数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队问题

数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队问题

摘要：本论文通过构建数学模型,根据层次分析理论,运用求权重的方

法,去解决在数学建模竞赛活动中,任何一个参赛院校都会遇到的如何选拔最优秀的队员和科学合理的组队问题.论文主要针对三个问题,构建了各自相对应的数学模型,并利用Excel分析数据、Matlab编程,求得了问题的结果.

关键词：队员选拔与组队;数学建模;层次分析法;权重系数;逐次优选.

1问题提出

在一年一度的美国MCM和中国全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理的组队问题.这是一个最实际的、而且是首先需要解决的数学模型问题.

现假设有20名队员准备参加竞赛,根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队,每个队3名队员去参加比赛.选择队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩（平均成绩）,智力水平（反映思维能力、分析问题和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用和其他方面实际操作能力）、写作能力、外语水平、协作能力（团结协作能力）和其他特长每个队员的基本条件量化后如下表. 队员的基本条件 表1

条件数值学科成 智力水 动手能 写作能 外语水 协作能 其他特 - 1 -

队员 A B C D E F G H I J K L M N O P 绩（?） 平（??） 力（Ⅲ） 力（Ⅳ） 平（Ⅴ） 力（Ⅵ） 长（Ⅶ） 8.6 8.2 8.0 8.6 8.8 9.2 9.2 7.0 7.7 8.3 9.0 9.6 9.5 8.6 9.1 9.3 8.4 9.0 8.8 8.6 8.9 8.4 9.2 9.6 8.0 8.2 8.1 8.2 9.1 9.6 8.3 8.7 8.4 8.0 8.2 8.1 8.5 8.3 8.5 8.2 9.0 9.8 8.4 8.6 8.0 8.1 8.3 8.2 8.8 8.6 9.4 8.0 6.5 8.5 9.6 7.7 7.9 7.2 6.2 6.5 6.9 7.8 9.9 8.1 8.1 8.4 8.8 9.2 7.9 7.7 9.2 9.7 8.6 9.0 9.1 8.7 9.6 8.5 9.0 8.7 9.0 9.0 8.8 8.6 8.4 9.5 9.1 9.6 9.7 9.2 9.0 9.2 9.7 9.3 9.4 9.5 9.7 9.3 9.0 9.4 9.5 9.1 Q R S T 6 2 8 8 9 6 9 6 5 4 5 6 7 5 5 6 7 8.7 7.8 9.0 8.3 8.1 8.8 9.2 9.6 9.5 9.1 7.6 7.9 8.7 9.0 7.7 9.2 9.6 9.0 8 9 6 假设所有队员接受了同样的培训,外部环境相同,竞赛中不考虑其他的随机因素的影响,竞赛水平的发挥只取决于表1中所给的各项条件,并且参赛队员都能正常发挥自己的水平,现在的问题是：

(i) 在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛; (ii) 确定一个最佳的组队使竞赛技术水平最高;

(iii) 给出由18名队员组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术 水平最高,并给出每个队的竞赛技术水平.

2合理假设

2.1假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据,不存在错误数据;

- 2 -

2.2假设每个队员在参赛以前接受相同的培训,相同的外部环境，在参赛过程中不考虑随机因素;

2.3假设题中的7个条件指标的影响程度是逐渐降低的; 2.4假设各个队员都能正常发挥如表1中的水平; 2.5假设各个队在参赛中是相互独立,不互相影响的; 2.6符号说明

A,B,CIRI,S,T:分别表示20名队员的代码;

:一致性指标; :随机一致性指标;

CR:一致性比率;

?max:成对比较阵的最大特征值;

?(2):准则层对目标层的特征向量;

W

:方案层对准则层的特征向量;

?(3):方案层对目标层的特征向量; Ci(i?1,,7):依次为7个条件指标的代号;

f:竞技水平函数;

?:个人对准则层的权重.

3 模型构建与求解

3.1 构建挑选18名优秀队员参加竞赛的数学模型并求解 根据题意及假设,运用层次分析法构建数学建模竞赛在20名队员中选择18名优秀队员参赛的数学模型.

将18个要选出参赛的队员作为目标层,7个条件指标作为准则

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层,20个队员作为方案层,从而构成如下的层次结构图.

目标层O

选拔优秀队 准则层C 学科 智力 动手 写作 外语 协作 其他 方案层P

A B C D…… T

根据题意及假设可知,7个条件指标是依次递减的,不妨假设7个条件指标的权重依次为7,6,5,4,3,2,1.所以得到如下的正互反矩阵:

??1??1?2?1??3?1A???4?1??5?1?6??1?7?21121314151632112131415??4567?3456???2345? -------------------------(1)

??1234???1123?2?1112??32?1111??432??1?用MATLAB编程计算（1）式给出的A的最大特征值?max及其对应的特

征向量?,运行后得:

?1?最大特征值为: ?max=7.1973.

设n?7,则 一致性指标: CI

?2??(1)?max?nn?1=0.0329.

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随机一致性指标: RI?2??1.3200. 一致性比率: CR(2)CI(2)0.0329?(2)??0.0249. RI1.3200因为CR(2)?0.1,所以判断矩阵A通过一致性检验.

?1?因此?max所对应的特征向量为:

(-0.74437, -0.5041,-0.33334,-0.21772,-0.14196,-0.094062,-0.065499)T

经过归一化后得到

??2??(0.35428,0.23993,0.15865,0.10362,0.067565,0.044769,0.031175)T

也就是学科成绩,智力水平,动手能力,写作能力,外语水平,协作能力,其他特长7个准则对选拔优秀队这个目标的权重.

下面考虑方案层对准则层的特征向量,设表1中的各队员的条件数值所构成的矩阵为B??bij?,其中i?1,2,,20;j?1,2,,7. 特征矩阵为: W?(wij) i?1,2,其中

wij?bij20,2j0?;1,2. ,(i?1,2,ij,20;j?1,2,,7) -----------------------(2)

?bi?1?2?该矩阵归一化处理，必定为一致阵.所以W的最大特征值?max=20,所以其

CI?3?,RI?3?,CR?3?都为0.

用Excel表格处理表1中的数据,得 表2 P-C层特征向量

P-C C1 0.0498 0.0475 C2 0.0522 0.0511 C3 0.0473 0.0467 C4 0.05 0.0407 C5 0.0452 0.044 C6 0.0508 0.0487 C7 0.0472 0.0157 PA PB

- 5 -

PC PD PE PF PG 0.0463 0.0498 0.051 0.0533 0.0533 0.0406 0.0446 0.0481 0.0521 0.0556 0.055 0.0498 0.0527 0.0539 0.0487 0.0504 0.0452 0.0521 0.0499 0.0517 0.0488 0.0534 0.0557 0.0464 0.0476 0.047 0.0476 0.0528 0.0557 0.0482 0.0505 0.0488 0.0464 0.0482 0.047 0.0511 0.049 0.0479 0.049 0.0473 0.0519 0.0565 0.0485 0.0496 0.0462 0.0467 0.0479 0.0473 0.0508 0.0496 0.0542 0.0531 0.0554 0.0548 0.0532 0.06 0.0482 0.0494 0.045 0.0388 0.0407 0.0432 0.0488 0.0619 0.0507 0.0507 0.0525 0.055 0.0575 0.0569 0.0475 0.0494 0.0526 0.0555 0.0492 0.0515 0.052 0.0497 0.0549 0.0486 0.0515 0.0497 0.0515 0.0515 0.0503 0.0492 0.048 0.0497 0.0515 0.044 0.0513 0.0519 0.0492 0.0481 0.0492 0.0519 0.0497 0.0503 0.0508 0.0519 0.0497 0.0481 0.0503 0.0508 0.0487 0.0492 0.0513 0.0481 0.063 0.063 0.0709 0.0472 0.0709 0.0472 0.0394 0.0315 0.0394 0.0472 0.0551 0.0394 0.0394 0.0472 0.0551 0.063 0.0709 0.0472 PH PI PJ PK PL PM PN PO PP PQ PR PS PT 则方案在目标中的组合权向量为:

??3??W???2? --------------------------(3)

利用Matlab的矩阵运算，求出??3?,得到每个队员的权重. 其中CI?3??RI?3??CR?3??0.所以总的一致性指标为

CR*?CR?2??CR?3??0.0249?0.1

组合一致性检验通过,因此组合权向量??3?可以作为最终决策的依据.按照20名队员的权重大小进行排序,得到下表:

- 6 -

表3 20名队员权重排序结果

权重 队 员 权重 队 员 0.0533 L 0.0501 Q 0.0531 0.0531 0.0519 0.0514 0.0514 0.0513 0.0512 0.0511 0.0503 M G D P F R O T E 0.0497 0.0495 0.0492 0.049 0.0488 0.0472 0.0463 0.0463 0.0457 A C K S N J B I H 由表3得知H,I两名队员的能力最弱,因此剔除H,I两名队员,选取剩余的18名优秀队员参加竞赛.

3.2 对确定一个最佳的组队构建模型并求解

要确定一个最佳组队,使这组的竞技水平最高,显然要考虑到队员之间的互补性,使该组队在各指标上的权重尽量的大,特别是前三个条件指标,上述即为所构建的数学模型.

设立这样一个竞技水平函数:

fi??????,i?1,2,2,6 --------------------(4)

?表示个人对准则层的权重作为个人的水平.

由表2 可以分别得出7个指标中最大的权重所对应的队员编号，从中挑选最佳组合.如下表： 表4 确定一个最佳组队

指标最大的权重 队员编号

- 7 -

0.0556 0.0557 0.0554 0.0619 0.0555 0.0519 0.0709 L G，M S L D D,L E,G,S 所以由表4及考虑到队员的能力的强弱,最佳的组合是L,G,S. 3.3 对18名队员组成6个队的组队方案构建模型并求解 构建由18名队员组成6个队的组队方案模型,因为在问题（ⅱ）的模型的基础上,已经确定了一个最佳组合，因此只要将剩下的15名队员分成5组即可.

针对这个模型,可以继续采用问题（ⅱ）中模型的求解方法,用 逐次优选的思想将剩下的15名队员组队.具体求解过程如下表所示. 表5 确定第二组的组队

指标第二的权重 队员编号 M F T D I C, S C, D, R 0.055 0.0534 0.0548 0. 6 0.0549 0.0513 0.063 所以第二组的组合是: M,F,T. 表6 确定第三组的组队

指标第三的权重 队员编号 P A Q Q C K, P, A Q 0.0539 0.0522 0.0542 0.0575 0.0526 0.0508 0.0551 所以第三组的组合是: P,A,Q. 表7 确定第四组的组队

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指标第四的权重 队员编号 0.0527 0.0517 0.0531 0.0569 0.0515 0.0503 0.0394 O D R R N O，J K, O, N 所以第四组的组合是: O,D,R. 表8 确定第五组的组队

指标第五的权重 队员编号 K B J C E E J 0.0521 0.0511 0.0496 0. 532 0.0492 0.0492 0.0315 所以第五组的组合是: K,B,J.

这样只剩下最后一组了,所以第六组的组队为: E,C,N.

因此由18名优秀队员组成6个队,能够使整体竞技水平最高的组队方案如下表所示:

表9 6个队的组队方案

分组 第一组 第二组 第三组 第四组

队员一 L M P O 队员二 G F A D 队员三 S T Q R - 9 -

第五组 第六组 K E B C J N 4 模型优缺点

主要的优点就是用层次分析法构建建模竞赛参赛队员选拔与组队模型,在计算过程中还用到了权重,这样增加了组队的公平性,还建立竞技函数,这样明显的表示出了队员的各方面指标的优劣情况,而且所得的结果也比较合理可信.缺点就是对于问题（ⅲ）没有找到更好的解决方法,另外在求解过程中,计算不够精确,可能存在一定的误差.

参考文献

[1] 郭大伟.数学建模[M].合肥:安徽教育出版社.2009

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wpk2.html