深大高等代数真题 - 图文

2004年深圳大学硕士研究生入学考试试题

专业：应用数学 考试科目：高等代数

一、必做题（共120分）

1．（10分）设5阶方阵A?[?,r1,r2,r3,r4],B?[r1,r2,r3,r4,???]，其中?,?,r1,r2,r3,r4均为5维列向量，并且|A|=4，|B|=5，求2?,r1,r2,r3,r4=？ 2．（15分）计算n阶行列式的值：

2?10?12?100??0000000?12?1?00000?12?000 ????????00000000??12?1?0?123．（15分）设A为5阶方阵，并且|A|=5，计算

（1）A*??

（2）(A*)*??

（3）(A*)?1?? （4）3A?1?2A*??

4．（40分）设?1,?2,?3和?1,?2,?3是三维线性空间V的两组基，V上的线性变换A在基?1,?2,?3下的矩阵为

?2?2?2??A???22?2??

???2?22??而?1,?2,?3到?1,?2,?3的过渡矩阵为

??102??S??01?1??

??2?21??（1）求A的全部特征值和分别属于不同特征值之间的极大线性无关的特征向量 （2）求一可逆矩阵T使得T?1AT为对角形

（3）设X0?(1,?1,2)?，计算AkX0，其中k为任意正整数

（4）求一正交矩阵Q使得Q?AQ为对角线 （5）求A在基?1,?2,?3下的矩阵 5．（15分）求由向量?1??2生成的子空间W1与向量?1,?2生成的子空间W2的交与和的维数及一组基，其中

??1?(2,0,1,3,?1) ???2?(0,?2,1,5,?3)

??1?(1,1,0,?1,1) ???2?(1,?3,2,9,5)6．（15分）已知n元实二次型f(x1,x2,?xn)?x1x2?x3x4???x2n?1x2n，用非退化的线性替换将该二次型化成标准型，并确定它的秩和符号差

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?7．（10分）设齐次线性方程组?a21x1?a22x2???a2nxn?0?????的系数行列式D=0，而D中某一元素aij?ax?ax???ax?0n22nnn?n111

的代数余子式Aij?0，证明：这个方程的解都可以写成kAi1,kAi2?kAin的形式，此处k是任意数

二、选做题：以下五题任选三题（共30分）

8．（10分）设矩阵An?n满足A2?A，求证：

（1）：rank(A)+rank(A-E)=n (2): A的特征值只能为0和1 9．（10分）设A是欧氏空间V的一个线性变换，求证：如果A保持内积不变，即对任意的?,??V，都有(A?,A?)?(?,?)，那么，A一定是线性的，因而它是正交变换

10．（10分）A，B均为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，并且E-AB可逆，证明：E-BA也可逆 11．（10分）设r为一整数，证明：如果一n?m级(r

2

3

2006年深圳大学硕士研究生入学考试试题 专业：应用数学 考试科目：高等代数

一、必做题（共120分）

322132113???1111111．（15分）计算n阶行列式的值：Dn???????222?31222?23

2．（20分）设3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，对应的特征向量分别为

X1?(2,3,?1)?,X2?(0,?2,1)?,X3?(?1,2,0)?

求

（a）矩阵A

（b）将向量X0?(2,3,?1)?用X1,X2,X3线性表出 （c）设X0?(2,3,?1)?，计算AmX0 3．（15分）设

4

?1?11?? A??11?1?????111?? 求解矩阵方程3/4(AA*X)?3A?2AX

4．（20分）设f?a(x2?y2?z2)?2xy?2xz?2yz，问：

（1）a满足什么条件时，f是正定的？ （2）a满足什么条件时，f是负定的？

5．（20分）设A是一个m?k矩阵，B是一个k?n矩阵，又已知rank(A)=k，X?(x1,x2,?,xn)T，证明： （1）齐次线性方程组ABX=0与BX=0是同解方程组 （2）rank(AB)=rank(B)

6.(15分)设复数域上3维线性空间C3上的线性变换A在C3的一个基下的矩阵为

?31?1??A??020??

??111??

求A的最小多项式。并判定A是否可对角化

7．（15分）设A是线性空间V上的一个线性变换，证明下列两个条件是等价的；

（1）A把V中某一组线性无关的向量变成一组线性相关的向量 （2）A把V中某个非零向量变成零向量

二、选做题：以下五题任选三题（共30分）

8．（10分）证明：数域P上线性空间V的一个向量组的任意线性无关部分组都可以扩充成其一极大无关组 9．（10分）设A是n维线性空间V上的线性变换，并且V1,V2,?,Vs是A-子空间，满足：V?V1?V2????Vs，证明：存在V的一个基?1,?2,?,?n使得A在此基下的矩阵为如下形状的分块对角矩阵（其中Ai为dimVi阶方阵）：

?A1?????A2??? ???As?

10．（10分）设?是n维线性空间V上的线性变换，且?2??E，证明：

（1）?的特征值只能是?1 （2）V?V1?V?1 11．（10分）设域F上n维线性空间V的线性变换A有n个不同的特征值?1,?2,?,?n，而W是A的一个r维的不变子空间，证明：A在W上的限制AW有r个不同的特征值，并且是?1,?2,?,?n中的r个

12．（10分）设A为n?m矩阵，B为m?n矩阵，Em,En分别为m和n阶单位矩阵，证明：

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EmAB?Em?BA En

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