2013高考数学（人教A文）多考点综合练：统计、统计案例与概率

多考点综合练(七)

测试内容：统计、统计案例与概率

(时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．一个容量为100的样本，其频数分布表如下 组别 频数 (0,10] 12 (10,20] 13 (20,30] 24 (30,40] 15 (40,50] 16 (50,60] 13 (60,70] 7 则样本数据落在(10,40]上的频率为 ( ) A．0.13 B．0.39 C．0.52 D．0.64

解析：由题意可知样本在(10,40]上的频数是：13＋24＋15＝52，由频率＝频数÷总数，可得样本数据落在(10,40]上的频率是0.52. 答案：C

2．为了了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是 ( ) A．50 B．47 C．48 D．52

解析：依题意得，前3个小组的频率总和是1－(0.037 5＋0.012 5)×5＝0.75，则第2小组的2

频率是0.75×＝0.25，故报考飞行员的学生人数是12÷0.25＝48.

1＋2＋3

答案：C

3．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

5 727 0 293 7 140 9 857 0 347 4 373 8 636 9 647 1 417 4 698 0 371 6 233 2 616 8 045 6 011 3 661 9 597 7 424 6 710 4 281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 ( ) A．0.85 B．0.819 2 C．0.8 D．0.75

15

解析：由随机数表可以看出，20次射击中至少击中3次的有15次，故所求概率为P＝＝200.75. 答案：D

4．(2012年山东)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( ) A．众数 B．平均数

C．中位数 D．标准差

解析：由众数、平均数、中位数、标准差的定义知：A样本中各数据都加2后，只有标准差不改变，故选D. 答案：D

5．(2012年哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 ( )

A．13,12 B．13,13 C．12,13 D．13,14

解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a3＝8，a1a7＝(a3)2＝64，(8－2d)(8＋4d)＝64，(4－d)(2＋d)＝8,2d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为4、6、8、10、12、14、16、18、4＋22×512＋14

20、22，样本的平均数为＝13，中位数为＝13，故选B.

102

答案：B

6．(2012年辽宁大连四所重点中学联考)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：

零件数x(个) 加工时间y(min) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 ^^^^^

设回归方程为y＝bx＋a，则点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的 ( ) A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方

11

解析：依题意得，x＝8×(10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80)＝45，y＝8×(62＋68＋75^^

＋81＋89＋95＋102＋108)＝85.因为样本中心点(x，y)在回归直线上，所以85＝45b＋a，^^

所以a＋45b＝85>10，因此点(a，b)必位于直线x＋45y－10＝0的右上方，选C.

答案：C

7．(2012年宝鸡模拟)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的人数是 ( )

A．32 B．27 C．24 D．33

解析：位于(80,100)之间人数所占的比例为 5＋611

＝20，

2＋3＋5＋6＋3＋1

11

∴共有人数×60＝33人．

20答案：D

→→→

8．已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 1A.4 2C.3

1B.3 1D.2

( )

解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处． S△PBC1

记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝＝.

S△ABC2答案：D

9．(2012年豫南九校联考)从

x2y2

－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲mn

线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为 ( ) 1A. 22C. 3

4B. 73D. 4

解析：当m＝－1，n＝－1时，表示焦点在y轴上的双曲线；当m＝2，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；

当m＝3，n＝2,3时，表示焦点在x轴上的双曲线；当m＝2，n＝－1时，表示椭圆； 当m＝3，n＝－1时，表示椭圆．

4

∴方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为P＝7. 答案：B

10．(2012年汉中模拟)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，A＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a、b，则满足条件的三角形有两个解的概率是 ( ) 1A. 61C. 2

1B. 33D. 4

??a>bsinA，

解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是?

?b>a?

?b<2a

因为A＝30°，所以?，满足此条件的a，b的值有b＝3，a＝2；b＝4，a＝3；b＝5，a

?b>a

＝3；b＝5，a＝4；b＝6，a＝4；b＝6，a＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个

61

解的概率是＝.

366

答案：A 11．(2012年石家庄名校联考)下列命题：①若函数f(x)＝x2－2x＋3，x∈[－2,0]的最小值为2；^^^

②线性回归方程y＝bx＋a对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；③命题p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0；④若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a＋5，方差为b＋25.其中，错误命题的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3

解析：因为f(x)＝(x－1)2＋2，此函数在[－2,0]上为减函数，所以x＝0时，f(x)最小为3，①错误；线性回归方程对应的直线不一定经过样本点，所以②错误；特称命题的否定为全称命题，③正确；若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1＋5，x2＋5，…，x10＋5的平均数为a＋5，方差为b，所以④错误，综上所述，错误命题为①、②、④，故选D. 答案：D

12．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不可能有两个众数；

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；

③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；

④一组数据的方差一定是正数；

⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆．

则这5种说法中错误的个数是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5

解析：一组数中可以有两个众数，故①错；根据方差的计算可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．故选B. 答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．(2012年福建)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．

解析：男女运动员人数比例为： 564

＝3，

98－56

分层抽样中男女人数比例不变，则女运动员人数为

3

28×＝12.

7

故应抽取女运动员人数为12. 答案：12

14．(2013届宁夏银川月考)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________；

(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．

|4×0＋3×0－25|

解析：(1)圆心坐标为(0,0)，圆心到直线4x＋3y＝25的距离d＝＝5.

42＋3233

(2)如图l′∥l，且O到l′的距离为3，sin∠ODE＝＝，所以∠ODE＝60°，从而∠BOD

232＝60°，点A应在劣弧

1

上，所以满足条件的概率为6.

1

答案：5 6

15．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是____． 解析：∵中位数为10.5， a＋b

∴2＝10.5，a＋b＝21，

2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20

∵x＝＝10， 10

1

∴s2＝[(2－10)2＋(3－10)2＋(3－10)2＋(7－10)2＋(a－10)2＋(b－10)2＋

10(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]． 令y＝(a－10)2＋(b－10)2 ＝2a2－42a＋221 211

＝2(a－)2＋. a2

当a＝10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值．

∴a＝10.5，b＝10.5. 答案：10.5、10.5

16．(2012年银川质检)某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机取出n名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁，根据调查结果得出司机的年龄情况的部分频率分布直方图如图所示，则由该图可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的________．

解析：由频率分布直方图可知年龄在[25,30)岁的频率是1－(0.01＋0.07＋0.06＋0.02)×5＝0.2，故可以估计年龄在[25,30)岁的司机约占该市司机总数的20%. 答案：20%

三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(2012年湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 y 2.5 17件及以上 10 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10

＝1.9(分钟)． 100

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该

顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得 153

P(A1)＝100＝20， 303

P(A2)＝100＝10， 251

P(A3)＝＝. 1004

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以 P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) 3317＝20＋10＋4＝10. 7

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为10.

18．关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

使用年限x 维修费用y (1)请画出表中数据的散点图； ^^^

(2)求线性回归方程y＝bx＋a.

2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

解：(1)由图中所给数据，画散点图如图所示． 2＋3＋4＋5＋6

(2)x＝＝4，

52.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0y＝＝5， 5i＝22＋32＋42＋52＋62＝90， ?x2i＝155

?xiyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，

i＝1

5

^i＝1∴b＝

5

?xiyi－5x y

＝i－5x2?x2

112.3－5×4×5

＝1.23，

90－5×42

i＝1

^^

a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08， ^

∴线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.

19．(2012年江西)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．

(1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O共面的概率．

解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：

x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种； y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种； z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种． 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种． (1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种．

21

因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝20＝10. (2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12123

种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝.

205

20．(2012年山东)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．

解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．

3

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为. 10

(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种． 8

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为. 15

21．(2012年石家庄质检)某工科院校对A，B两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：

女生 男生 总计 专业A 12 38 50 专业B 4 46 50 总计 16 84 100 (1)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢？ (2)从专业B的女生中随机抽取2名，代表该专业参加文艺汇演，求女生甲和女生乙至少一人参加的概率．

注：K2＝

nad－bc2

＋bc＋da＋cb＋da

P(K2≥k0) k0 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 解：(1)根据列联表中的数据 100×12×46－4×382

K2＝16×84×50×50≈4.762，

由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．

(2)设4名女生分别为甲、乙、丙、丁，从4名女生中选取2名的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，女生甲和女生乙至少一人参加的基本事件：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，共5个，所以女生甲和女生乙5

至少一人参加的概率P＝.

6

22．(2012年北京)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：

厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．

1

(注：s2＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为数据x1，x2，…，xn的平均数)

解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量

厨余垃圾总量＝

4002

＝3.

400＋100＋100

(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．

事件A的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里400＋240＋60

其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为＝0.7，所以P(A)约为11 000－0.7＝0.3.

(3)当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值． 1

因为x＝3(a＋b＋c)＝200，

1

所以s2＝[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]

3＝80 000.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wp88.html