概率统计习题带答案

概率论与数理统计

习题及题解

沈志军 盛子宁

第一章 概率论的基本概念

1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及

P(AB)

2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C亦必相互独立。

3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}， 事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B)

4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率？（2）三次内打开的概率？（3）如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？

5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？

6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？

7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？

8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,

在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。试求下列事件的概率：（1）仓库发生意外时能及时发出警报；（2）乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？

9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：

（1） 已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； （2） 已知P(A)?1/4,P(B|A)?1/3,P(A|B)?1/2。求：P(A?B)。

10．先把长为l的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三部分能成三角形的概率？

11．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是0.4。又若只有一人命中时，飞机坠毁的概率为0.2；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为0.6；若三人同时命中，则飞机必然坠毁。试求：（1）飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因为恰有二人命中的概率？

12．今有９门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为0.6。（１）同时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（２）欲以99％以上的把握击中飞机，试问至少要布置多少门炮同时射击？

13．某工厂有职工4745名，每名职工生日在一年中某一天的概率为1/365，试求下列事件的概率：（１）恰有４名职工生日在同一天(A)；（２）至少有４名职工生日在同一天（B）？

14．假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为1?p，且各发动机故障与否是相互独立的。如果至少有50%的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p，４个发动机比２个发动机更为保险？

15．设事件A,B,C满足：

P(A)?P(B)?P(C)?1/4,P(AC)?1/8,P(AB)?P(BC)?0

试求A,B,C三事件至少有一发生的概率？

16．某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为９％，甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为16.8%，试求下列事件的概率：（１）甲、乙两市同为雨天；（２）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（３）在乙市无雨的条件下甲市亦无雨？

17．某地以英文字母及阿拉伯数字组成７位牌照。试求下列事件的概率：（１）牌照的前２位是英文字母、后５位是阿拉伯数字（A）；（２）牌照中有２位是英文字母、另外５位是阿拉伯数字（B）？

18．甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有利？

19．平面上画有平行线若干、其间距交替地等于1.5厘米及8厘米。今任意地向平面投掷一半径为2.5厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率？

20．甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。试求他们能会到面的概率？

21．平面上画有距离为a(a?0)的平行线若干条。今向此平面任意投一长为l(l?a)的小针。试求小针与平行线之一相交的概率？

22．若A,B相互独立，则（1）A,B独立；（2）A,B独立；（3）A,B独立。

23．当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？

24．掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？

11和，试求下列三种情况下P(AB)的值： 321（1）A与B互斥；（2）A?B；（3）P(AB)?

825．设事件A,B的概率分别为

26．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1，2，3的概率？

27．袋中有12个球，其中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求：（1）两个均为白球的概率？（2）两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？（3）至少有一个黑球的概率？

28．将10本书随意放在书架上，求：其中指定的5本书放在一起的概率？

29．甲、乙二班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？

30．设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取

一件产品，求：取得正品的概率？

31．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺钉产品的25%，35%，40%，各车间成品中次品分别为各车间产量的5%，4%，2%，今从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率是多少？

32．有产品100件，其中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求：其中至少有一件次品的概率？

33．100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。问全部及格的有多少人？

34．两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是0.05，第二台机器的产品次品率是0.02。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产的概率？

35．有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的概率是0.8；未经校正的枪，击中靶的概率是0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此枪为校正过的概率是多少？

36．某射手射击一发子弹命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3。求：该射手射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率？

37．设A?B,P(A)?0.1,P(B)?0.5，试求：P(AB),P(A?B),P(A?B)及P(AB) 38．已知P(A)?0.7,P(A?B)?0.3，求：P(AB)

39．某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p，如果在比赛中他试举三次，求：他打破世界纪录的概率？

40．工厂生产的某种产品的一级品率是40%，问需要取多少件产品，才能使其中至少有一件一级品的概率不小于95%？

41．假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日在一月份的概率不小于0.96，问该单位有多少人？

42．从5双不同尺码的鞋子中任取4只，问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

43．仪器中有三个元件，它们损坏的概率是0.1，并且损坏与否相互独立。当一个元件

损坏时，仪器发生故障的概率是0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。求：仪器发生故障的概率？

44．在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是0.1,0.2,0.3，已知三个人中某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？

45．在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求：正好查完22个零件时，挑全了8个次品的概率？

46．设事件A与B相互独立，两事件中只有A发生及只有B发生的概率都是

1，求4P(A)与P(B)

第二章 随机变量及其分布

1．一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率？（2）至少有3个设备被使用的概率？（3）至多有3个设备被使用的概率？

2．设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数X不超过3的概率？

3．设X的分布律为 X 0 1 2 p 0.3 0.6 0.1 求X的分布函数？

4．设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,(???x???)。试求：（1）系数A,B；（2）X落在（-1，1）内的概率？（3）X的概率密度？

5．设随机变量X服从??0.015的指数分布，试求：（1）P{X?100}； （2）若要P{X?x}?0.1，则x应在什么范围内？

?2?1?x26．设随机变量X的概率密度为f(x)????0?

?1?x?1其它，求X的分布函数？

0?x?1?x?7．设随机变量X的概率密度为：f(x)??2?x1?x?2?0其它?

求X的分布函数？

?0?28．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??kx?1?x?00?x?1x?1

试求：（1）系数k；（2）X的概率密度；（3）P{0.3?X?1.3}。

?02??x9．设随机变量X的分布函数为F(x)???25??1x?00?x?5x?5

试求：（1）X的概率密度；（2）X落在（3，6）内的概率？

10．随机变量X的概率密度为f(x)?ke?|x|,(???x???),

试求：（1）系数k ；（2）P{0?X?1}；（3）X的分布函数？

11．某种电子管的使用寿命X（单位：小时）的概率密度为

?100?f(x)??x2??0x?100x?100

设某仪器内装有三个这样的电子管。试求：（1）试用的最初150小时内没有1个电子管损

坏的概率；（2）这段时间内只有1个电子管损坏的概率？

12．设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 3 p 1/12 1/4 1/6 1/12 5/12 试求：（1）Y?2X?1的分布律；（2）Y?(X?1)的分布律？

2?2x?13．设X的概率密度为f(x)???2??0

0?x??其它，求Y?sinX的概率密度？

14．设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布，试求：（1）Y?e的概率密度； （2）Y??2lnX的概率密度？

15．设随机变量X在区间??,?上服从均匀分布。求随机变量Y?cosX的概率密

22??度？

16．设随机变量X~N(0,1)。试求：(1)Y?e;(2)Y?|X|的概率密度？

17．设随机变量X~N(0,1)。试求：Y?2X2XX?????1的概率密度？

18．设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9~11安之间。若此电流通过2欧的电阻，试求功率W?2I的概率密度？

19．设随机变量X的概率密度为f(x)，求Y?X的概率密度；若随机变量X服从参数为?的指数分布，求Y?X的概率密度？

20．某种商品一周内的需要量X是一个随机变量，其概率密度为

332?xe?xf(x)???0的概率密度？

x?0，设各周的需要量是相互独立的，求：（1）两周；（2）三周的需要量x?021．设X是一个随机变量，在（-1，1）上服从均匀分布，求Y?|X|的概率密度？

22．设X~N(5,4),求：（1）P{|X|?3}；（2）使P{X?c}?P{X?c}的？ 注：?(0)?0.5,?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(3)?0.9987,?(4)?0.9999

23．同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记X为两颗骰子出现的最大点数，试求X的分布律？

24．某批产品的次品率为1/4，现对这批产品进行测试，以X表示首次测得正品的测试次数，求X的分布律？

25．设连续型随机变量X的概率密度为

?c(x?x2)0?x?1 f(x)??0其它?试求：（1）常数c；（2）P{0?X?0.5}；（3）X的分布函数？

26．电话总机在1小时内平均接到60次呼唤，试问在30秒内1次呼唤也没有接到的

概率有多大？

27．对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为p，试求射击次数的分布律？

28．设盒中有5个球，其中3个黑球、2个白球，从中随机抽取3个球，求：“抽得白球个数”X的概率分布？

29．某射手每次射击打中目标的概率都是0.8，现在他连续射击30次，求：他至少打中两次的概率？

30．某射手每次打中目标的概率都是0.8，现在他连续向一个目标射击，直到第一次击中目标为止。求：他射击次数不超过5次就能把目标击中的概率？

?1?31．设随机变量X的概率分布为P{X?i}?C???,(i?1,2,3,??)

?3?试求：（1）常数C;（2）P{?X?4}。

32．已知随机变量X的分布律为P{X?k}?i1212k?1,(k?0,1,2,??)

?X)的分布律？ 试求：Y?cos(

33．设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应

进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为0.999？

34．设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，问当k为何值时能使P{X?k}最大？

35．同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出现六点为止，试求：投掷次数X的分布？

36．一台仪器在10000个工作小时内平均发生10次故障，试求：在100个工作小时内故障不多于两次的概率？

37．设随机变量X的概率密度函数为

?A?pX(x)??1?x2?0?试求：（1）系数A；（2）X落在(?

x?1x?1

11（3）X的分布函数。 ,)的概率；

2238．设随机变量X的分布函数为

??0??F(x)??Asinx??1??试求：常数A及P{X?

x?00?x?x??2

?2?6}。

39．设随机变量X服从正态分布N(160,?)，为使P{120?X?200}?0.80，问允许?的最大值是多少？

40．设测量两地间的距离时带有随机误差X，其概率密度函数为

2p(x)?1402?e?(x?2)23200,(???x???)

试求：（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）接连测量三次，每次测量相互独立进行，求至少有一次误差不超过30的概率。

41．设随机变量X分别服从[???,]与[0,?]区间上的均匀分布，试求：Y?sinX的

22概率密度函数。

42．已知随机变量X只取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是：

1352,,,，试求：常数C 2C4C8C16C

43．设连续型随机变量X的分布函数为

0??xF(x)??A?Barcsina?1?试求：（1）常数A,B；（2）随机变量X落在??

x??a?a?x?a,(a?0) x?a?aa?,?内的概率；（3）X的概率密度函数。 22??44．将三封信逐封随机地投入编号分别为1，2，3，4的四个空邮筒，设随机变量X表

示“不空邮筒中的最小号码”（例如，“X?3”表示第1，2号邮筒中未投入信，而第3号邮筒中至少投入了一封信），试求：（1）随机变量X的分布律；（2）X的分布函数F(x)。

45．设随机变量X的概率密度函数为 pX(x)?试证明：随机变量Y?

46．轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方铁路。如果炸弹落在铁路两旁40米内，就可以使铁路交通遭到破坏，已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离X的概率密度为

2,0?x???

?(1?x2)1与X服从同一分布。 X?100?x?10000??100?x p(x)???10000?0???100?x?00?x?100 x?100如果三颗炸弹全部投下去，问敌方铁路被破坏的概率是多少？

47．设随机变量X服从标准正态分布，Y?1?2X，试求：Y的概率密度函数。

第三章 多维随机变量及其分布

1．袋中装有四个球，分别编号为1，2，2，3，现不放回地任取两次，每次抽取一个球，以X,Y分别记第一次和第二次所取球的编号，求(X,Y)的分布律？

2．设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为

?kxy0?x?2,0?y?1 f(x,y)??0其它?求：（1）常数k的值；（2）P{X?Y?2}

3．将一硬币连掷三次，以X表示三次中出现正面的次数，Y表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求二维随机变量(X,Y)的分布律？

4．已知二维随机变量的联合概率密度为

?Ae?(2x?3y)f(x,y)??0?x?0,y?0

其它试求：（1）常数A的值；（2）P{0?X?1,0?Y?2}；（3）(X,Y)的分布函数？

5．设(X,Y)在矩形区域0?x?1,0?y?2内服从均匀分布。求(X,Y)的概率密度与分布函数？

6．设(X,Y)的概率密度为

?cx2yf(x,y)???0求：（1）常数c；（2）P{X?Y}

x2?y?1

其它7．设(X,Y)在由x轴、y轴及直线2x?y?2所围成的三角形区域上服从均匀分布。求(X,Y)关于X及关于Y的边缘概率密度？

8．设(X,Y)的概率密度为

?Ax0?x?1,0?y?x f(x,y)??0其它?求：（1）常数A；（2）关于X及关于Y的边缘概率密度？

9．设(X,Y)的联合分布律如表所示： 0 X 0 0．56 1 0．14 判断X与Y是否相互独立？

Y 1 0．24 0．06 10．一电子器件包含两个部分，分别以X，（单位：小时），设(X,Y)Y记这两部分的寿命的分布函数为

?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,y)??0?x?0,y?0

其它问：（1）X与Y是否相互独立？（2）求P{X?120,Y?120}

11．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?6xy0?x?1,0?y?2(1?x) f(x,y)??其它?0问：（1）X与Y是否相互独立？（2）求P{X?Y?1}

12．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,0.2)上服从均匀分布，Y的概率

?5e?5y密度为fY(y)???0

y?0，求：（1）(X,Y)的联合概率密度；（2）P{Y?X} y?013．设(X,Y)在三角形区域D:x?0,y?0,x?y?1上服从均匀分布。 求Z?X?Y的概率密度？

14．对某种电子装置的输出测量5次，设观察值Xi(i?1,2,3,4,5)是相互独立且服从同

?x?x8?一分布，其概率密度为fXi(x)??e4??02x?0,(i?1,2,3,4,5) x?0求：P{max[X1,X2,X3,X4,X5]?4}

15．设X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X?k}?p(k),k?0,1,2,?.P{Y?j}?q(j),j?0,1,2,?.

证明随机变量Z?X?Y的分布律为P{Z?i}?

16．在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接。设R1和R2相互独立，它们的概率密

?p(l)q(i?j),(i?0,1,?.)

l?0i?10?x?度分别为fR1(x)??50??0?10?y?0?x?10,fR2(y)??50?其它?00?y?10其它

求总电阻R?R1?R2的概率密度？

17．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)???10?x?1,0?y?2(1?x)

其它?0求Z?X?Y的概率密度？

18．设随机变量X,Y相互独立，X在（0，1）上服从均匀分布，Y在（0，2）上服从均匀分布。求Z1?max(X,Y)和Z2?min(X,Y)的概率密度？

19．将三个球随机地放入三个盒子内，每个球可放入任一盒子中，记X,Y分别为放入第一个、第二个盒子中球的个数，求二维随机变量(X,Y)的分布律？

20．设随机变量(X,Y)的概率密度为

?2xy?x?f(x,y)??3??00?x?1,0?y?2其它

求：（1）P{X?Y?1}；（2）(X,Y)的分布函数；（3）(X,Y)关于X及关于Y的边缘概率密度；（4）判断X与Y是否相互独立？

21．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)???1|y|?x,0?x?1

其它?0求：(X,Y)关于X及关于Y的边缘概率密度？

22．设X，Y是相互独立的随机变量，分别服从参数为?1,?2的泊松分布， 证明：Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布。

23．设G表示平面上的区域，它是由抛物线y?x和直线y?x所夹的区域。(X,Y) 服从G上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率密度，并问X与Y是否相互独立？

24．离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下表所示，试求边缘分布，并问X与Y是否相互独立？ 2X Y 0 1 2 3 4 5 6

0 0.202 0.174 0.113 0.062 0.049 0.023 0.004

1 0 0.099 0.064 0.040 0.031 0.020 0.006 2 0 0 0.031 0.025 0.018 0.013 0.008 3 0 0 0 0.001 0.002 0.004 0.011

25．设随机变量(X,Y)为连续型的，其联合概率密度为

?kx(x?y)0?x?2,?x?y?x f(x,y)??

0其他?试求：（1）常数k；（2）边缘密度函数；（3）问X与Y是否相互独立？

26．设X与Y是两个相互独立的随机变量，X服从[0，2]上均匀分布，Y服从参数为2的指数分布，试求P{Y?X}

27．设X与Y是两个相互独立的随机变量，X服从[0，1]上均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求Z?X?Y的概率密度函数。

28．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)?A

?2(16?x2)(25?y2)试求：（1）常数A；（2）(X,Y)的联合分布函数。

29．设随机变量X与Y是相互独立，都服从标准正态分布N(0,1)，试求P{Y?3X}

30．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?Cx2y3 f(x,y)???00?x?1,0?y?1

其他试求：（1）常数C；（2）证明X与Y相互独立。

31．箱子里装有a件正品和b件次品，依次从箱子中任取一件，取两次，每次取后不放回。随机变量X与Y如下定义：

品?1如果第一次取出的是次X??

0如果第一次取出的是正品?品?1如果第二次取出的是次Y??

品?0如果第二次取出的是正

试写出随机变量(X,Y)的联合分布律，边缘分布律，并问X与Y是否相互独立？

32．随机地掷两颗骰子，设X表示第一颗骰子出现的点数，Y表示这两颗骰子出现点数的最大值。试写出二维随机变量(X,Y)的联合分布，Y的边缘分布？

33．袋中有N个球，其中a个红球，b个白球，c个黑球(a?b?c?N)。每次从袋中任取一球，共取n次。设X,Y分别表示取出的n个球中红球与白球的个数，试求下列两种情况下(X,Y)的联合分布：

（1） 每次取出的球仍放回去（有放回抽样）； （2） 每次取出的球不放回去（无放回抽样）。

34．已知随机变量(X,Y)的联合分布律为

e?14?(7.14)n?(6.86)m?nP{X?m,Y?n}?,(m?0,1,2,?),(n?0,1,?,m)

n!(m?n)!试求边缘分布。

35．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，求Z?数？

36．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，求Z?XY的概率密度函数？

37．设随机变量X与Y相互独立，并且概率密度函数分别为

X的概率密度函Y1?a1?afX(x)?e,fY(y)?e,(a?0)

2a2a试求Z?X?Y的概率密度函数？

38．随机变量X1与X2相互独立，且X1~N(?1,?1),X2~N(?2,?2)， 试证明：Z?X1?X2~N(?1??2,?1??2)

39．设随机变量X与Y相互独立，都服从[0，1]上的均匀分布，求Z?X?Y的分布？

2222xy

40．设随机变量X与Y相互独立，都服从[?a,a]上的均匀分布，求Z?XY的概率密度函数？

41．设随机变量X与Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，求Z?X的概率密度Y函数？

42．若随机变量X只取一个值，试证明：X与任何随机变量Y都相互独立。

第四章 数字特征、大数定律和中心极限定理

??2Acosx|x|??2 1．设随机变量的概率密度为f(x)????0|x|?2?求：（1）常数A；（2）D(X)

0?x?1?x?2．设随机变量X的概率密度为f(x)??2?x1?x?2?0其它?求D(X)及?(X)

3．设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

??e?y?2x0?x?1fX(x)??,fY(y)??其它??0?0求：D(X?Y)

y?0 其它4．已知随机变量X的数学期望与方差分别为E(X)和D(X),(D(X)?0)，令

Y?X?E(X)D(X)，求E(Y),D(Y)

5．已知E(X)?1,E(X)?3,E(Y)?0,E(Y)?2,E(XY)?1，求D(X?Y)

6．证明：D(X)?0的充要条件是P{X?C}?1,C为常数。

7．设(X,Y)在圆域x?y?1内服从均匀分布，求cov(X,Y)，并判断X,Y是否相互独立？

8．设二维随机变量(X,Y)的分布律为 -1 0 1 2222X -1 0 1 Y 1 81 81 81 8 0 1 81 81 81 8验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的

9．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?1|y|?x,0?x?1 f(x,y)??其它?0求cov(X,Y)，并判断X,Y是否相互独立？

10．设二维随机变量(X,Y)在平面区域G:x?0,y?0,x?y??1上服从均匀分布，求cov(X,Y),?XY

11．设Xi(i?1,2,?,10)相互独立，且在（0，1）上服从均匀分布，试利用中心极限

定理计算P{?Xi?110i?6}的近似值？

（注：?(1)?0.8413,?(1.1)?0.8630,?(1.3)?0.9032,?(1.5)?0.9332）

12．把三个球随机地放入三个盒子中去，每个球可投入任一盒子中，记X为空盒子的个数，求E(X),D(X)

13．设随机变量X的分布律为P{X?k}?pqk?1,(k?1,2,?)，其中

0?p?1,q?1?p是常数，则称X服从参数为p的几何分布，求E(X),D(X)

14．一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布：（1）随机地取一页，求这一页上错误不少于2个的概率？（2）随机地取4页，求这4页上错误不少于5个的概率？（3）随机地取8页，求这8页上错误不少于5个的概率？

15．共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开上的锁。用它们去试开门上的锁，设抽取钥匙是相互独立且等可能的，若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望：（1）写出X的分布律；（2）不写出X的分布律。

16．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?6xy0?x?1,0?y?2(1?x) f(x,y)??其它?0求：E(X),D(Y),E(XY)

17．设二维随机变量(X,Y)的分布律为

Y 0 0 1 2 3 0 X 1 3 求cov(X,Y),?XY

3 8 0 3 8 0 1 81 8?1?(x?y)0?x?2,0?y?218．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??8

?0其它?求?XY

19．对于随机变量X,Y,Z，已知E(X)?E(Y)?1,E(Z)??1,

D(X)?D(Y)?D(Z)?1,?XY?0,?XZ?求：E(X?Y?Z),D(X?Y?Z)

11,?YZ??， 2220．某校报名选修心理学课的学生人数是服从均值为100的泊松分布的随机变量。教

务部门决定，如报名人数不少于120人，就分成两个班讲授；如果少于120人，就集中在一个班讲授。试问此课程将分两个班讲授的概率是多少？

（注：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,?(2.5)?0.9938,?(3)?0.9987）

21．对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[a,b]内，求圆面积的数学期望？

???cosx0?x?222．设随机变量X的概率密度为fX(x)??2，试求随机变量Y?X?其它?0的方差？

23.一批零件中有9个合格品3个次品，在安装机器时从这批零件中任取一个。如果每次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已经取出的次品个数的期望及方差？

24.由统计物理学知道，气体分子运动的速率X服从麦克斯威尔分布，其概率密度函数

?4x2?x2?ea为f(x)??3a??0?2x?0 x?0这里，a,(a?0)是参数。试求分子运动速率X的期望及方差？

25.自动生产线在调整之后出现次品的概率为p，生产中若出现次品时立即进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差？

26.已知连续型随机变量X的概率密度函数为

37．由概率密度函数的性质知，A?0??11F(x)???arcsinx?2?1?x?1,P{?0.5?X?0.5}? ?3x??11?1?x?1 x?138．由分布函数的右连续性，有lim?F(x)?1?Asin?2?2?A

?1P{X?}?

6239．由于X~N(160,?)?P{120?X?200}?2?(查表得：

240?)?1?0.8

40??1.28,??31.25

240．由题意知，X~N(2,40),P{X?30}??(0.7)??(0.8)?1

?0.75804?0.78814?1?0.54618

设Y=“测量三次误差绝对值不超过30的次数”，Y~B(3,0.54618)

P{Y?1}?1?P{Y?0}?0.9065345

1??41．(1)f(y)???1?y2?0?42．C?2 43．(1)A??1?y?12?? (2)f(y)???1?y2?y?10?0?y?1其它

11aa1,B?,(2)P{??X?}?， 2?223?a?x?ax?a2 3 4

1??(3)f(x)???a2?x2?0?44． X p 1 37 6419 647 641 64x?1?0?37?641?x?2??562?x?3 F(x)??64??633?x?4?64?x?4?145．证明略

46．P{X?40}?0.64，设Ai(i?1,2,3)=“第i颗炸弹落在铁路两旁40米内”

，则有P(Ai)?0.64,i?1,2,3,A?A1?A2?A3 A?“铁路被破坏”

P(A)?0.953

?12?(1?y)47．p)???e8Y(y?2??0y?1 y?1

第三章

1．记xi?i(i?1,2,3),yj?j(j?1,2,3)?p11?P{X?x1,Y?y1}?0

p12?P{X?x1,Y?y2}?P{X?1}P{Y?2|X?1}?率，列表如下： X Y 121??，类似地可得其它的概436x1?1 0 x2?2 x3?3y1?1 y2?2 y3?3 1 61 1211 61211 661 0 62．利用联合概率密度的性质可得k=1，P{X?Y?2}

?x?y?2??f(x,y)dxdy??dy?0122?yxydx?13 243．二维随机变量(X,Y)的分布律为

X 0 0 1 2 3 Y 1 3 3 8 0

3 8 0 0 1 81 84．(1)A?6,(2)P{0?X?1,0?Y?2}?(1?e)(1?e)

?2?6?(1?e?2x)(1?e?3y)x?0,y?0(3)F(x,y)??

0其它??1?5．f(x,y)??2??00?x?1,0?y?2其它

x?0或y?0?0?1?xy0?x?1,0?y?2?2F(x,y)??x0?x?1,y?2

?1x?0,0?y?2?y?21x?1,y?2?6．c?213 ,P{X?Y}?4207．fX(x)???2(1?x)0?x?1?1?y/20?y?2 ,fY(y)??其它其它?0?0?30?x?1?(1?y2)0?y?1,fY(y)??2 其它?0其它??3x28．A?3,fX(x)???09．X与Y是相互独立

10．（1）X与Y是相互独立的；（2）求P{X?120,Y?120}?0.091 11．（1）X与Y不是相互独立的；（2）P{X?Y?1}?1 4?25e?5y12．f(x,y)???00?x?0.2,y?0,P{Y?X}?0.3679

其它13．利用分布函数求概率密度fZ(z)??x???814．FXi(x)??1?e??02?2z0?z?1

0其它?x?0，所以P{max[X1,X2,X3,X4,X5]?4}

x?0?1?(1?e?2)5?0.517

15．证明：（略）

?1?13?20?z?10?z?10z?100z??2500?6??1??1?400016．fR(z)???200z?10z2?z3?10?z?20?6??2500?30其它???

0?z?1?z?17．fZ(z)??2?z1?z?2?0其它?

?z0?z?1?11?z?218．fZ1(z)??2?其它?019． 0 1 2 3

?3??z0?z?1,fZ2(z)??2

?其它?0 1 2 3 XY 0 1 271 91 91 271 92 91 9 0 1 91 9 0 0 1 27 0 0 0 20．（1）P{X?Y?1}?0.9028；

122?13xy?xy?312?21?x3?x2?33（2）F(x,y)??121y?y?3?121??0?0?x?1,0?y?20?x?1,y?2

x?1,0?y?2x?0,y?2其它1?28?2?2x?x0?x?1?y?0?y?2,fY(y)??3（3）fX(x)?? 33??0其它其它??0（4）X与Y不相互独立

?1?y0?y?1?2?x0?x?1?,fY(y)??1?y?1?y?021．fX(x)??其它?0?0其它?22．证明：

kk

P{Z?k}?P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i}??P{X?i}P{y?k?i}

i?0i?0

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