2017年上海市松江区高考数学一模试卷（解析版）

2017年上海市松江区高考数学一模试卷

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N ．

2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= ． 3．已知函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3） ． 4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为 ．

5．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），则函数f（x）=?的最小正周期为 ．

6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 ．

7．按如图所示的程序框图运算：若输入x=17，则输出的x值是 ．

8．设（1+x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，若

=，则n= ．

9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 cm2． 10．设P（x，y）是曲线C：则|PF1|+|PF2|的最大值= ． 11．已知函数f（x）=

义域内有3个零点，则实数k∈ ．

12．已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1﹣an|=2n（n∈N*），且{a2n﹣1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则

= ．

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+=1上的点，F1（﹣4，0），F2（4，0），

，若F（x）=f（x）﹣kx在其定

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13．已知a，b∈R，则“ab＞0“是“+＞2”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

14．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于（ ）

A． B． C．15．若矩阵

D．

满足：a11，a12，a21，a22∈{0，1}，且

=0，则这样

的互不相等的矩阵共有（ ） A．2个 B．6个 C．8个 D．10个

16．解不等式（）x﹣x+＞0时，可构造函数f（x）=（）x﹣x，由f（x）在x∈R是减函数，及f（x）＞f（1），可得x＜1．用类似的方法可求得不等式arcsinx2+arcsinx+x6+x3＞0的解集为（ ） A．（0，1] B．（﹣1，1） C．（﹣1，1]

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点． （1）求证：PC⊥BD；

（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．

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D．（﹣1，0）

18．已知函数F（x）=，（a为实数）．

（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．

19．上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O点为塔基、P点为塔尖、点P在地面上的射影为点H．在塔身OP射影所在直线上选点A，使仰角k∠HAP=45°，过O点与OA成120°的地面上选B点，使仰角∠HPB=45°（点A、B、O都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A与B之间距离为33.6米．试求：

（1）塔高（即线段PH的长，精确到0.1米）；

（2）塔身的倾斜度（即PO与PH的夹角，精确到0.1°）．

20．已知双曲线C：﹣=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线

l交双曲线于A、B两点． （1）求双曲线C的方程；

（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，

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kPB均存在，求证：kPA?kPB为定值；

（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有请说明理由．

21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．

（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；

（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=an，cn=

，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数

?

=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，

列”，并说明理由．

2017年上海市松江区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．

1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∩N {1} ． 【考点】交集及其运算．

【分析】先求出集合M和N，由此能求出M∩N． 【解答】解：∵集合M={x|x2=x}={0，1}， N={x|lgx≤0}{x|0＜x≤1}， ∴M∩N={1}．

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故答案为：{1}．

2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= 3﹣4i ． 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案． 【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得

，即a=2，b=﹣1．

∴a+bi=2﹣i．

∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i． 故答案为：3﹣4i．

3．已知函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点，则f﹣1（3） 2 ． 【考点】反函数．

【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案．

【解答】解：函数f（x）=ax﹣1的图象经过（1，1）点， 可得：1=a﹣1， 解得：a=2． ∴f（x）=2x﹣1

那么：f﹣1（3）的值即为2x﹣1=3时，x的值． 由2x﹣1=3，解得：x=2． ∴f﹣1（3）=2． 故答案为2．

4．不等式x|x﹣1|＞0的解集为 （0，1）∪（1，+∞） ． 【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵x|x﹣1|＞0，

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HAB=27°，AB=33.6，即可求得x===18.86；

（2）∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：==6.89°．

【解答】解：（1）设塔高PH=x，由题意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°， ∴△PAH，△PBH均为等腰直角三角形， ∴AH=BH=x…

，OH=

=2.28，则倾斜角∠OPH=arctan

=arctan

在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6， ∴x=

=

=18.86…

（2）在△BOH中，∠BOH=120°，

∴∠OBH=180°﹣120°﹣2×27°=6°，BH=18.86， 由得OH=∴∠OPH=arctan

=

， =2.28，… =arctan

=6.89°，…

∴塔高18.9米，塔的倾斜度为6.8°． …

20．已知双曲线C：

﹣

=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线

l交双曲线于A、B两点．

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（1）求双曲线C的方程；

（2）若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA?kPB为定值；

（3）若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有请说明理由．

【考点】直线与双曲线的位置关系． 【分析】（1）利用双曲线C：

﹣

=1经过点（2，3），两条渐近线的夹角为

?

=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，

60°，建立方程，即可求双曲线C的方程；

（2）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N的坐标，设P（x，y），结合题意，又由M、P在双曲线上，可得y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，将其坐标代入kPM?kPN中，计算可得答案．

（3）先假设存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设出M点坐标，根据数量级为0，求得结论．

【解答】（1）解：由题意得 …

解得a=1，b= …

； …

∴双曲线C的方程为

（2）证明：设A（x0，y0），由双曲线的对称性，可得B（﹣x0，﹣y0）． 设P（x，y），… 则kPA?kPB=

，

∵y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，… 所以kPA?kPB=

=3 …

（3）解：由（1）得点F1为（2，0）

当直线l的斜率存在时，设直线方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）

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将方程y=k（x﹣2）与双曲线方程联立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0， ∴x1+x2=

，x1x2=

假设双曲线C上存在定点M，使MA⊥MB恒成立，设为M（m，n） 则=

?（

=（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n] k2+1

）

x1x2

﹣

（

2k2+kn+m

）

（=0，

x1+x2

）

+m2+4k2+4kn+n2=

故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0对任意的k2＞3恒成立，

∴，解得m=﹣1，n=0

∴当点M为（﹣1，0）时，MA⊥MB恒成立；

当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，﹣3）知点M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．

又因为点（﹣1，0）是双曲线C的左顶点，

所以双曲线C上存在定点M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立．…

21．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．

（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1=﹣3，a2=，a3=4，求实数m的取值范围；

（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn=an，cn=

，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数

列”，并说明理由． 【考点】数列的求和．

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【分析】（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=解得m范围即可得出．

＞0，

（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+d

，由题意可得：n+

＜n2+n对n∈N*都成立，即

都成立．解出即可判断出结论．

，且每一项均为正整数，且an+1

（3）设等比数列{an}的公比为q，则an=

﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，可得an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an

﹣1

}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”

为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，可得b2﹣b1≤2，即 a1（q﹣1）≤3，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，a1=1，q=4或a1=3，q=2，通过分类讨论即可判断出结论．

【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1=3＞2，a3﹣a2=4﹣＞2，即2﹣=0，解得m

或m＜0．

．

＞

∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪

（2）假设存在等差数列{an}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1=1，可得：Sn=n+d

都成立．∵

，由题意可得：n+

=2+

＞2，且

＜n2+n对n∈N*都成立，即=2，∴d≤2，与d＞2矛盾，

因此不存在等差数列{an}为“H型数列”． （3）设等比数列{an}的公比为q，则an=﹣an=an（q﹣1）＞2＞0，

∴a1＞0，q＞1．∵an+1﹣an=an（q﹣1）＞an﹣an﹣1，即在数列{an﹣an﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．

同理在数列{bn﹣bn﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{an}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，

即 a1（q﹣1）＞2，又因为{bn}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1

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，且每一项均为正整数，且an+1

≤2，即 a1（q﹣1）≤3

，由数列{an}的每一项均为正整数，可得 a1（q﹣1）=3，∴a1=1，q=4或a1=3，q=2， ①当

a1=1，q=4

时，，，则

=

∴{dn}为递增数列， 即 dn＞dn﹣1＞dn﹣2＞…＞d1，

即 cn+1﹣cn＞cn﹣cn﹣1＞cn﹣1﹣cn﹣2＞…＞c2﹣c1， ∵

，所以，对任意的n∈N*都有cn+1﹣cn＞2，

，

，

则

，则，令，

令

即数列{cn}为“H型数列”．②当a1=3，q=2时，则

，显然，{cn}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，

故数列{cn}不是“H型数列”； 综上：当 当

时，数列{cn}为“H型数列”， 时，数列{cn}不是“H型数列”．

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