电磁场与电磁波(第四版)课后答案谢处方
更新时间:2023-11-14 23:58:01 阅读量: 教育文库 文档下载
第一章习题解答
1.1 给定三个矢量A、B和C如下: A?ex?ey2?ez3
B??ey4?ez
C?ex5?ez2
求:(1)a;(2)A?B;(3)AB;(4)?;(5)A在B上的分量;(6)A?C;
AAB(7)A(B?C)和(A?B)C;(8)(A?B)?C和A?(B?C)。
解 (1)aAA?ex?ey2?ez3A?12?22?(?3)2?e123x14?ey14?ez14 (2)A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 (3)AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?-11 (
4
)
由
c?oAB?sABAB??111?4?17??o?s111AB?c(?238)?135. 5(5)A在B上的分量 AB?Aco?sBAB?AB??1117 exeyez(6)A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez(7)由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4
0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42
exeyez(8)(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5
50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11
8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 (1)判断?PP12P3是否为一直角三角形; (2)求三角形的面积。
,
1得2 1
38解 (1)三个顶点P、P和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)2(4,1,?3)3(6,2,5) r1?ey?ez2,r2?ex4?ey?ez3,r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez, R23?r3, ?r?2ex2?ey?ez8R31?r1?r3??ex6?ey?ez7
由此可见
R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0
故?PP为一直角三角形。 12P3 (2)三角形的面积 S?1R?R?1R12231?17?69?17. 1323222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。
解 rP???ex3?ey?ez4,rP?ex2?ey2?ez3,
12?R则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为
exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47
RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73
RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6,求它们之间的夹角和
?x?cos?1(A在B上的分量。
解 A与B之间的夹角为
?AB?cos?1(AB?31)?cos?1()?131 AB29?77B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez,求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。
A在B上的分量为 AB?Aexeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10
?6?41所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明:如果AB?AC和A?B?A?C,则B?C;
解 由A?B?A?C,则有A?(A?B)?A?(A?C),即
(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C
由于AB?AC,于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量,p?AX而P?A?X,p和P已知,试求X。
解 由P?A?X,有
A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X
pA?A?P
故得 X?标;(2)球坐标中的坐标。
解 (1)在直角坐标系中 x?4cos?(2故该点的直角坐标为(?2,23,3)。
2(2)在球坐标系中
AA2?1.8 在圆柱坐标中,一点的位置由(4,(1)直角坐标中的坐,3)定出,求该点在:3?3)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3
?1r?4?32?5、??tan(43)?53.1、??2?3?120
故该点的球坐标为(5,53.1,120)
25, r2(1)求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex;
1.9 用球坐标表示的场E?er(2)求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 (1)在直角坐标中点(?3,4,?5)处,r2?(?3)2?42?(?5)2?50,故
E?er251
?2r21?332
Ex?exE?Ecos?rx????25220(2)在直角坐标中点(?3,4,?5)处,r??ex3?ey4?ez5,所以
2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为
?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和
R2间夹角的余弦为
cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)
解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2
得到 cos??R1R2?
R1R2 sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?
sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
1.11 一球面S的半径为5,球心在原点上,计算: 解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS?(e3sin?)dS的值。
rS2??2?d??3sin??500sin?d??75?2
1.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域,对矢量A?er2?e2z验证散
rz度定理。
解 在圆柱坐标系中 ?A?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又
?Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200? ??002(er?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)? r?S?SAdS?42?52?2 故有
??500?5d?dz???2?4rdrd??1200?
00?Ad??1200???AdS ??S1.13 求(1)矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度;(2)求?A对中心在原
点的一个单位立方体的积分;(3)求A对此立方体表面的积分,验证散度定理。
222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 (1)?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z(2)?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为
12121212222 ?Ad??(2x?2xy?72xyz)dxdydz?????24??12?12?12 (3)A对此立方体表面的积分
?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?
22?12?12?12?121212121221212121212122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?121313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?????2224?12?12?12?122212121212故有
1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分,并求?r对球体积
的积分。
2????Ad??1?24?AdS
S?2解
?rdS??reSSrdS??d??aa00sin?d??4?a3
又在球坐标系中,?r?1?2(rr)?3,所以 2r?r2??a2?rd?????3r??000sin?drd?d??4?a3
1.15 求矢量A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分,
验证斯托克斯定理。
22222解
C?Adl??xdx??xdx??2000dy??0dy?8
0ex?又 ??A??xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ??AdS?S???(e2yz?e2x)exz00Szdxdy?8
故有
C?Adl?8????AdS
2?1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分,再计算??A对此圆面积的积分。
解
C?Adl?C?xdx?xy2dy??a4
?(?acos?sin??acos?sin?)d??242204?Ax??AdS?e(?)ezdS?z???x?ySS?Ay?a4
?ydS???rsin?rd?dr?222S00a2?41.17 证明:(1)(2)(3)其中R?exx?eyy?ezz,?(AR)?A。?R?3;??R?0;A为一常矢量。
解 (1)?R??x?y?z???3 ?x?y?zex(2) ??R?eyez????0
?x?y?zxyy(3)设A?exAx?eyAy?ezAz,则AR?Axx?Ayy?Azz,故
??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示,如果?F?0,那么函数f(r)会有什么特点
?(AR)?ex解 在圆柱坐标系中,由 ?F?可得到
呢?
1d[rf(r)]?0 rdrf(r)?Cr
C为任意常数。
在球坐标系中,由 ?F?1d2[rf(r)]?0 2rdrC
可得到 f(r)?2r1.19 给定矢量函数E?exy?eyx,试求从点P到点P的线积分1(2,1,?1)2(8,2,?1)(1)沿抛物线x?y2;(2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗? ?Edl:
解 (1)?Edl??Edx?Edy??ydx?xdy?
xyCCC
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