势,这就要讨论.若设(k＞0),在三点（2００0,252０),(200１，233０)，

(2002,21４０)中任选一点确定k值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数.

（1)设y＝kｘ+b (k≠0),将(２０００，2５20）、(２001,2330)代入，得

故y＝-190x+3825２0．

又因为y=-190x＋３8２520过点(2002，21４0),所以ｙ＝-19０x+3８２５20能较好地描述这一变化趋势.

所求函数关系式为y=-１90x＋382520.

(2)设x年时，入学儿童人数为10０0人，由题意得-190x＋3825２0=1００0．解得x=２0０8.所以,从2008年起入学儿童人数不超过1000人.

注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.

三、决策型

例3 （2003年甘肃省)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价(含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有１吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.

方案一：由工厂对废渣直接进行处理,每处理1吨废渣所用的原料费为0.０５万元,并且每月设备维护及损耗费为２0万元.

方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费．

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(１)设工厂每月生产x件产品，每月利润为ｙ万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式(利润=总收入－总支出);

(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案,既可达到环保要求又最合算.

解析先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解．

（1）y1=x-0．55ｘ-0．05x-２0

＝0．4x-2０;

y2=x-0．５5x-0．１ｘ＝0.3５x．

(2)若ｙ1＞y2，则0.4x-2０＞0.35ｘ,解得ｘ>400；

若y１＝y２,则0.４ｘ－20=0.35ｘ，解得x＝４０0；

若ｙ1＜y2,则０.4x－２0＜0.35ｘ，解得x＜4０0．

故当月生产量大于400件时,选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大．

注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨,会使我们作出的决策更合理.

四、最值型

例４(2０03年江苏省扬州市)杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.

①买进每份0．２元,卖出每份0.3元;

②一个月(以30天计)内,有20天每天可以卖出200份,其余10天每天只能卖出120份.

③一个月内,每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸,以每份0.1元退回给报社.

(1)填表:

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（２）设每天从报社买进这种晚报x份(120≤x≤2０0)时,月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式,并求月利润的最大值.

解析 (１）由题意,当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元;当一个月内每天买进１5０份时，有20天可以全部卖完,其余10天每天可卖出1２0份,剩下30份退回报社,计算得当月利润为３９０元．

（2)由题意知,当120≤ｘ≤２00时,全部卖出的20天可获利润:

20[(0．3-0．2)x]=２ｘ(元)；

其余1０天每天卖出１2０份,剩下（x-1２0)份退回报社,10天可获利润:

１0［(0.3-０.2)×１２０-0.１(x－１2０)］

=-x+240(元).

∴月利润为

ｙ＝2ｘ-x＋２４0

=x+240(120≤x≤200).

由一次函数的性质知，当ｘ=２０0时，y有最大值,为y＝２00+24０＝４40(元)．

注:对于一次函数y=kx+b,当自变量x在某个范围内取值时,函数值y可取最大(或最小)值,这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.

五、学科结合型

例5 （2０02年南京市）声音在空气中传播的速度y(m／s)(简称音速)是气温x（℃)的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：

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(1)求y与x之间的函数关系式；(２）气温x=2２(℃)时,某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远?

解析（1)设y=ｋx+ｂ，任取表中的两对数,用待定系数法即可求得

(2)当x=22时,

334.2×５=１６７1(m).

故此人与燃放的烟花所在地约相距１671ｍ.

注：本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系,是物理与数学结合的一道好题.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wpo4.html