2011年中考数学试题分类学科结合与高中衔接问题

学科结合与高中衔接问题

一、选择题

1. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交

AC、AB

于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30°，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？

A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 75 【答案】Ｃ

2. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ）

A．

【答案】C

3. （2011河北，11，3分）如图4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（ ）

B．

C．

D．

xy图4x

yyyy OxOx

Oxo x

A． 【答案】A

B． C． D．

3. （2011重庆市潼南,10,4分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的 直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长 度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分 别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是

ss4343ylABMONC10题图xs43s 4 233232323 O

24tO24tO24tO24tABCD【答案】C

4. （2011台湾台北，23）如图(八)，三边均不等长的?ABC，若在此三角形内找一点O，

使得?OAB、?OBC、?OCA的面积均相等。判断下列作法何者正确？

A． 作中线AD，再取AD的中点O

B． 分别作中线AD、BE，再取此两中线的交点O C． 分别作AB、BC的中垂线，再取此两中垂线的交点O D． 分别作?A、?B的角平分线，再取此两角平分线的交点O 【答案】B 二、填空题 三、解答题

1. (2011重庆綦江，26，12分)在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，－2），

将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC． ⑴ 求点C的坐标； ⑵ 若抛物线y??12x?ax?2经过点C．

2 ①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角

形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】：解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D， 在△ACD和△BAO中，由已知有∠CAD＋∠BAO＝90°, 而∠ABO＋∠BAO＝90°∴∠CAD＝∠ABO， 又∵∠CAD＝∠AOB＝90°,且由已知有CA＝AB， ∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1,AD＝BO＝2， ∴点C的坐标为(3,－1)

(2)①∵抛物线y??∴?1??12212x?ax?2经过点C(3,－1)，

12122?3?3a?2,解得a?12x?2 x?2

∴抛物线的解析式为y??解法一：② i) 当A为直角顶点时 ，延长CA至点P1,使AP1?AC?AB, 则△ABP1是以AB为直角边的等腰直角三角形,

如果点P1在抛物线上,则P1满足条件,过点P1作P1E⊥x轴, ∵AP1＝AC,∠EAP1＝∠DAC，∠P1EA＝∠CDA＝90°, ∴△EP1A≌△DCA，∴AE＝AD＝2, EP1＝CD＝1,

∴可求得P1的坐标为(－1,1)，经检验P1点在抛物线上,因此存在点P1满足条件； ii） 当B点为直角顶点时，

过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取BP2?BP3?AB，得到以AB为直角边的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，作P2F⊥y轴，同理可证△BP2F≌△ABO

∴P2F?BO?2, BF＝OA＝1，可得点P2的坐标为（－2，－1），经检验P2点在抛物线上,因此存在点P2满足条件．同理可得点P3的坐标为（2，－3），经检验P3点不在抛物线上．

综上：抛物线上存在点P1(－1,1)，P2（－2，－1）两点，使得△ABP1和△ABP2

是以AB为直角边的等腰直角三角形．

解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以给满分） i) 当点A为直角顶点时,易求出直线AC的解析式为y??12x?12

11?y??x??22?由?解之可得P1(－1,1) （已知点C除外）作P1E⊥x轴于E,则?121?y??x?x?222?AE＝2, P1E＝1, 由勾股定理有又∵AB＝5,∴AP1?AB，∴△P1AB是以AB为直角边的等腰三角形；

ii）当B点为直角顶点时，过B作直线L∥AC交抛物线于点P2和点P3，易求出直线L的解

1?y??x?2?21?析式为y??x?2，由?解得x1??2或x2?4

2?121y??x?x?2?22?∴P2(－2,－1)，P3（4，－4）作P2F⊥y轴于F，同理可求得BP2?5?AB

∴△P2AB是以AB为直角边的等腰三角形作P3H⊥y轴于H，可求得BP3?2?422 ?25?AB，∴Rt△ABP3不是等腰直角三角形，∴点P3不满足条件．

综上：抛物线上存在点P1(－1,1)，P2（－2，－1）两点，使得△ABP1和△ABP2 是以角AB为直边的等腰直角三角形．

2. （2011广东省，22，9分）如图，抛物线y??54x?2174x?1与y轴交于点A，过点A的

直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，

【答案】解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC＝n ∵正方形CDEF面积为1∴CD＝CF＝1 根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n ∴BC＝2PC＝2n

而PB＝PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2 又PE2=PF2+EF2=(n+1)2+1 ∴5n2=(n+1)2+1 解得n1=1，n2??∴BC＝OC＝2 ∴B点坐标为（2，2）

（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0） ∵A，C在抛物线上

3?2?c?b????∴?，解之得：2 ?12?o??2?2b?c?c?24??12 (舍去)

∴抛物线的解析式为y?14x?232x?2

∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线 ∵C与G关于直线x=3对称，∴CF＝FG＝1 ∴MF＝

12FG＝

12

在Rt△PEF与Rt△EMF中 PFEF?21，

EFFM?112?21

∴

PFEF?EFFM，而∠PFE＝∠FEM＝90°

∴△PEF∽△EMF ∴∠EPF＝∠FEM

∴∠PEM＝∠PEF+∠FEM＝∠PEF+∠EPF＝90° ∴ME与⊙P相切

（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ

则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为（AC+A′C）的长 ∵A与A′关于直线x=3对称 ∴A（0，2），A′（6，2） ∴A′C＝(6?2)?2而AC=2?22222?25，

?22

∴△ACQ周长的最小值为25?22 ②当Q点在F点上方时，S＝t+1 当Q点在线段FN上时，S＝1-t 当Q点在N点下方时，S＝t-1.

图乙

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