杭州二中2015学年高二年级第一学期期中考试数学试卷word含答案

杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷

时间：100分钟

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 不等式?x2?2x?3?0的解集是

A.(?3,1) B. (?1,3) C. (??,?1)?(3,??) D. (??,?3)?(1,??) 2.已知a,b?0，且a?3b?1，则ab的取值范围是

A.[11133,??) B. (0,] C. (,] D. (0,]

122412663. 设m为一条直线,?,?为两个不同的平面,则下列说法正确的是

A．若m//?,?//?,则m//? B．若???，m??,则m?? C．若m//?,???,则m?? D．若m??,?//?,则m?? 4. 在等差数列{an}中，已知a1?20，前n项和为Sn，且S10A．110

B．120

?S15，则Sn的最大值是

5. 若关于x的不等式x2?ax?2?0在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为 A．(???C．130 D．140

23,??) 5B．[?23,1] 5C．(1,+∞) D．(??,?1)

6.已知各棱长均为1的四面体ABCD中， E是AD的中点，P∈直线CE，则|BP|＋|DP|的最小值为

A.1＋

6

B.3

1＋

1＋36

C. D.32

?1＋3

2

7.若x?2y?ax?y对x,y?R恒成立，则实数a的最小值是 A.

2 B. 3 C. 5 D. 2

8.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A.

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.

9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积S? .

10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直

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2?1 B. 3?1 C. 5?2 D. 1

角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .

11.在等比数列{an}中，各项均为正值，且a2a14?a2a6?48,a3a9?6,则

a4?a8? .

12.设函数f(x)?log11?x1，则不等式f(log1x)??f()的解集是 . 1?x22213.空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中

点，则EF与AB所成角的大小为 .

14.对一切实数x，二次函数f(x)?ax?bx?c的值均为非负实数，则是 .

15.已知三棱锥A?BCD，DA,DB,DC两两垂直，且?DAB??BAC??CAD?90，则二面角A?BC?D的余弦值的最大值为 .

三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）

如图：已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，?ABC?60，

??2a?b的最小值cAA1?平面AC.

（1）设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证： A1O//平面B1D1C; （2）若四棱柱的体积V?所成角的正弦值.

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3，求C1C与平面B1D1C2B1A1C1D1ABDC17.（本小题满分12分）

（1）求关于x的不等式ax2?x?a?1?0(a?R)的解集. （2）求证：(ac?bd)?(a?b)(c?d)，a,b,c,d?R.

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22222

18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF边长为1，把四边形CDEF沿着FC向上翻折成一个立体图形ABCD1E1F. （1）求证：FC?EED1A； FCF AB

（2）若E101B?2时，求二面角E1?FB?C的正切值.

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E1D1CAB

19.（本小题满足12分）数列?an?满足a1?（1）求证：an?1?an； （2）设m?

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42，an?1?an?an?1(n?N*). 3111，求不超过m的最大整数. ????a1a2a2015

杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案

一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 A 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．

9．

11． 215 12． (,2)

13.

15. 2? 10． 3?

12?5?或 14. -1 12121 3三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）

A1如图：已知四棱锥ABCD?A1B1C1D1的底面是棱形，该棱形的边长为1，?ABC?60，AA1?平面AC.

（1）设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证： A1O//平面B1D1C;

?B1D1C1AB（2）若四棱柱的体积V?3，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值. 2DC（1）证明：连接A1C1,B1D1交于点G，连接GC，因为

B1A1A1G//CO,A1G?CO，于是四边形A1GCO是平行四边形，故A1O//OG，又OG?平面B1D1C，故A1O//平面B1D1C

（2）解：设AA1?h，因为S底?AB?BC?sin?ABC?GD1C13，2BA所以V?Sh?3，所以h?1. 2COD第6页·共9页

因为B1D1?A1C1，B1D1?A1A，所以B1D1?平面A1C

所以平面B1D1C?平面A1C，过C1H?GC，于是C1H?平面B1D1C

CG5所以?C1CG为所求角，且sin?C1CG?1?.

GC517.（本小题满分12分）

（1）求关于x的不等式ax?x?a?1?0,a?R的解集.

2A1B1GD1C1H1解：若a?0，解集为(?1,1)；

a若a?0，解集为(??,1)；

BA11若0?a?，解集为(??,1)?(?1,??)；

2a1若a?，解集为(??,1)?(1,??)；

211若a?，解集为(??,?1)?(1,??)；

2a（2）求证：(ac?bd)?(a?b)(c?d)，其中a,b,c,d都是实数.

22222ODC证明：(ac?bd)?(a?b)(c?d)?2acbd?ad?bc??(ad?bc)?0 故(ac?bd)?(a?b)(c?d). 18.（本小题满足12分）

E'D'222222222222222EDF'C'FCA'B'

AB如图：已知正六边形A'B'C'D'E'F'，边长为1，沿着F'C'向上翻折成一个立体图形

ABCDEF.

（1）求证：FC?EA； （2）若EB?ED10时，求二面角E-FB-C的正切值. 2FHC（1）证明：过E作EH?FC，连接AH，于是AH?FC 又AH?EH?H，于是FC?平面AHE，又

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BEA?平面AEH，故FC?EA.

（2）解：连接HB，计算可得：EH?3， 2?ED7BH?CH?CB?2CH?CBcos60?

222FSHC由EB?10222，故BH?EH?EB，所以EH?HB，2AB又EH?FC，HB?FC?H，所以EH?平面ABCF 过H作SH?FB，连接ES，则?ESH为所求角. 在?ESH中，SH?EH13?23. ,EH?，tan?ESH?HS4242，an?1?an?an?1(n?N*). 319.数列?an?满足a1?（1）求证：an?1?an；

111????，求不超过m的最大整数. a1a2a20134（1）因为a1??1，故

3（2）设m?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?(an?1?1)?(an?2?1)???(a2?1)?a1?12于是an?1?an?an?1?2an?an?an.

222，

（2）解：an?1?1?an(an?1)，于是

1an?1?1?111 ??an(an?1)an?1an所以

111 ??anan?1an?1?11111111 ?)?(?)???(?)?3?a1?1a2?1a2?1a3?1a2013?1a2014?1a2014?1414an?，于是an?1?1?(an?1)，故333于是m?(当n?2时，an?1?an(an?1)?1?a2

0142?14?()33014?1?2，所以0?1a2014?1?1，所以不超过m的最大整数是2.

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