2016全国1(乙卷)高考数学(理)答案下载_2016高考答案精编版

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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合2

{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2

（2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2

（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a

（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97

（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34 （5）已知方程x 2m 2+n y 2

m 2?n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是

（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直

的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是

（A ）17 π（B ）18 π（C ）20 π（D ）28 π

（7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为

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2 （A ）（B ）

（C ）

（D ）

（8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <

（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足

（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =

（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、

E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ?平面

ABCD =m ，a ?平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32(B )22 (C)33

(D)13 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππω?ω?=>≤=-，

为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，

且()f x 在 π18，5π36 单调，则ω的最大值为

（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

（13）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =. (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）

名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！ 3 （15）设等比数列 a n 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。

（16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分为12分）

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =

（I ）求C ；

（II ）若c 7,△ABC 的面积为

332

，求△ABC 的周长． （18）（本题满分为12分）

如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠= ，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60 ．

（I ）证明：平面ABEF ⊥古平面EFDC ；

（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.

机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I ）求X 的分布列；

（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；

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4 （III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？

20. （本小题满分12分）

设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .

（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数f x = x ?2 e x +a (x ?1)2有两个零点.

（I ）求a 的取值范围；

（II ）设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1+x 2<2.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB =120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （I ）证明：直线AB 与⊙O 相切；

（II ）点C ,D 在⊙O 上，且A ,B ,C ,D 四点共圆，证明：AB ∥CD .

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系x Ｏy 中，曲线C 1的参数方程为 x =a cos t ，y =1+a sin t ，

（t 为参数，a ＞0）。在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=cos θ.

（I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

（II ）直线C 3的极坐标方程为，其中a 0满足tan a 0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )= ∣x +1∣-

∣2x -3∣.

（I ）在答题卡第（24）题图中画出y = f (x )的图像；

（II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集.

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答案

一、选择题

1.D

2. B

3. C

4. B

5. A

6. A

7. D

8. C

9. C 10. B

11. A 12. B

二、填空

13. ?2 14. 10 15. 64 16. 216000

17.解（Ⅰ）∵2cos C （a cos B +b cos A ）=C

∴2cos C （sin A cos B+sin B cos A ）=sin C

∴2cos C sin(A+B)=sin C

∴2cos C sin C =sin C

∴0

∴cos C =12

∴C =π3

(Ⅱ)∵△ABC 面积为3 32且C = 7

∴ 12ab sin π3=3 32

a 2+

b 2?2ab cos π3=7即 ab =6a 2+b 2=13

∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab =13+12=25

∵a +b =5

∴a +b +c =5+ 7

∴△ABC 周长为5+ 7.

18.

(I)证明:

∵平面ABEF 为正方形

∴AF ⊥PE

又∵∠AFD=90°即AF ⊥FD

而FE ，FD ?平面FECD 且FE ∩FD =F

∴AF ⊥平面EFDC

又AF ?平面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

(II) ∵二面角D -AF -E 的平面角为60°

∴∠DFE =60°

在平在面EFDC 内作DO ⊥EF 于点O ，则DO ⊥平面ABEF .

令AF=4,则DF =2.在△ODF 中，OF =1,OD = 3

在平面ABEF 内作OA //AF 交AB 于M ，则OM ⊥EF

以O 为原点，OM ,OE ,OD 分别为x ,y ,z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则E （0，3，0）,B (4,3,0),C (0,4, 3),D (4,-1,0)

直角坐标系，则E （0，3，0），B （4，3，0），C (0，4， 3)，D （4，-1，0）

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名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！ 6 设平面EBC 法向量为m （x 1,y 1,1）则 m ·EB =0m ·EC =0而 EB =(4,0,0)EC =(0,1, 3)

∴ 4x 1=0

y 1+ 3

=0∴m = 0,? 3,1 (II)

设平面BCA 法向量为n =(x 2,y 2,1) 则 n ·BC =0

n ·BA =0而 BC =(0,1, 3)

BA =(0,?4,0)

∴ x 2+ 3=0

?4y 2=0∴n =(- 3,0,1) ∴ cosm ·n |m |·|n |=1

4· 4=1

4·

∴二面角E -BC -A 的余弦值为1

4·

19.(I)x 的取值为16,17,18,19,20,21,22 P (x =16)=(20100)2

=125

P (x =17)=20

100×40

100×2=425

P (x =18)=(40

100)2+2(20

100)2=625

P (x =19)=2×40100×20

100 +2(20100)2

=625

P (x =20)=(20100)2

+2×40100×20100=5

25

P (x =21)= 2× 20100 2=225

P (x =22)= (20100)2=1

25

x 的分布列：

(II) p (x ≤18)=11

25

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名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！ 7 p (x ≤19)=2125∴p (x ≤n )≥0.5的最小值为19

(III)由(I)分布列：p (x ≤19)=1725

买19个所需费用期望EX 1=200×19×1725+(200×19+500)×525

+(200×19+500×2)×225

买20个所需费用期望EX2=200×20×2225+(200×20+500)×225

+(200×20+2×500)×125=4080

∴EX 1

（1） 由已知及圆平行线的性质可知 1分ED =EB

1分∴EA +EB =EA +ED =4（圆的半径） 1分∴E 点轨迹为椭圆（去掉左右端点） 1分∴方程为x 24+y

23=1(y ≠0)

（II ） y =k (x ?1)x 24+x 23=1

x 24+?2(x 2+1?2x )3=1

x 1+y 2=23?2

14+?23;x 1·y 1=k 23?1

14+k 23

;

1分|MN |= 1+k 2 (x 1?x 2 )2= 1+k 2=k 2 14+?23 2

由于面积=12|QP |·|MN |1分

而|QP |>2 16+OH 2(OH ⊥QP 于H ) 1分

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名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！ 8 = 16?11+?22= 15+11?2

1+?22

∴S =面积= 15+16?21+?2·1+?2?23+14= 15+16?2 1+k 2

?23+14

(1分)

i+k 2=t

S=12 t?1 t

t 3?23

(t ≥1)

令1+h 2=t

则S =112 6t?1 t

4t?1=112 4t ?1 +7t?1

4t?1 2分

=112 4t ?1 +74+344t?1≥112 74+ 3

=112（1+ 32） (1分)

21．（I ）

因为x =1不是f (x )的零点，所以

令（x -2）e x +a (x -1)2=0 1分

∴a =-(x?2)e x

(x?1)2 1分

当g (x )=-(x?2)e x

(x?1)2

∴g (x )=-e x x?1 e x ?2(x?1)(x?2)e x

(x?1)4

=-e x x?1 (x 2?2x +1?2x +4)

(x?1)4

=-e x x?1 (x 2?4x +5)

(x?1)4 2分

当x >1时，g ′（x ）<0 g (x )单调递减 3分

当x <1时，g ′（x ）>0 g (x )单调递增 3分

又x <0时，g （x ）>0

∴x <1时，g （x ）∈(0,+∞) 5分

又x >1时，g （x ）=0

g （x ）∈(-∞,+∞) 4分

又当a >1时，g （x ）=a

有两个不同恒

(II)

因为f ′（x ）=(x -1)(e x +2a)

所以当x ∈(1,+∞)时，f (x )是增阶数；当x>1时，f ′(x )>0 6分

不妨设x 1

令：g (x )=f (x )-f (2-x ), (x <1).

g (x )=(x-2)e x +a (x -1)2-(2-x -2)e 2-x -a (2-x -1)2

=(x -2)e x +e 2·x e x = x?2 e 2x +e 2x

e x

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名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的高考！ 9 g ′(x )=（x?1）(e 2x +e 2)e x =（x?1）(e 2x +e 2)

e x 10分

因为x <1 所以g ′(x )>0.

因为g (1)=f (1)-f (1)=0

所以g (x )

即f (x )

因为x 1<1,

所以f (x 1)

即原命题成立

22.（Ⅰ）作OH ⊥AB

∵等腰△AOB 中，∠AOB =120°

∵∠OAH =30°

∴OH=12OA ,而半径为12OA

∴AB 与?O 相切

(Ⅱ)由（Ⅰ）可知：OH ⊥AB,反向延长HO 交CD 于E 又A,B,C,D 四点共圆，CD 在?O 上

∴AD=BC

∴HO ⊥CD 即OE ⊥CD

∴AB//CD

23.（Ⅰ）由 x =a cos t y =1+a sin t 得 x a =cos t

y?1a =sin t

x 2a 2+(y?1)2a 2=1即x 2

+(y -1)2=a 2

∴C 1表示圆心为（0，1）半径为a 的圆 ∴p 2cos θ2+(p sin θ?1)2=a 2

∴p 2-2p sin θ+1?a 2=0

(Ⅱ)由题意： （x ?2）2+y 2=4

y =2x a =1x 2+(y ?1)2=a 2

24.(1)f (x )= x +1 ?|2x ?3|

∴f (x ) x ?4 (x ≤?1)

3x ?2 (?1

图略.

(2)由|f (x ) |>|

x ≤?1x ?4>1或 3x ?2>1?132或 ?x +4>1x ≥32

解得1

解集为(1,3)

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