巩固练习 离散型随机变量的均值与方差（理）（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1．下面说法中正确的是( )

A．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平 C．离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映了ξ取值的平均水平 D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值

2．（2015春 天津期末）已知X～B（n，p），E（X）=8，D（X）=1.6，则n，p的值为（ ）

A．100和0.8 B．20和0.4 C．10和0.8 D．10和0.2 3．随机变量ξ的分布列为

ξ 0 2 4 P ，则E(5ξ＋4)等于( ) A．13 C．2.2

B．11 D．2.3

0.4 0.3 0.3 4．随机变量ξ服从二项分布B（100，0.2），那么D（4ξ+3）的值为（ ）． A．64 B．256 C．259 D．320

5. （2016 云南二模）现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回

地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ）

A．6 B．

3941 C． D．9 556．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互

2，设ξ为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差为（ ）． 5618186 A． B． C． D．

51252525独立的，并且概率都是

7．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是

ξ P A.706元 C．754元

200 0.20 300 0.35 400 0.30 500 0.15 B．690元 D．720元

8．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考查，X、Y的分布列分别为

X P

Y P 0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0 0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1 据此判断( ) A．甲比乙质量好 C．甲与乙质量相同 二、填空题

9. （2017春 杭州期末）已知随机变量ξ的分布列为：

B．乙比甲质量好 D．无法判定

若E(?)?

1，则x+y=________，D（ξ）=________。 31

10．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．

11．某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，设损耗子弹数为X，则E（X）=________，D（X）=________．（精确到0.01） 12．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元． 三、解答题

13．一袋中装有6只球，编为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取3只，求三只球中的最大码ξ的数学期望．

14．某批产品的合格率为98％，检验员从中有放回地随机抽取100件进行检验． （1）抽出的100件产品中平均有多少件正品？ （2）求抽出的100件产品中正品件数的方差和标准差． 15．设甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下： 甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10． 乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9．

试问哪一名射手的射击技术较好？

16．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为

1，且各次击鼓出现音乐相互独立． 2(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

【答案与解析】

1.【答案】 C

【解析】 离散型随机变量ξ的均值E(ξ)反映ξ取值的平均水平，它的方差反映ξ的取值的离散程度．故答案选C. 2. 【答案】 C

【解析】因为X～B（n，p），含义为n次独立事件，每次发生的概率为p。

所以：EX=8，DX=1.6，即np=8，np(1－p)=1.6， 可解得p=0.8，n=10， 故选：C 3. 【答案】A 【解析】由已知得

E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，

∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 答案：A 4．【答案】B

【解析】D(?)?100?0.2?(1?0.2)?16，D(4??3)?16D(?)?256。 5.【答案】B

【解析】现有10张奖券，其中8张2元，2张5元，今某人随机无放回的抽取三张，

则此人得奖金金额X的可能值为6元，9元，12元， 它们的概率分别为：

C837P(X?6)?3?,C10151C82C27P(X?9)?3?,

C101511C8C1P(X?12)?32?.C1015此人得奖金金额的数学期望：6?6．【答案】B 【解析】 ?7. 【答案】A

【解析】节日期间预售的量：

77139元，故选B。 ?9??12??15151552318?2?B?3,?，∴D(?)?3???。

5525?5?Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，

则期望的利润：

η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450， ∴Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706. ∴期望利润为706元． 8. 【答案】A

【解析】EX＝0.7×0＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，

EY＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，

因为EX

111, 291111??1,?1?x?0?1??2y?， 3663【解析】由题意可得：x?y?解得x?52,y?。 1891511111211∴D(?)?(?1?)2??(0?)2??(1?)2??(2?)2??。

3183336399111故答案为：,

2910. 【答案】乙

【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 11．【答案】1.11 0.12

【解析】随机变量X服从超几何分布，根据公式：期望EX?11-p.方差DX?2可求。

pp12. 【答案】【解析】设要求投保人交x元，公司的收益额ξ作为随机变量，则P(ξ＝x)＝1－p，P(ξ＝x－a)＝p，

∴Eξ＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap. ∴x－ap＝0.1a， ∴x＝(0.1＋p)·a. 答案：(0.1＋p)·a

Ck2?1 13. 解：ξ的取值为3，4，5，6，P(ξ=k)=2，k=3，4，5，6．

Ck 因此，ξ的分布列为

ξ 3 4 5 6 3610 202020 1361021 Eξ=3×＋4×＋5×+6×==5.25．

202020204P 14．解：（1）设抽得的正品件数为X，由于是有放回地随机抽样，故变量X服从二项分布，即X～B（100，0.98），

∴E（X）=100×0.98=98，即平均有98件正品。 （2）V（X）=100×0.98×(1－0.98)=1.96，

1 20V(X)?1.96?1.4。

15．解：E(?甲)?1(10?6?7?10?8?9?9?10?5?10)?8.4， 10E(?乙)?1(8?7?9?10?9?8?7?9?8?9)?8.4， 10V(?甲)?4?(10?8.4)2?2?(9?8.4)2?(8?8.4)2?(7?8.4)2?(6?8.4)2?(5?8.4)2?30.4，

V(?乙)?(10?8.4)2?4?(9?8.4)2?3?(8?8.4)2?2?(7?8.4)2?8.4，

∴E(?甲)?E(?乙)，V(?甲)?V(?乙)。

这说明甲的子弹着点比乙的分散，即甲的技术没有乙稳定，因此乙的射击技术比甲好。 16. 解析：(1)X可能取值有－200，10，20，100．

1?10?1??则P(X＝－200)＝C3???1－??，

?2??2?81?1?1?P(X＝10)＝C3????1?03?2??1?3 ??2?8121?32?1??P(X＝20)＝C3???1???，

?2??2?8?1?P(X＝100)＝C33???2?故分布列为： X P （2）由(1)知，每盘游戏出现音乐的概率是p?232?1， 8－200 10 20 100 1 83 83 83317???， 888831 87?5110?7??则至少有一盘出现音乐的概率p?1?C3． ???1???88512????（3）由(1)知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E(X)＝(－200)×＋10×＋20×?1838381105×100＝－＝?． 884这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏

后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．

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