湖南省长沙市2013届高三高考模拟数学（理）试题

科目：数学（理科）

（试题卷）

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓 名 准考证号

绝密★启用前

高考湘军 2013年长沙市高考模拟试卷（一）

数 学（理科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的） 1．已知z是复数，i是虚数单位，?1?i?z 在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么z? A．?1?i 2．已知不等式

maa?2b77B．?1?i

C．1?i

D．?i

bx2x?2ax?b?0的解集为?1,2，

??m是二项式(ax?)的展开式的常数项，那么

6?

A．?15

B．?5

C．?5a D．5

x2y2x3．以双曲线??1的离心率为首项，以函数f?x??4?2的零点为公比的等比数列的前n45项的和Sn?

3A．3??2n?1??

23B．3?n

22n?12 C． ?

3342nD．?

334．已知几何体M的正视图是一个面积为2?的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为

正视 B．6?+43和83? 43A．6?和

3?

侧视

3C．6?+43和43? D．4(?+3)和43?

俯视33结束 输出s 5．执行下列的程序框图，输出的s? 是 开始 S=0 a=100- (i MOD 100) i >200? i=1 s=s+a i=i+1 否 A．9900 B．10100 C．5050 D．4950 6．与抛物线y?8x相切倾斜角为1350的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线y?8x的准线所得的弦长为

22A．4

B．22

C．2

D．2

07．已知直线l与平面?平行，P是直线l上的一点，平面?内的动点B满足：PB与直线 l成60。

那么B点轨迹是 A.．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 8．使得函数f?x?? D．两直线

1247x?x??a?x?b?的值域为?a,b??a?b?的实数对?a,b? 555有( )对

A．1 B．2 C．3 D．无数

二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线

上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）

?9．G?x?表示函数y?2cosx?3的导数，在区间??,??上，随机取值a,G?a??1的概率?3???为 ；

???10．已知向量a??x,y?，b??x?2,1?，设集合P?x|a?b，Q?x|b?5，当x?P?Q????时，y的取值范围是 ； 11．计算：

2?21?x??dx?_____________； ?1?x??12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望

为 ；

13．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：??4cos??0的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周??4cos??0上，此时P点的极坐标为 ；

14．（几何证明4-1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，

⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直 线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2， EA=1，?AMB=30，那么⊙O2的半径为 ；

15．(不等式4-5)已知x?0,y?0,z?0,x?2y?3z?3，那么(x?1)2?(2y?1)2?(3z?1)2 的最小值

4y6z2x为 ；

o

P

O1

E A C

O2 D B M x2y216．方程+=1(a,b?{1，2，3，4，…，2013})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，

ab离心率最小的椭圆方程为 .

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤）

17．函数f?x??6cos2?x2?3sin?x?3???0?在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高

点,B.C为图像与x轴的交点,且?ABC为正三角形. (1)若x??0,1?,求函数f?x?的值域; 102?(2)若f?x0??83,且x0????,?,求f?x0?1?的值.

5?33?

18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使

得△ABD与△ABC成30o的二面角D?AB?C,如图二，在二面角D?AB?C中. (1) 求D、C之间的距离；

(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;

(3) 求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。

A

A

C C

D B

B

图一 图二

D

19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这

种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16?x?24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需量q万千克近

似地满足关系:p?2?x?4t?14?,?x?16,t?0?，q?24?8ln格称为市场平衡价格。

（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；

（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

20x,?16?x?24?。当

p?q市场价

20．设命题p:函数f?x??(a?5)x?b在?0,???上是增函数；命题q:方程x2?ax?b?2?0有两个

x?1不相等的负实数根。求使得p?q是真命题的实数对?a,b?为坐标的点的轨迹图形及其面积。

21．已知A(,0)，点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若

14AP?AQ?2AB,M?4,0?.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在定直线x?a，以PM为直径的圆与直线x?a的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

B Q O A x y 22．(1)已知a?b?c?1,a,b,c??0,???,求证：alog3a?blog3b?clog3c??1;

(2)已知a1?a2???a3n?1，ai>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3nlog3a3n??n

2013年长沙市高考数学模拟试卷 （一）

数学（理科）参考答案及评分标准

一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 B

二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)

77 10. (-8，1] 11. ?ln2 12. 600 83275?13. (23，) 14. 3 15.

649.

y2x2x2y216. 2027091?； +=1和+=1，

2013201220122013三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤）

??17.解(1)由已知得:f?x??3cos?x?3sin?x?23sin???x?? 3??又?ABC为正三角形,且高为23,则BC=4.所以函数f?x?的最小正周期为8,即2???8,???,????f?x??23sin?x??.

4?43?因为x??0,1?,所以???x???7?,3?f?x??23.

34312 函数f?x?的值域为3,23………………………6分

?x?4(2)因为f?x0??83,有f(x0)?23sin(?x0??)?83， 即sin(0?)?

4354355???x102???由x0?（?，），得(0?)?(?,)

334322所以，即cos(?x0??)?1?(4)2?3

4355故f(x0?1)?23sin(?x04??4??3)?23sin[(?x04??3)??

]4

?23[sin(?x04344232?23(???)5252??)cos??cos(?x04??3)sin?4

?76 ………………………………………………12分

518. 解: 依题意，?ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，?△ABD与△ABC成30o的二面角, ??DBY=30o，又AB=BD=2， ? A(0，0，2)，B(0，0，0)，

C(0，3，1)，D(1，3，0)，

(1)|CD|=(1?0)?(3?3)?(0?1)=2……… 5分 (2)?x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。 设CD与面ABC成的角为?，而CD= (1，0，-1)，

C ?sin?=

A 222 z |(1,0,0)?(1,0,?1)|12?02?0212?02?(?1)2=

2 2 x B D y ???[0，

??]，??=；…………………8分 24 (3) 设AH=tAD= t(1，3，-2)= (t，3t，-2 t)，

CH=CA+AH=(0，-3,1) +(t，3t，-2 t) = (t，3t-3，-2 t+1)，

若CH?BA，则 (t，3t-3，-2 t+1)·(0，0，2)=0 得t=

1， ……………10分 2此时CH=(

13，-，0)，

2213-=-1?0,? CH和BD不垂直， 2220（16≤x≤24 ，t>0）。 x 而BD=(1，3，0)，CH·BD=

即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分 19. 解：（1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln t=

20131-x+ ln（16≤x≤24）。 …………………3分 24x11=--<0，?t是x的减函数。 ?t′

4x1312012015 ?tmin=-?24+ ln=+ln=+ ln; ……………………5分

24242242613120551555 tmax=-?16+ ln=+ ln, ?值域为[+ ln，+ ln] ………7分

241624262420131 （2）由(1) t=-x+ ln（16≤x≤24）。

24x 而x=20时，t=

13120-?20 + ln=1.5(元/千克) …………………9分 2420 ?t是x的减函数。欲使x?20，必须t?1.5(元/千克)

要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分 20. 解：? f(x) =

(a?5)x?ba?5?b，p真? f ′(x)= >0

x?1(x?1)2对于x?(0，+?)成立?a-b+5>0。

?a?0? q真?方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根??b?2?0…………4分

?a2?4b?8?0??a?0?b?2?0? p?q是真命题?p真且q真?? P

a?b?5?0? A 2??a?4b?8?0b B o a 实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8分

?a?b?5?0?a?b?5?0 解：?2得a1= -2，a2= 6， 解?得a= -3;

b?2a?4b?8?0???(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：

20a?2a2da …………11分 ?2?2)da=?(a?3)da+? S=?(a?5?2)da+?(?24?24?3?3?201213072a+3a)|?+ a|?2=………………………………13分 y ?32126121. 解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|，? m?0，m=-4t2， B 41Q O A x ? Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则AP=(x-，y)， 411AQ=(-4t2-，0)，2AB=(-，2 t)， ?AP+AQ=2AB。 42111?(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，

442 ? x=4t2，y=2 t，? y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。

(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，?M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即

=(

y2?4yPM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

22y2?4yy2?422 L=2(?4)?(?0)?(?a)2

22215y2 =2(a?4)(y?a)?=2(a?)y2?a(a?4) ……………10分

442若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-

1515=0, 即a=时，L=15 441515，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值15。……13分 4422. 解： (1)证明：? a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，

? alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)

1?b1?b 那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，

221?b1?b ? f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；

221?b1?b1?b)=(1-b) log3+ blog3b，记g(b)= (1-b) log3+ blog3b，………3分 ? f(a)≥f(2221?b11得：g′(b)= log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，

332111? g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增；? g(b)≥g()=-1。

3331 alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。……………………5分

3?存在定直线x=

(2)证明：n=1时，a1+a2+a3=1，ai>0(i=1,2,3)，由(1)知

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3≥-1成立，即n=1时，结论成立。 设n=k时结论成立，即a1+a2+…+a3k=1，ai>0(i=1,2,3,…,3k)时

a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k≥-k.

那么，n=k+1时,若a1+a2+…+a3k+a3k?1+…+a3k?1=1，ai>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，

令a3k?1+…+a3k?1aka1a2=t，则++…+3=1，由归纳假设：

1?t1?t1?takaka1a1a2a23 ++…+loglog3log33≥-k.……………… 8分 31?t1?t1?t1?t1?t1?t? a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k-(1-t) log3(1-t) ≥-k(1-t). ?a1log3a1+a2log3a2+a3log3a3+…+a3klog3a3k≥-k(1-t)+ (1-t) log3(1-t)…(1)

设a2?3k?1+…+a3k?1=s，则a3k?1+…+a2?3k=t-s，

a3k?1a3k?2t?s+

t?s+…+

a2?3kt?s=1，

由归纳假设：

a3k?1t?slog3a3k?1a3k?2t?s+

t?slog3a3k?2t?s+…+

a2?3kt?slog3a2?3kt?s≥-k.

?a3k?1log3a3k?1+a3k?2log3a3k?2+…+a2?3klog3a2?3k≥-k(t-s)+ (t-s)log3(t-s)

………(2)………………10分

?a2?3k?1+…+a3k?1=s，?a2?3k?1a2?3k?2s+

s+…+

a3k?1s=1；由归纳假设同理可得：

a2?3k?1log3a2?3k?1+a2?3k?2log3a2?3k?2+…+a3k?1log3a3k?1 ≥-ks+ slog3s ……(3) 将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：

a1log3a1+a2log3a2+…+a3klog3a3k+…+a2?3klog3a2?3k+…+a3k?1log3a3k?1 ≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)log3(1-t)+ (t-s)log3(t-s) + slog3s

而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。? (1-t)log3(1-t)+ (t-s)log3 (t-s) + slog3s≥-1。 ?-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)log3(1-t)+ (t-s)log3(t-s) + slog3s≥-k-1=-(k+1)。 ?a1log3a1+a2log3a2+…+a3klog3a3k+…+a3k?1log3a3k?1≥-(k+1)。

?n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。…………………………13分

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