2013广东省各市文科数学压轴大题归类2

仅供个人参考

19．（本小题满分14分）

设数列an的前n项和为Sn，已知a1?2，a2?8，Sn?1?4Sn?1?5Snn?2，

????Tn是数列?log2an?的前n项和.

（1）求数列an的通项公式； （2）求Tn； （3）求满足?1?????1??1?1???????T2??T3??1?1010??1??的最大正整数n的值. ???Tn?2013?20．（本小题满分14分）

已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1(?2,0)，F22,0，点A(2,3)在椭圆

??C1上，过点A的直线L与抛物线C2:x2?4y交于B,C两点，抛物线C2在点B,C处的

切线分别为l1,l2, 且l1与l2交于点P. (1) 求椭圆C1的方程；

(2) 是否存在满足PF指出这样的点P有几个（不1?PF2?AF1?AF2的点P? 若存在，必求出点P的坐标）; 若不存在，说明理由.

21．（本小题满分14分）

x2x3??已知n?N，设函数fn(x)?1?x?23*x2n?1?,x?R. 2n?1（1）求函数y?f2(x)?kx(k?R)的单调区间；

*（2）是否存在整数t，对于任意n?N，关于x的方程fn(x)?0在区间??t,t?1??上有唯

一实数解，若存在，求t的值；若不存在，说明理由. 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当n?2时，Sn?1?4Sn?1?5Sn，

∴Sn?1?Sn?4Sn?Sn?1. ……………1分 ∴an?1?4an. ……………2分 ∵a1?2，a2?8，

??不得用于商业用途

仅供个人参考

∴a2?4a1. ……………3分

∴数列an是以a1?2为首项，公比为4的等比数列.

∴an?2?4n?1?22n?1. ……………4分

（2） 解：由（1）得：log2an?log222n?1?2n?1， ……………5分 ∴Tn?log2a1?log2a2? ?1?3????log2an

??2n?1? ……………6分

……………7分

?n?1?2n?1?22 ?n . ……………8分

?1??1?（3）解： ?1????1?T???T?2??3??1????1?T??

n???1??1???1?2??1?2??2??3???1?3?2?4?3?5?2?3?4?222?1???1?2? ……………9分

n????n?1??n?1??n2 ……………10分

?n?1. ……………11分 2nn?110104?，解得：n?287. ……………13分 2n20137令

故满足条件的最大正整数n的值为287. ……………14分

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

x2y2(1) 解法1：设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?,

ab?2232?2?2?1,依题意: ?a解得: b?a2?b2?4.?2??a?16, ……………2分 ?2b?12.??不得用于商业用途

仅供个人参考

x2y2??1. ……………3分 ∴ 椭圆C1的方程为

1612x2y2解法2：设椭圆C1的方程为2?2?1?a?b?0?，

aba?4， ……………1分 根据椭圆的定义得2a?AF1?AF2?8，即

∵c?2， ∴b?a?c?12. ……………2分

222x2y2??1. ……………3分 ∴ 椭圆C1的方程为

1612(2)解法1：设点B(x1,121212x1),C(x2,x2)，则BC?(x2?x1,(x2?x12))， 4441BA?(2?x1,3?x12)，

4∵A,B,C三点共线,

∴BC//BA. ……………4分 ∴x2?x1?3?????12?12x1??x2?x124?4???2?x?,

1化简得：2(x1?x2)?x1x2?12. ① ……………5分 由x2?4y,即y?112x,得y??x. ……………6分 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?12x1x1?(x?x1)， 42即y?x11x?x12. ② ……………7分 24x212x?x2. ③ ……………8分 24同理，抛物线C2在点C处的切线l2的方程为 y?设点P(x,y)，由②③得：

xx1121x?x12?2x?x2，

2424而x1?x2，则 x?1(x1?x2). ……………9分 2不得用于商业用途

仅供个人参考

代入②得 y?1x1x2， ……………10分 4则2x?x1?x2，4y?x1x2代入 ① 得 4x?4y?12，即点P的轨迹方程为

y?x?3. ……………11分

若PF1?PF2?AF1?AF2 ，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y?x?3上，

……………12分

∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),

∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ……………13分 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点P有两个. ……………14分 解法2：设点B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)， 由x2?4y,即y?112x,得y??x. ……………4分 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?x1(x?x1)， 2即y?x11x?y1?x12. ……………5分 22∵y1?x12x1， ∴y?1x?y1 . 42x1x0?y1. ① ……………6分 2∵点P(x0,y0)在切线l1上, ∴y0?同理， y0?x2x0?y2. ② ……………7分 2xx0?y. ……8分 2综合①、②得，点B(x1,y1),C(x2,y2)的坐标都满足方程 y0?∵经过B(x1,y1),C(x2,y2)两点的直线是唯一的， ∴直线L的方程为y0?xx0?y， ……………9分 2∵点A(2,3)在直线L上， ∴y0?x0?3. ……………10分 ∴点P的轨迹方程为y?x?3. ……………11分 不得用于商业用途

仅供个人参考

若PF1?PF2?AF1?AF2 ，则点P在椭圆C1上，又在直线y?x?3上，…12分 ∵直线y?x?3经过椭圆C1内一点(3,0),

∴直线y?x?3与椭圆C1交于两点. ……………13分 ∴满足条件PF1?PF2?AF1?AF2 的点P有两个. ……………14分 解法3：显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为y?kx?2?3，

????y?k?x?2??3,2 由?消去y，得x?4kx?8k?12?0. ……………4分

2??x?4y,设Bx1,y1,Cx2,y2,则x1?x2?4k,x1x2?8k?12. ……………5分 由x2?4y,即y?????112x,得y??x. ……………6分 42∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y?y1?x1(x?x1)， 2即y?x11x?y1?x12. ……………7分 22∵y1?x112x1， ∴y?1x?x12. 424同理,得抛物线C2在点C处的切线l2的方程为y?x212x?x2. ……………8分 24?x1y?x???2由??y?x2x???2?x1?x212x1,x??2k,??24解得? 12?y?x1x2?2k?3.x2,??44∴P2k,2k?3. ……………10分 ∵PF1?PF2?AF1?AF2,

??x2y2??1上. ……………11分 ∴点P在椭圆C1:1612∴

?2k?162??2k?3?122?1.

不得用于商业用途

仅供个人参考

化简得7k?12k?3?0.(*) ……………12分

2由Δ?12?4?7??3?228?0, ……………13分

2??可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）

x2x3??kx, ……………1分 （1）解：∵y?f2(x)?kx?1?x?23∴y???1?x?x2?k??(x2?x?k?1). ……………2分 方程x?x?k?1?0的判别式Δ??1当k??2??2?4?k?1???3?4k.

3时，Δ?0，y???(x2?x?k?1)?0， 4故函数y?f2(x)?kx在R上单调递减； ……………3分

当k??31?2时，方程x?x?k?1?0的两个实根为x1?4?3?4k，

2x2?1??3?4k. ……………4分

2则x???,x1时，y??0；x?x1,x2时，y??0；x?x2,??时，y??0； 故函数y?f2(x)?kx的单调递减区间为??,x1和x2,??，

单调递增区间为x1,x2. ……………5分

*（2）解：存在t?1，对于任意n?N，关于x的方程fn(x)?0在区间??t,t?1??上有唯

????????????一实数解，理由如下：

当n?1时，f1(x)?1?x，令f1(x)?1?x?0，解得x?1，

∴关于x的方程f1(x)?0有唯一实数解x?1. ……………6分

x2x3??当n?2时，由fn(x)?1?x?232得fn?(x)??1?x?x?x2n?1?， 2n?1?x2n?3?x2n?2. ……………7分

不得用于商业用途

仅供个人参考

若x??1，则fn?(x)?fn?(?1)??(2n?1)?0，

若x?0，则fn?(x)??1?0, ……………8分

2n?1x?1若x??1且x?0时，则fn?(x)??, ……………9分

x?1当x??1时，x?1?0,x2n?1?1?0,fn?(x)?0, ?1?0,fn?(x)?0,

当x??1时，x?1?0,x2n?1∴fn?(x)?0，故fn(x)在(??,??)上单调递减. ……………10分 ∵fn(1)?(1?1)?(?)?(?)? ??1?12131415?(11?)?0， ………11分

2n?22n?112342?2?2?34?5?2n?322n?2?0. …………12分

(2n?2)(2n?1)∴方程fn(x)?0在?1,2?上有唯一实数解. ……………13分 当x???,1时，fnx?????fn?1??0；??当x??2,*?时，f?x?n?fn?2??0.

综上所述，对于任意n?N，关于x的方程fn(x)?0在区间??1,2??上有唯一实数解. ∴t?1.

9．（本题满分14分）

数列?an?的前n项和为Sn?2an?2，数列?bn?是首项为a1，公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列． （1）求a1,a2,a3的值；

（2）求数列?an?与?bn?的通项公式； （3）求证：

b1b2b3???a1a2a3?bn?5． an20．（本题满分14分）

已知A(?2,0)，B(2,0)，C(m,n)．

（1）若m?1，n?3，求?ABC的外接圆的方程；

（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A,B），直线x?2交直线AC于点R，

不得用于商业用途

仅供个人参考

线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）

ex?1设函数f(x)?，x?0．

x（1）判断函数f(x)在?0,???上的单调性；

（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f(x)?1?a成立． 19．（本题满分14分） 解析：（1）∵Sn?2an?2，

∴当n?1时，a1?2a1?2，解得a1?2；当n?2时，S2?a1?a2?2a2?2，解得a2?4； 当n?3时，S3?a1?a2?a3?2a3?2，解得a3?8． -----------------3分

（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?(2an?2)?(2an?1?2)?2an?2an?1， -----------------5分

得an?2an?1又a1?S1?2a1?2，a1?2，∴数列{an}是以2为首项，公比为2的等比数列，

所以数列{an}的通项公式为an?2n． -----------------7分

b1?a1?2，设公差为d，则由b1,b3,b11成等比数列，

得(2?2d)?2?(2?10d)， -----------------8分 解得d?0（舍去）或d?3， ----------------9分 所以数列{bn}的通项公式为bn?3n?1．-----------------10分 （3）令Tn?2b1b2b3???a1a2a3?258bn?1?2?3?an222?3n?1， n22Tn?2?两式式相减得

58??2122?3n?1，-----------------11分 2n?13333n?1????， 12n?1n222231(1?n?1)3n?13n?52∴Tn?2?2?n?5?n，-----------------13分

1221?23n?5?0，故Tn?5．-----------------14分 又n2Tn?2?不得用于商业用途

仅供个人参考

20．（本题满分14分）

解析：（1）法1：设所求圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，

?4?2D?F?0?由题意可得?4?2D?F?0，解得D?E?0,F??4，

??1?3?D?3E?F?0∴?ABC的外接圆方程为x2?y2?4?0，即x2?y2?4．-----------------6分

法2：线段AC的中点为(?,133， )，直线AC的斜率为k1?22331??3(x?)， 22∴线段AC的中垂线的方程为y?线段AB的中垂线方程为x?0，

∴?ABC的外接圆圆心为(0,0)，半径为r?2， ∴?ABC的外接圆方程为x2?y2?4．-----------------6分 法3：|OC|?(1?0)2?(3?0)2?2，而|OA|?|OB|?2，

∴?ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆， ∴?ABC的外接圆方程为x?y?4．-----------------6分

22法4：直线AC的斜率为k1?3，直线BC的斜率为k2??3， 3∴k1?k2??1，即AC?BC，

∴?ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，

∴?ABC的外接圆方程为x?y?4．-----------------6分

（2）由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x?y?4，设点R的坐标为(2,t)， ∵A,C,R三点共线，∴AC//AR，----------------8分 而AC?(m?2,n)，AR?(4,t)，则4n?t(m?2)， ∴t?22224n， m?24n2n)，点D的坐标为(2,)，-----------------10分 m?2m?2∴点R的坐标为(2,不得用于商业用途

仅供个人参考

n?2n(m?2)n?2nmn∴直线CD的斜率为k?m?2m?2?m2?4?m2?4， 而m2?n2?4，∴m2?4??n2， ∴k?mn?n2??mn，-----------------12分 ∴直线CD的方程为y?n??mn(x?m)，化简得mx?ny?4?0， ∴圆心O到直线CD的距离d?4m2?n2?44?2?r， 所以直线CD与圆

O切． -----------------14分 21．（本题满分14分）

解

析

：

（

1

）

f?(x)?xex?(ex?1)(x?1)ex?1x2?x2-----------------2分

令h(x)?(x?1)ex?1，则h?(x)?ex?ex(x?1)?xex， 当x?0时，h?(x)?xex?0，∴h(x)是?0,???上的增函数， ∴h(x)?h(0)?0， 故

f?(x)?h(x)x2?0，即函数

f(x)是

?0,???上的增数． -----------------6分

（2）f(x)?1?ex?1x?1?ex?x?1x， 当

x?0时，令

g(?x)x?e，?x则

g?(?x)x?e-----------------8分

故g(x)?g(0)?0，∴f(x)?1?ex?x?1x，

原不等式化为

ex?x?1x?a，即ex?(1?a)x?1?0，-----------------10分 令?(x)?ex?(1?a)x?1，则??(x)?ex?(1?a)，

不得用于商业用途

相

，函

，

1?

仅供个人参考

由??(x)?0得：e?1?a，解得x?ln(1?a)，

当0?x?ln(1?a)时，??(x)?0；当x?ln(1?a)时，??(x)?0．

故当x?ln(1?a)时，?(x)取最小值?[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)，-----------------12分

x令s(a)?a11a?ln(1?a),a?0，则s?(a)?????0． 221?a(1?a)1?a(1?a)故s(a)?s(0)?0，即?[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)?0． 因此，存在正数x?ln(1?a)，使原不等式成立．----------------14分 19.（本题满分14分）

设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和。已知S3?7，且3a2是

a1?1和a3?4的等差中项。

（1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?an1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn?

2(an?1)(an?1?1)20.（本题满分14分）

已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为

33，且点（1，）在该22椭圆上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意点，PH?x轴，H为垂足，点Q满足PQ?HP，直线AQ与过点B且垂直于x轴的直线交于点M，BM?4BN，求证：?OQN为锐角。

21.（本题满分14分

不得用于商业用途

仅供个人参考

已知函数f(x)?ax?x2?xlna?b（a,b?R,a?1），e是自然对数的底数。 （1）试判断函数f(x)在区间(0,??)上的单调性；

（2）当a?e，b?4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间（k,k?1）上存在零点； （3）若存在x1，x2?[－1，1]，使得|f(x1)?f(x2)|?e?1，求a的取值范围。 19．（本题满分14分）

解：（1）由已知，得解得

．设数列

的公比为，则

………………………………………3分 ，

∴．由，可知，

∴

由题意，得∴分

．故数列

，解得．

． …………………………………………………5分

的通项为． …………………………………………………7

(2)∵∴

， …………11分

.……………………………………………14分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”；考查了学生的运算能力和思维能力． 20．（本题满分14分）

不得用于商业用途

仅供个人参考

解：（1）设椭圆C的方程为，

由题意可得 又

，∴

, . …………………2分

∵椭圆C经过

解得

. 5分

，代入椭圆方程有 ，

∴（2）设∵

，故椭圆C的方程为 . ………6分

， …………7分

，∵，∴，∴直线的方程为

． ………………9分

令，得．∵，，∴．

∴，．

∴

∵∵∴

，∴，∴

∴

．又

、

…………12分 、

不在同一条直线，

为锐角. …………………………………………………14分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推理

论证以及分析问题、解决问题的能力． 21．（本小题满分14分） 不得用于商业用途

仅供个人参考

解：（1） …………………………1分 由于

，故当时，

，所以

，…………2分

故函数在

上单调递增 . …………………………………………3分

（2）

，

，

， ……………………4分 当时，

，

，故

是

上的增函数；

同理，

是

上的减函数. …………………………………5分

，当

，

，

故当时，函数的零点在内，满足条件；

，当

，，

故当

时，函数

的零点在

内，

满足条件.

综上所述 或

. ………………………………………7分

（3），

因为存在，使得

，

所

以当

时

…………………………8分

，

①当时，由，可知，，∴； ②当时，由，可知 ，

，∴

；

③当时，

.

∴

在

上递减，在

上递增，…………………………………11分

不得用于商业用途

，

仅供个人参考

∴当时，，

而，

设，因为（当时取等号），

∴∴当

时，

在，

上单调递增，而，

∴当∴

时，

，∴

，∴

，即

，

，

设∴函数即

的取值范围是

，则

在

上为增函数，∴

.

.

……………………………………14分

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.

20．（本小题满分14分）

x?y2?1(a?1) 2auuuruuur的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且PF1?PF2最小值为0． （1）求椭圆C的方程； oF如图（5），设点F1(?c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:12yxF2（2）设直线l1:y?kx?m,l2:y?kx?n，若l1、l2均与椭圆 C相切，证明：m?n?0；

图（5）（3）在（2）的条件下，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1,l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）

2已知函数f(x)?lnx，g(x)?f(x)?ax?bx，函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的

不得用于商业用途

仅供个人参考

切线平行于x轴．

（1）确定a与b的关系；

（2）若a?0，试讨论函数g(x)的单调性；

（3）设斜率为k的直线与函数f(x)的图象交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，（x1?x2） 证明：

11?k?． x2x120.解：（1）设P(x,y)，则有F1P?(x?c,y)，F2P?(x?c,y)-------------1分

a2?122PF1?PF2?x?y?c?x?1?c,x???a,a? -----------------2分 2auuuruuur22由PF1?PF2最小值为0得1?c?0?c?1?a?2，-------------------3分

222x2?y2?1．---------------------------------------------4∴椭圆C的方程为2分

（2）把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k2)x2?4mkx?2m2?2?0

∵直线l1与椭圆C相切，∴??16k2m2?4(1?2k2)(2m2?2)?0，化简得

m2?1?2k2------------------------------------------------------------------------------------7分

同理

可

得

：

n2?1?2k2---------------------------------------------------------------------8分

∴m?n，若m?n，则l1,l2重合，不合题意， ∴

22m?n?0分

，即

-------------------------------------------------------------------9

m??n（3）设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,l2的距离之积为1，则

|kt?m||kt?m|??122k?1k?1，即

|k2?t2|?m，?1k--------------------------------------11分 把1?2k?m代入并去绝对值整理，

22k2(t2?3)?2或者k2(t2?1)?0

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k?R恒成立 则

t2?1?0，解得

t??1；

不得用于商业用途

仅供个人参考

----------------------------------------------------------------------13分 综上所述，满足题意的定点B存在，其坐标为(?1,0或(1,0) ---------------------------14分

21．解：（1）依题意得g(x)?lnx?ax2?bx，则g'(x)?1?2ax?b x由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得：g'(1)?1?2a?b?0

∴

b??2a?1-------------------------------------------------------------------------3分

2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)?（2）由（1）得g'(x)?--------ks5u-----------4

xx分

∵函数g(x)的定义域为(0,??) ∴当a?0时，g'(x)??x?1 x由g'(x)?0得0?x?1，由g'(x)?0得x?1，

即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)单调递减；

-------------------------------------5分 当a?0时，令g'(x)?0得x?1或x?若

1， 2a1111?1，?x?1，即a?时，由g'(x)?0得x?1或0?x?，由g(')x0?得

2a2a2a211)，,1)单调递减；(1,??)上单调递增，即函数g(x)在(0,在(-----------------62a2a分 若

1111?1，')x0?得1?x?即0?a?时，由g'(x)?0得x?或0?x?1，由g(，

2a2a22a11)单调递减；------------7分 即函数g(x)在(0,1)，(,??)上单调递增，在(1,2a2a11?1，即a?时，在(0,??)上恒有g'(x)?0， 若2a2g(x)(0,??)即函数在上单调递增，

------------------------------------------------------------8分

综上得：当a?0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)单调递减；

当0?a?调递增；

111)单调递减；在(,??)上单时，函数g(x)在(0,1)单调递增，在(1,22a2a1时，函数g(x)在(0,??)上单调递增， 2111)上单调递增，在(,1)单调递减；在(1,??)上单调递增．当a?时，函数g(x)在(0,

22a2a当a?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

不得用于商业用途

仅供个人参考

（3）证法一：依题意得k?y2?y1lnx2?lnx1， ?x2?x1x2?x1111lnx2?lnx11证 ?k?，即证??x2x1x2x2?x1x1因，即证x2?x1?0x2?x1xx?x?ln2?21---------------------------------------------10分 x2x1x11x2令?t（t?1），即证1??lnt?t?1（t?1）

tx1------------ks5u------------------11分 令h(t)?lnt??1（t?1）则h'(t)??∴h(t)在（1，+?）上单调递增，

1t11t?1?2?0 2tttnt?1?（t?1）∴h(t)?h(1)=0，即l--------------②-----------------------13

分 综

①

②

得

1t11??lnt?t?1t（

t?1），即

11?k?．-----------------------------------14分 x2x1【证法二：依题意得k?分

y2?y1lnx2?lnx1-------------10??lnx2?kx2?lnx1?kx1，

x2?x1x2?x11?k,-------------11分 x111由h?(x)?0得x?，当x?时，h?(x)?0，当0?x?时，h?(x)?0，-----------12

kkk令h(x)?lnx?kx,则h?(x)?分

11?h(x)在(0,)单调递增，在(,??)单调递减，又h(x1)?h(x2),-------------13分

kk1?x1??x2,即

k11?k?--------------------------------------------------------------------x2x114分】

x11,则h?(x)??,-------------10分 x1xx1当x?x1时，h?(x)?0,∴函数h(x)在(x1,??)单调递减，-------------11分

xlnx2?lnx11∴当x2?x1时，h(x2)?h(x1)?lnx2?2?lnx1?1，即?；--------12

x1x2?x1x1【证法三：令h(x)?lnx?分

不得用于商业用途

仅供个人参考

同理，令

m(x)?lnx?x,x2可证得

1lnx2?lnx1-----------------------------------------14分】 ?x2x2?x1y?y1lnx2?lnx111【证法四：依题意得k?2，??k?

x2?x1x2?x1x2x11lnx2?lnx11????x1lnx2?x1lnx1?x2?x1?x2lnx2?x2lnx1-------------x2x2?x1x110分

令h(x)?x?x1lnx?x1lnx1?x1,则h?(x)?1?x1, x，

即

当x?x1时，h?(x)?0,∴函数h(x)在(x1,??)单调递增，

时，x2?x1h(x2)?h(x1)?0分 x1l?nx2?x1-------------------------12ln?xxxx令m(x)?x?x2lnx?x2lnx2?x2,则m?(x)?1?2,

x当x?x2时，m?(x)?0,∴函数m(x)在(0,x2)单调递减，

∴当x1?x2时，m(x1)?h(x2)?0，即x2?x1?x2lnx2?x2lnx1； ∴

当

所以命题得证 19．（本小题满分14分）

已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1?1，nan?1?2Sn(n?N*). （1）求a2,a3,a4的值； （2）求数列{an}的通项an； （3）设数列{bn}满足bn?20．（本小题满分14分）

已知圆C的方程为x?y?2x?7?0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q.

（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L方程； （2）过点B（1，

222，求数列{bn}的前n项和Tn.

(n?2)an1）能否作出直线l2，使l2与轨迹L交于M、N两点，且点B是线2段MN的中点，若这样的直线l2存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分14分）

不得用于商业用途

仅供个人参考

?x2?a(lnx?1)(0?x?e)?若f(x)??2，其中a?R． ??x?a(lnx?1)(x?e)2（1）当a??2时，求函数f(x)在区间[e,e]上的最大值； （2）当a?0时，若x??1,???，f(x)?19．（本小题满分14分）

3a恒成立，求a的取值范围． 2解：（1）由a1?1,nan?1?2Sn(n?N?)得 a2?2a1?2 ， （1分）

a3?S2?a1?a2?3， （2分）

由3a4?2S3?2(a1?a2?a3)得a4?4 （3分） （2）当n?1时，由nan?1?2Sn ① ，得(n?1)an?2Sn?1 ② （4分） ①－②得nan?1?(n?1)an?2(Sn?Sn?1)，化简得nan?1?(n?1)an， （5分）

∴

an?1n?1（n?1）. （6 分） ?anna33an （7 分） ?，……，n?a22an?1n?13n????n（n?1） （8 分） 2n?1∴a2?2，

以上（n?1）个式子相乘得an?2?又a1?1，∴an?n(n?N?) （9 分）

（3）∵bn?∴Tn???1?2211 （11分） ???(n?2)an(n?2)nnn?2?111111????? （12分） n?2nn?1n?1nn?2111111?????13243511132n?3???? （14分） 2n?1n?22(n?1)(n?2)20．（本小题满分14分）

解：（1）如图，由已知可得圆心C(?1,0)，半径r?22，点A（1，0） （1分） ∵点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，∴ |QP|?QA| （2分） 又∵|PQ|?|QC|?22，∴|QA|?|QC|?22?AC?2 （3分） 不得用于商业用途

仅供个人参考

∴点Q的轨迹是以O为中心，C,A为焦点的椭圆， ∵c?1,a?2，∴b?a2?c2?1， （4分）

x2?y2?1. （5分） ∴点Q的轨迹L的方程2x2?y2?1得 （2）假设直线l2存在，设M(x1,y1),N(x2,y2)，分别代入2?x12?y12?1??2， （6分） ?2?x2?y2?12??2两式相减得

(x1?x2)(x1?x2)y?y1x?x??(y1?y2)(y1?y2)，即12???12 （7分）

2x1?x22y1?y2 由题意，得x1?x2?2,y1?y2?1， （8分） ∴

y1?y2??1，即kMN??1 （9分）

x1?x23 （10分） 2∴直线l2的方程为y??x??x2?y2?1??22由?得6x?12x?5?0 （11分） ?y??x?3??2∵点B在椭圆L内， ∴直线l2的方程为y??x?23，它与轨迹L存在两个交点， 2解方程6x?12x?5?0得x?1?6 （12分） 6当x?1?616616时，y??；当x?1?时，y?? （13分） 626626?616??616?1?,?1?,?所以，两交点坐标分别为?????和??? （14分） 626626????21．（本小题满分14分）

解：（1）当a??2，x?[e,e]时，f(x)?x?2lnx?2， （1分） 不得用于商业用途

22仅供个人参考 ∵f?(x)?2x?2，∴当x?[e,e2]时，f?(x)?0， （2分） x∴函数f(x)?x2?2lnx?2在[e,e2]上单调递增， （3分） 故f(x)max?f(e2)?(e2)2?2lne2?2?e?2 （4分） （2）①当x?e时，f(x)?x2?alnx?a，f?(x)?2x?4a， x?a?0，f?(x)?0，∴f（x）在[e,??)上增函数， （5分） 故当x?e时，f(x)min?f(e)?e2； （6分） 2②当1?x?e时，f(x)?x?alnx?a，f?(x)?2x?a2aa（7分） ?(x?)(x?)，xx22（i）当a?1,即0?a?2时，f(x)在区间[1,e)上为增函数， 22当x?1时，f(x)min?f(1)?1?a，且此时f(1)?f(e)?e； （8分） （ii）当1???a?a?a,e?1,?e，即2?a?2e2时，f(x)在区间?上为减函数，在区间????2?2?2??上为增函数， （9分） 故当x?aaa3aaa时，f(x)min?f(（10分） )??ln，且此时f()?f(e)?e2；222222a?e，即a?2e2时，f(x)?x2?alnx?a在区间[1，e]上为减函数， 22（iii）当故当x?e时，f(x)min?f(e)?e. （11分） 综上所述，函数y?f(x)的在?1,???上的最小值为f(x)min?1?a,0?a?2?3aaa????ln,2?a?2e2?22222??e,a?2e（12分） ?2?a?2e2,?a?2e2,?0?a?2,???由?由?3aaa3a得无解；由?23a得无解； （133得0?a?2；1?a?a,,,?e????ln?2?2??2222分） 故所求a的取值范围是?0,2?． （14分） 不得用于商业用途

仅供个人参考

19、（本小题满分14分）

已知函数f(x)?123x?x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N*)都在函22数y＝f（x）的图象上。

（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn?（3）令

20、（本小题满分14分）

an，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn； 2n?1

y2x2已知F1，F2分别是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线

abC1：x?4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|?25。 3（1）求椭圆C1的方程； （2）已知A（b，0），B（0，a），直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。 21、（本小题满分14分）

已知函数f(x)?(a?)x2?lnx(x?R)。

（1）当a＝1时，?x0?[1,e]使不等式f(x0)?m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，＋?）上，函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax的下方，求实数a的取值范围。

12不得用于商业用途

仅供个人参考

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.

Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.

только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.

以下无正文

不得用于商业用途

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wp66.html