《大学物理》 第二版 课后习题答案 第六章

习题解析

6-1 在坐标原点及(3,0)点分别放置电量Q1??2.0?10C及Q2?1.0?10C的点电荷，求P(3,?1)点处的场强。

解 如图6.4所示，点电荷Q1和Q2在P产生的场强分别为

?6?6? E1???1Q1r1?1Q2r2 ,E?2224??0r1r14??0r2r2?而r1?3i?j,r2??j,r1?2,r2?1，所以

??1Q1r11Q1r1?4??0r12r14??0r12r1???6?6?1?2.0?103i?j1.0?10?j?????22? 4??0?2211???????3.9i?6.8j??103?N?C?1?6-2 长为l?15cm的直导线AB上，设想均匀地分布着线密度为??5.00?10C?m，的正电荷，如图6.5所

示，求：

（1）在导线的延长线上与B端相距d1?5.0cm处的P点的场强；

（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2?5.0cm处的Q点的场强。

解 （1）如图6.5（a）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴的正方向。在导线AB上坐标为x

处，取一线元dx，其上电荷为 dq??dx 它在P点产生的场强大小为 dE??9?1???E总?E1?E2?dq1?dx ?224??0r4??0?l???d1?x??2?112方向沿x轴正方向。导线AB上所有线元在P点产生的电场的方向相同，因此P点的场强大小为

E??

121?2dq1?dx?24??0r24??0?l???d1?x??2?1?1?21?11????4??0?d1l?d1?

1?1??5.00?10?9?9?109????6.75?102?V?m?1??2?2?20?10??5?10方向沿x轴正方向。

（2）如图6.5（b）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴正方向，垂直于AB的轴为y轴，在导线AB上坐标为x处，取一线元dx，其上的电荷为 dq??dx 它在Q点产生的电场的场强大小为 dE2?dq1?dx ?2224??0r4??0d2?x1方向如图6.5（b）所示。

在导线AB上坐标为-x处取另一线元dx，其上电荷为 dq???dx 它在Q点产生的电场场强大小为 dE1?dq?1?dx? 2224??0r4??0d2?x1方向与坐标x处电荷元在Q点产生的电场方向相对与y轴对称，因此 dE1x?dE2x?1?dx24??0d2?xsin??21?dx24??0d2?x2sin??0

dE1与dE2的合场强dE的大小为

dE?dE1y?dE2y?2dE1sin?

?1?dxd22d2?x222??0d2?x2?1?dx

2??0?d2?x2?3/2212方向沿y轴正方向，因此Q点的场强的大小为

E??

121?21?dx2??0?d2?x2?3/22?1x2??0d2?d2?x2?1/22?01x4??0d2?2l2?1/2?d2??4? ?9.00?109?5.00?10?9?0.153?1??1.50?10V?m???0.152?0.05???0.052??4?方向沿y轴正方向。

6-3 一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上电荷均匀分布，总电量为q，求半圆中心O

点的场强。

解 建立如图6.6所示的坐标系，在弧线上取线元dl其上电荷为dq???1dq?R dE?

4??0R2Rqdl，它在Q点处产生的场强 ?R??由于半圆形上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也对y轴呈对称性，所以

Ex?0??11qQ2 Ey?2?2 sin?dq??2sin?Rd???22?04??R204??R2?R2??0R00????QE?Exi?Eyj??2j2??0R2?6-4 一根细有机玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，上半截均匀带有正电荷，电荷线密度为?；下半截均匀带有负

电荷线密度为??，如图6.7所示。求半圆中心O点的场强。

解 建立如图6.7所示的坐标系，根据电荷分布的对称性，O点的场强沿 y轴方向正方向，任意电荷元dq在O点

产生的场强大小为 dE?dq

4??0R21此场强在y轴方向的分量为

dEy?dEcos??dq?cos??cos?d? 24??0R4??0R1半圆形上半部分和下半部分在O点产生的场强，在x轴方向合场强为零，在y轴方向分量

大小相等，方向相同。因此

? E?Ey?2?20??cos?d??

4??0R2??0R方向沿y轴的正方向。

6-5 （1）一半径为R的带电球体，其上电荷分布的体密度为一常数?，试求此点球体内、 外的场强分布；

(2)若（1）中带电球体上点电荷分布的体密度为???0?1???r??，其中为一常数?0，r为球上任意一点到R?球心的距离，试求此带点球体内、外的场强分布。

解 （1）当r?R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理

??q ???E?dS?

s?0式中q?3?dV??dV???r，所以 ??????VV43 E??r 3?0当r?R时，建立如图6.8（b）图所示的高斯面，根据高斯面定理

??q ???E?dS?

s?0式中q?3????dV?????dV???R，所以 VV43?R3 E?

3?0r2（2）当r?R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理

??qE ????dS?

s?0式中q?????dV??Vr0?0?r3?3r?r??2?0?1??4?rdr??4??，所以

3?0?R??R? E??0r?3r??1?? 3?0?4R? 当r?R时，建立如图6.8（b）所示的高斯面，根据高斯面定理

??q ???E?dS?

s?0式中q?????dV??Vr0?0?R3r??2?0?1??4?rdr?，所以

R3???0?0R3 E?

12?0r26-6 根据量子力学，正常状态的氢原子可以看成由一个电量为+e的点电荷，以及球对称分 布在其周围的电子云构成。已知电子云的电荷密度为???Ce点电

荷总量等于-e所需要的常量。试问在半径为a0的球内净电荷是多少？距核远a0处的电场强度是多 大？

解 半径为a0的球内净电荷为 q?e??2r/a2?19?dV?e??Ce4?rdr?0.667e?1.08?10(C) ????0?2r/a0其中a0?5.3?10?113mC?e/??a0?是为使

a0V0在距核a0远处做半径为a0球形高斯面，根据高斯面定理

??q ???E?dS?

s?0所以

E?1q011?1?3.46?10V?m ??24?a0?06-7 如图6.9所示，一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为。今在球内挖去一半径为r（r

解 利用补偿法求解，球形空腔中任意一点的电场强度E可看作半径为R、体密度为?的均匀带点球体和半径

??为r、体密度为??的均匀带电球体所分别产生的场强E1和E2的矢量和。

? ? ?r1?r2 E1?，E2??

3?03?0所以

?r1?r2? E?E1?E2????r1?r2?

3?03?03?0而r1?r2?a，上式可改写为 E???????a 3?06-8 有一对点电荷，所带电量的大小为q，它们间的距离为2l。试就下述两种情形求这2个点电荷连线中点的场强和电势：（1）2个点电荷带同种电荷;(2)2个点电荷带异种电荷。

解 （1） 以2个点电荷连线中点为原点，建立如图6.10所示的坐标系。 2个点电荷在原点O产生的场强大小相等，方向相反，合场强为零。 2个点电荷在原点O电势大小相等，合电势为 U?q1lq??

4??0l4??0q2??0l1（2）以2个点电荷连线中点为原点，建立如图6.10（b）所示的坐标系。 2个点电荷在原点O产生的场强大小相等，方向相同，合场强为 E?q4??0l ?i??2?q4??0l ?i??2?q2??0l ?i? 2?

2个点电荷在原点O的合电势为 U??q1l??0

4??0l4??0q1

6-9 一均匀带电球壳，它的面电荷密度为?，半径为R。求球壳内、外的电势分布。 解: 利用高斯定理可求得球壳内、外的电场强度大小分布为

0(r?R)?? ?1?4?R2

,(r?R)?4??r20?当r?R 时 UP???r R ? ?1?4?R2?RE?dr??E?dr??E?dr??dr? 2rRR4??r?00当r?R 时 UP???r ?1?4?R2?RE?dr??dr? 2r4??r?0r0

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