材力习题册参考答案（1-7章） - 图文

第 一 章 绪 论

一、选择题

1．根据均匀性假设，可认为构件的（ C ）在各处相同。

A．应力 B． 应变 C．材料的弹性系数 D． 位移

2．构件的强度是指（ C ），刚度是指（ A ），稳定性是指（ B ）。

A．在外力作用下构件抵抗变形的能力 B．在外力作用下构件保持原有平衡状态的能力 C．在外力作用下构件抵抗强度破坏的能力

3．单元体变形后的形状如下图虚线所示，则A点剪应变依次为图(a) （ A ），图(b)

（ C ），图(c) （ B ）。

A．0 B．2r C．r D．1.5r 4.下列结论中( C )是正确的。

A．内力是应力的代数和； B．应力是内力的平均值；

C．应力是内力的集度； D．内力必大于应力；

5. 两根截面面积相等但截面形状和材料不同的拉杆受同样大小的轴向拉力，它们的应力

是否相等（ B ）。

A．不相等； B．相等； C．不能确定；

6．为把变形固体抽象为力学模型，材料力学课程对变形固体作出一些假设，其中均匀性

假设是指（ C ）。

A. 认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积； B. 认为沿任何方向固体的力学性能都是相同的； C. 认为在固体内到处都有相同的力学性能； D. 认为固体内到处的应力都是相同的。

二、填空题

1.材料力学对变形固体的基本假设是 连续性假设 ， 均匀性假设 ， 各向同性假设 。 2．材料力学的任务是满足 强度 ， 刚度 ， 稳定性 的要求下，为设计经济安全的构件

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提供必要的理论基础和计算方法。

3．外力按其作用的方式可以分为 表面力 和 体积力 ，按载荷随时间的变化情况可以分

为 静载荷 和 动载荷 。

4．度量一点处变形程度的两个基本量是 （正）应变ε 和 切应变γ。

三、判断题

1．因为构件是变形固体，在研究构件平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。 （ × ） 2．外力就是构件所承受的载荷。 （ × ） 3．用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。 （ √ ） 4．应力是横截面上的平均内力。 （ × ） 5．杆件的基本变形只是拉(压)、剪、扭和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种

变形的某种组合。 （ √ ） 6．材料力学只限于研究等截面杆。 （ × ）

四、计算题

1．图示三角形薄板因受外力作用而变形，角点B垂直向上的位移为0.03mm，但AB和

BC仍保持为直线。试求沿OB的平均应变，并求AB、BC两边在B点的角度改变。

解：由线应变的定义可知，沿OB的平均应变为

=（OB＇－OB）/OB=0.03/120=2.5×

由角应变的定义可知，在B点的角应变为

=－∠A

C=－2(arctan

)

=－2(arctan

)=2.5×rad

2．试求图示结构m?m和n?n两截面的内

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力，并指出AB和BC两杆件的变形属于何类基本变形。

图（b）

解：应用截面法，对图（a）取截面n-n以下部分为研究对象，受力图如图（b）所示，由平衡条件

=0，×3－3×2=0 解

得

=2kN

图（a）

BC杆的变形属于拉伸变形。

应用截面法，对图（a）取截面m-m以及n-n以下部分作为研究对象，其受力图如图（c）所示，由平衡条件有

图（c）

=0，将

×2-3×1-M=0 ①

=0,+

-3=0 ②

=2kN代入①②式，解得

M=1kN·m，=1kN AB杆的变形属于弯曲变形。

3．拉伸试样上A、B两点的距离l称为标距。受拉力作用后，用变形仪量出两点距离的

增量为?l?5?10?2mm。若l的原长为l?100mm，试求A、B两点间的平均应变?m。

解：由线应变的定义可知AB的平均应变为

l =5×

/100=5×

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4. 在图示简易吊车的横梁上，力P可以左右移动。试求截面1-1和2-2上的内力及其最大值。

图（a）

解：应用截面法，取图(a)所示截面1-1以右部分作为研究对象，其受力图如图（b）所示，由平衡条件有

图(b) =0，解①式，得

l

= F·x ① = F·x/(l

达到最大值，即

=F/

因x的变化范围是0≤x≤l,所以当x=l时，

应用截面法，取图(a)所示截面1-1和2-2以右部分作为研究对象受力图如图（c）所示，由平衡条件有

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图（c） =0,＝０,=0,

－－F+

＝０ ②

=0 ③

(l－ｘ)－

=0 ④

解①②③④式，得 =xF当x=l时，当x=0时，当x=l/2时，

/l,

=(1－x/l)F,

=(l－x)Fx/l

=F=F =Fl/4

达到最大值，即达到最大值，即达到最大值，即

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第二章 轴 向 拉 压

一、选择题

1．图1所示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( D )

2．轴向拉伸细长杆件如图2所示，其中1-1面靠近集中力作用的左端面，则正确的说法

应是( C )

A．1-1、2-2面上应力皆均匀分布 B．1-1、2-2面上应力皆非均匀分布

C．1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布 D．1-1面上应力均匀分布， 2-2面上应力非均匀分布

A．平动 B．转动 C．不动 D．平动加转动

（图1） （图2）

3．有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图3所示，曲线( B )材料的

弹性模量E大，曲线( A )材料的强度高，曲线( C )材料的塑性好。 4．材料经过冷作硬化后，其( D )。

A．弹性模量提高，塑性降低 B． 弹性模量降低，塑性提高 C．比例极限提高，塑性提高 D． 比例极限提高，塑性降低

5．现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。从承载能力与经济效益两个方面考虑，图4

所示结构中两种合理选择方案是( A )。

A． 1杆为钢，2杆为铸铁 B． 1杆为铸铁，2杆为钢 C． 2杆均为钢 D． 2杆均为铸铁

（图3） （图4） （图5）

6．如图5所示木接头，水平杆与斜杆成?角，其挤压面积A为（ C ）。

A．bh B．bhtgα C．bh/cos? D．bh/(cos?-sin?)

7．在低碳钢的拉伸试验中，材料的应力变化不大而变形显著增加的是（ B ）。

A. 弹性阶段； B.屈服阶段； C.强化阶段； D.局部变形阶段。

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8．铸铁试件压缩破坏（ B ）。

A. 断口与轴线垂直； B. 断口为与轴线大致呈450~550倾角的斜面； C. 断口呈螺旋面； D. 以上皆有可能。

9．为使材料有一定的强度储备，安全系数取值应（ A ）。

A .大于1； B. 等于1； C.小于1； D. 都有可能。

10. 等截面直杆在两个外力的作用下发生轴向压缩变形时，这对外力所具备的特点一定

是等值、( C )。

A 反向、共线 B反向，过截面形心 C方向相对，作用线与杆轴线重合 D方向相对，沿同一直线作用

11. 图6所示一阶梯形杆件受拉力Ｐ的作用，其截面1-1，2-2，3-3上的内力分别为N1，

N2和N3，三者的关系为( B )。

A N1≠N2 N2≠N3 B N1＝N2 N2＝N3 C N1＝N2 N2＞N3 D N1＝N2 N2＜N3

（图6） （图7） （图8）

12. 图7所示阶梯形杆，CD段为铝，横截面面积为A；BC和DE段为钢，横截面面积均

为2A。设1-1、2-2、3-3截面上的正应力分别为σ1、σ2、σ3，则其大小次序为( A )。 A σ1＞σ2＞σ3 B σ2＞σ3＞σ

1

C σ3＞σ1＞σ2 D σ2＞σ1＞σ3

13. 图8所示钢梁ＡＢ由长度和横截面面积相等的钢杆１和铝杆２支承，在载荷Ｐ作用

下，欲使钢梁平行下移，则载荷Ｐ的作用点应( A )。 A 靠近A端 B 靠近B端 C 在AB梁的中点 D 任意点

14. 轴向拉伸杆，正应力最大的截面和剪应力最大的截面( A )

A分别是横截面、45斜截面 B都是横截面 C分别是45斜截面、横截面 D都是45斜截面

15. 设轴向拉伸杆横截面上的正应力为σ，则45斜截面上的正应力和剪应力( D )。

A 分别为σ/2和σ B 均为σ C 分别为σ和σ/2 D 均为σ/2 16. 材料的塑性指标有( C )。

A σs和δ B σs和ψ C δ和ψ D σs、δ和ψ

0

0

0

0

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17. 由拉压变形公式?l?FlFNl即E?N可知，弹性模量( A )。

A?lEAA 与载荷、杆长、横截面面积无关 B与载荷成正比 C 与杆长成正比 D与横截面面积成正比 18. 在下列说法，( A )是正确的。

A 内力随外力增大而增大 B 内力与外力无关 C 内力随外力增大而减小 D 内力沿杆轴不变

19. 一拉伸钢杆，弹性模量E＝200GPa，比例极限为200MPa，今测得其轴向应变ε＝

0.0015，则横截面上的正应力( C ) 。

A σ＝Eε＝300MPa B σ＞300MPa C 200MPa＜σ＜300Mpa D σ＜200MPa

21．图9分别为同一木榫接头从两个不同角度视图，则（ B ）。

A. 剪切面面积为ab,挤压面面积为ch； B. 剪切面面积为bh,挤压面面积为bc； C. 剪切面面积为ch,挤压面面积为bc； D. 剪切面面积为bh,挤压面面积为ch。 20．图10所示两板用圆锥销钉联接，则圆锥销的受剪面积为（ C ），计算挤压面积

为（ D ）。

21??D?d?12h2A．?D B．?d C．?? D．?3d?D?

4?2?444

（图9） （图10） （图11）

二、填空题

1．直径为d的圆柱放在直径为D=3d，厚为t的圆基座上，如图11所示地基对基座的支

反力为均匀分布，圆柱承受轴向压力P，则基座剪切面的剪力Q = 8P/9 。

2．判断剪切面和挤压面时应注意的是：剪切面是构件的两部分有发生 相对错动 趋势的

平面；挤压面是构件 受挤压 的表面。

3.试判断图12所示各试件的材料是低碳钢还是铸铁？A为 铸铁 ，B为 低碳钢 ，C为

铸铁（45度螺旋面） ，D为 低碳钢，E为 铸铁 ，F为 低碳钢 。

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（图12）

三、试绘下列杆件的轴力图

123F1F2F3F解：2KN+-2KN

23KN25KN118KN310KN1210KN3解：+-15KN18KN

四、计算题

1．作出图示等截面直杆的轴力图，其横截面的面积为2cm2，指出最大正应力发生的截

面，并计算出相应的应力值。

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4KN10KN11KN5KNAB解：轴力图如下：4KNC5KND++-6KN

AB段：σ1＝

＝Pa＝20MPa

BC段：σ2＝＝Pa＝-30MPa

CD段：σ3＝＝Pa＝25MPa

2．图为变截面圆钢杆ABCD，己知P1=20kN，P2=P3=35kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，

d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，绘出轴力图并求杆的最大最小应力。

D3CP32BP21AP1l3解：l2l120KN+-50KN15KN

＝

＝176.9MPa

AB段：σ1＝

BC段：σ2＝

＝＝-74.6MPa

CD段：σ3＝

＝＝-110.6MPa

故杆的最大应力为176.9MPa（拉），最小应力为74.6MPa（压）。

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3．图示油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径D?350 mm，油压p?1 MPa。

若螺栓材料的许用应力[?]?40 MPa，试求螺栓的内径。

F.Dp.......

解：设每个螺栓受力为F，由平衡方程得

根据强度条件，有［σ］≥

故螺栓的内径取为24mm。

4．图示一个三角架，在节点B受铅垂荷载F作用，其中钢拉杆AB长l1=2m，截面面积

A1=600mm2，许用应力[?]1?160MPa，木压杆BC的截面面积A2=1000mm2，许用应力[?]2?7MPa。试确定许用荷载[F]。

AFB1CBFB2F

解：根据平衡条件，得

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解得，

由AB杆强度条件得，

由BC杆强度条件得，

故

=

5．一横面面积为100mm2黄铜杆，受如图所示的轴向载荷。黄铜的弹性模量E=90 GPa。

试求杆的总伸长量。

45KN10.5m60KN1m29KN31.5m6KN解：轴力图如下：45KN+15KN-6KN

杆的总伸长量

所以杆缩短0.167mm。

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6．图示由铜和钢两种材料组成的等直杆，铜和钢的弹性模量分别为E1?100 GPa和

E2?210 GPa。若杆的总伸长为Δl?0.126 mm，试求载荷F和杆横截面上的应力。

2钢1铜?40400...600.F

解：?l??l1??l2?FN1l1FN2l2Fl1l??(?2) E1A1E2A2AE1E2?F?A?l?4l1l2600?10?3400?10?3??9E1E2100?10210?109(40?10?3)2?0.126?10?3?20.03kN

F4?20.03?103????15.94MPa 32A??(40?10)

7．己知变截面杆，1段为d1=20mm的圆形截面，2段为d2=25mm的正方形截面，3段

为d3=12mm的圆形截面，各段长度如图示。若此杆在轴向力P作用下在第2段上产生?2?30MPa的应力，E=210GPa，求此杆的总缩短量。

解：?2?FNFPP2?2 P??2d2?N?2?18.75kN A2d2A2d2???FNli?Pl1l3?l2???0.272mm ?l????2?EAiE??2d2?2?d3??d14?4?

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8．低碳钢Q235的弹性模量E=200Gpa，屈服极限?s?235MPa，当实验的工作应力

?A?300MPa时，测得轴向应变??4.0?10?3，试求卸载至?A1?100MPa和?O1?0时的应变。

解：?A???4?10 据卸载定律

?3

?A??A1?A??O1??E

?A??A1?A??O1?3?10?3?A1??A?

?A??A1?O1

E

?A??O1??A??2.5?10?3E9．长度为l的圆锥形杆，两端直径各为d1和d2，弹性模量为E，两端受拉力作用，求杆

的总伸长。

yd1P0Pxl

- 14 -

解：建立如图坐标系，取一微段

截面半径为

故面积为

微段伸长量

总伸长量

10．下图示联接销钉。已知F?100 kN，销钉的直径d?30 mm，材料的许用切应力

[?]?60 MPa。试校核销钉的剪切强度，若强度不够，应改用多大直径的销钉？

F.F...dF/2FF/2

F

解：销钉的受力如图所示，

两个剪切面上的剪切力均为

切应力为所以强度不够

- 15 -

M1 M2 A l lB l lT TTM/N·m2X/mm4AB4C

D解：扭矩图如上，则轴面极惯性矩

IP=

?(D4?d4)32??(1004?804)(10?3)32?5.8?10?6m4

TR4?103?50?103则最大剪应力τmax=?Pa?34.4MPa

IP5.8?106

4. 图示圆形截面轴的抗扭刚度为GIp，每段长1m。试画其扭矩图并计算出圆轴两端的

相对扭转角。

90N·mT190N·m60N·m40N·m100N·m+-90N·m40N·m+x

解：??Tili150?(?90?100?40)??GIGIGIPPPrad

（其中GIP为国际单位）

5．图示的传动轴长l?510mm ，直径 D= 50 mm 。现将此轴的一段钻成内径d1?25mm的

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内腔，而余下一段钻成d2?38mm的内腔。若材料的许用切应力[?]=70 MPa，试求： ( 1 ）此轴能承受的最大转矩Memax

( 2 ）若要求两段轴内的扭转角相等，则两段的长度应分别为多少？

解：（1）

?max?T?Wtmax?D316Me4Memax（2）

??d2???1????? ??D???4?D3??d2????1?????????1.145kN?m16???D???4?????1??2,Tl1Tl2?GIP1GIP2即l1IP1?l2IP2?d?1??1??D??1.407 ?4?d2?1????D?又l1?l2?l?510mm

得:l1?298.1mml2?211.9mm

6．如图所示钢轴 AD 的材料许用切应力[?]=50 MPa，切变模量 G = 80GPa ，许用扭转角[?]?0.250m 。作用在轴上的转矩MA?800N?m，MB?1200N?m，

MC?400N?m。试设计此轴的直径。

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MAMCAl1M/Nm800MBBCl2l3Dx/m400

解：（1）扭矩图，T（2）强度设计

max?800N?m

?max?TmaxWt16T?T?Dmax3????

16得：D?????max?43.35mm

（3）刚度设计

???maxTmaxGIP1?TG?Dmax3????

32?32?8004得：D?432TG????max80?109???0.25??180?69.51mm

（4）综合强度、刚度要求，取D?70

mm

7. 钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.355kW,轴的转速n=180r/min，钻杆钻入土层的深度l=40m，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力???=40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A、B截面的相对扭转角。

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TT AA 390.18N·mm ll BB

解：（1）T=M=9549 ?7.355N?m?390.18N?m 180T=9.75 N?mm L由平衡方程?MX?0; 由mL-T=0 则 m = (2)扭矩图如图所示

Tmax16Tmax?D3?max= ,WP = (1??4)? ?max?????Wp16?D3(1??4) 即17.8MPa

T(x)dx?l??d????l0GIPl?mxdx0lG?D432(1??4)l232m2??0.148rad?8.48? 44G?D(1??)

8．图示阶梯形圆轴的AC段和CB段的直径分别为d1?4 cm、d2?7 cm，轴上装有三

个皮带轮。已知由轮B输入的功率为P3?30 kW，轮A输出的功率为P1?13 kW，轴作匀速转动，转速n?200 r/min，材料的许用切应力[?]?60 MPa，切变模量

G?80 GPa，许用单位长度扭转角[?]?2 ?/m。试校核该轴的强度和刚度。

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Me1AMe2CD1mMe3B0.5m0.3m

TN?m

621 - 1432

解：（1）扭矩图

M1?9549M3?9549P13?9549?621N?m n200P30?9549?1432N?m n200M2?1432?621?811N?m

（2）强度校核

Wt,CB?3?d216??7316?67.35cm3?CB,max?TCB,maxWt,CB??TDB1432??21.3MPa Wt,CB67.35?10?6?12.57cm3

Wt,AC??d1316?4316?AC,max?TAC621??49.4MPa ?6Wt,AC12.57?10AC,max?max???????60MPa

该轴强度满足要求 （3）刚度校核

IP,CB?

?d2432??7432?235.72cm4

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IP,AC??d1432??4432?25.13cm4

?'AC,max??'CB,max?TAC621??0.031radm?1.77?m

GIP,AC80?109?25.13?10?8TCB,maxGIP,CB?1432?0.0076radm?0.435?m 9?880?10?235.72?10?'max??'AC,max???'??2?m

该轴刚度满足要求

9．如图所示的传动轴中， A 轮输入的转矩MA?800N?m, B 、 C 和 D 轮输出的转矩分别为MB?MC?300N?m，MD?200N?m。传动轴的许用切应力

[?]?40MPa，许用扭转角[?]?10m，材料的剪切弹性模量G?80GPa。

(1）若该传动轴采用等截面实心圆轴，试根据轴的强度条件和刚度条件，确定该轴的直径；(2）若将传动轴改为等截面空心圆轴，并要求内外直径之比 ??径；（3）计算两种情形下轴的重量比。

d1 d?0.6，试确定该轴的外DMB A d2B1.5mA1m500C1md3 MC MDD

T/N·m200X/m300

Tmax16Tmax??［ τ］ 3WT?d解： （1）?max=

?max?Tmax32Tmax????? GIPG?d43对于AB段 d1?

16T132T1联立得d1?38.5mm ,d1?4? ? ? ?G????- 26 -

同理得AC段的d2 ?43.7mm CD段d3 ?34.8mm 所以d1应取值38.5mm，d2应取值43.7mm,d3应取值34.8mm (2) 由强度条件：?max?TmaxTmaxTmax16?????? 得D≥41.87mm WtWt?D3(1??4)由刚度条件：?max?TmaxTmax32?????得D≥45.24mm GIPG?D4(1??4)综合强度、刚度要求，取D?46mm

W1A1d2(3) ??2?1.5（实心轴也为等截面） 2W2A2D(1??) - 27 -

第四章 梁的弯曲内力

一、 判断题

1． 若两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，则两梁的剪 力图和弯矩图不一定相同。（ × )

2． 最大弯矩必然发生在剪力为零的横截面上。（ × ) 3． 简支梁及其承载如图 1 所示，假想沿截面m-m将梁截分为二。若取梁左段为研究对象，则该截面上的剪力和弯矩与q、M 无关；若以梁右段为研究对象，则该截面上的剪力和弯矩与 F 无关。（ × ) 图 1

二、 填空题

1．图 2 所示为水平梁左段的受力图，则截面 C 上的剪力 FSC =F ，弯矩

MC =2Fa 。

2．图 3 所示外伸梁 ABC ，承受一可移动载荷 F ，若 F 、l均为已知，为减小梁的最大弯矩值，则外伸段的合理长度 a = l/5 。

图 2 图3

3． 梁段上作用有均布载荷时，剪力图是一条 斜直 线，而弯矩图是一条 二次曲 线。 4． 当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在 梁端部 。

三、 选择题

1． 梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为（ C )。

A. Fs 图有突变， M 图无变化 ； B. Fs图有突变，M图有转折 ； C. M 图有突变，Fs图无变化 ； D. M 图有突变， Fs 图有转折 。 2． 梁在集中力作用的截面处，它的内力图为（ B )。

A. Fs 有突变， M 图光滑连续 ； B. Fs 有突变， M 图有转折 ； C. M 图有突变，凡图光滑连续 ； D. M 图有突变， Fs 图有转折 。

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3． 在图4 所示四种情况中，截面上弯矩 M 为正，剪力 Fs 为负的是（ B ）。

图 4

4． 梁在某一段内作用有向下的分布力时，则在该段内， M 图是一条（ A ）。

A. 上凸曲线 ； B.下凸曲线 ； C. 带有拐点的曲线 ； D. 斜直线 。

5．多跨静定梁的两种受载情况分别如图5 ( a ）、（ b ）所示，以下结论中（ C ）是正确的。

力 F 靠近铰链。

图5

A. 两者的 Fs 图和 M 图完全相同 ； B. 两者的 Fs 相同对图不同 ； C. 两者的 Fs 图不同， M 图相同 ； D. 两者的Fs图和 M 图均不相同 。 6． 若梁的剪力图和弯矩图分别如图( a ）和（ b ）所示，则该图表明（ C ） A. AB段有均布载荷 BC 段无载荷 ；

B. AB 段无载荷， B截面处有向上的集中力，BC 段有向下的均布载荷 ； C. AB 段无载荷， B 截面处有向下的集中力， BC 段有向下的均布载荷 ； D. AB 段无载荷， B 截面处有顺时针的集中力偶， BC 段有向下的均布载荷 。

- 29 -

四、 计算题

1．试求图示梁在截面 1-1 、 2-2上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面 C 及截面 D 。设P、q、 a 均为已知。

FCFD

FC??qa5qa ,FD?225qa3qa ??22FS1??qa,FS2?qa?qa2M1??,M1??qa2?qa2??2qa2

2

2．外伸梁及受载情况如图所示。试求出梁的剪力方程和弯矩方程,幷绘出剪力和弯矩图。

- 30 -

3．试画梁的剪力图和弯矩图，并求FSmax和Mmax。

- 31 -

qAl/2Cl/2BqABll/2qlC

- 32 -

- 33 -

附录 截面图形的几何性质

一、判断题

⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。（ √ ） ⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。（ √ ）

⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（ √ ）

⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。（√ ）

二、填空题

⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 图形各组成部分对于同一轴静矩 的代数和。 ⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。 ⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴（或称主

轴） 。

⒋ 过图形的形心且 图形对于其惯性积为零的正交 的一对轴为图形的形心主惯性轴。

三、选择题

⒈ 图形对于其对称轴的（ A ）

A 静矩为零，惯性矩不为零； B 静矩和惯性矩均为零

C 静矩不为零，惯性矩为零； D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉ 直径为d的圆形对其形心主轴的惯性半径i=（ C ）。

A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z的惯性矩IZ=（ C ）。 dD3?D4dD3 A B ??3212326?D4dD3?D4dD3? C D ?6466412

4．下图为一杆件的横截面形状，其面积为A。三

个平行的坐标轴yC，y1和y2，三个坐标轴

dD?D4Dz的位置如图所示，其中yC经过形心C点。如果截面对y1的惯性矩为I1则截面对y2的惯性矩为（ D ）。

A. I1?A?a?b? B. I1?A?b?a?；

22 - 34 -

2222I?Aa?bI?Ab?a11C. D. 。

????

四、计算题

⒈ 求图示平面图形中阴影部分对z轴的静矩。

0.4h h b z

Sz?(0.4h?b)(h?0.2h)? H h B b h/2 z

8bh2?0.32bh2 25Sz?SzⅠ?SzⅡ11H?hhhB(H?h)?(h?)?b??22224 11222?B(H?h)?bh8811?BH2?(B?b)h288?

2 求图示平面图形对z、y轴的惯性矩。

- 35 -

y 140 1O 40 z

Iz?IzⅠ?IzⅡ10?40330?1032??20?10?40??52?30?10?2.233?1051212mm4Iy?Iz?2.233?105

mm4

3. 试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

20mm 140mm 20mm 100mm

yc??SAizi?Sz1?Sz2(70?20)?140?20?10?20?100??56.67mm

A1?A214?20?20?100zc?0

Iy?Iy1?Iy2140?20320?1003???1.76?106mm4

121220?140320?10032Izc??(70?20?56.67)?140?20??(56.67?10)2?20?1001212?1.2107?107mm4

- 36 -

第 五 章 弯 曲 应 力

一、判断题

1.设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短

的。 （ × ） 2.中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。

（ √ ）

3.在非均质材料的等截面梁中，最大正应力?max不一定出现在Mmax的截面上。

（ × ）

4.等截面梁产生纯弯曲时，变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变

（ √ ）

5.梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6.控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7.横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ × ）

二、填空题

1 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h、宽为b、长为l，则在其中性层的水平剪力

Fs?3Fl2h。

yFFs zx

2 跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼板上下边缘 、腹板中心 和 翼板和腹板结合 处。

3. 梁的三种截面形状和尺寸如下图所示，则其抗弯截面系数分别为

1(B?b)H26、??h?3?12BH?1????6???H???、BH3?bh3 和6H。 - 37 -

H z

H h z H h z b B

B

b B

三、选择题

⒈ 如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。

M 2l31l3A B C D

⒉ 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F增大时，破坏的情况是（ C ）。

A 同时破坏 ； B （a）梁先坏 ； C （b）梁先坏

F F (a) (b)

⒊ 为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ）

x

M A

B C D

4．在直径为d、长为l的圆截面轴的两端受到一对作用面与其轴线垂直，大小均为M，

- 38 -

转向相反的力偶矩作用，其横截面上距圆心?处的应力为（ D ）。

A.

??M4M32M32M????????d2l B. ?d2l C. ?d4 D. ?d4。

5. 图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是( D )

A AC段 B CD段 C DB段 D不存在

AaPC2aPDaB

6. 几何形状完全相同的两根梁，一根为钢材，一根为铝材。若两根梁受力情况也相同，

则它们的( A )

A弯曲应力相同，轴线曲率不同 B弯曲应力不同，轴线曲率相同 C弯曲应力与轴线曲率均相同 D弯曲应力与轴线曲率均不同 7. 等强度梁的截面尺寸( C )

A与载荷和许用应力均无关 B与载荷无关，而与许用应力有关 C与载荷和许用应力均有关 D与载荷有关，而与许用应力无关 8. 矩形截面梁剪切弯曲时，在横截面的中性轴处( B )

A正应力最大，剪应力为零 B正应力为零，剪应力最大 C正应力和剪应力均最大 D正应力和剪应力均为零

四、计算题

⒈ 长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h?0.18m，b?0.12m，

y?0.06m，a?2m，F?1kN，求C截面上K点的正应力。

F AA C l b

a B z K y h h

- 39 -

解：MC??Fa??2kN?m

b?(2h)30.12?(2?0.18)3Iz???4.67?10?41212m4

MC(?y)?2?103?(?0.06)?K???0.257MPa ?4Iz4.67?10

⒉ ?形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。截面对形心轴zC的惯性矩

IZ?10181cm4，h1?9.64cm，P?44kN，求梁内的最大拉应力和最大压应力。

解：（1）内力分析

?弯矩图如下，Mmax?35.2?kN?m,Mmax??26.4kN?m

M35.2 kN.m26.4 kN.mA:?(A)c,maxC:)?t(,Cmax)?t(,Amax)?c(,Cmax

（2）危险截面应力分析 应力分布图如上

?Mmax(?h2)35.2?103?[?(25?9.64)]?10?2????53.11MPa 4?2Iz10181??10??c,max???(A)t,max(A)c,max?Mmax?h135.2?103?9.64?10?2???33.33MPa 4?2Iz10181??10??Mmax(?h2)?2.64?103?[?(25?9.64)]?10?2???39.83MPa 4?2Iz10181??10??(C)t,max

- 40 -

)?t,max??t(,Cmax?39.83MPa

⒊ 图示矩形截面梁。已知[?]?160MPa，试确定图示梁的许用载荷[q]。

qm=2q(kNm)4m2m80第四题图220

b?(2h)380?2202??6.45?10?4解：W?66m4

?max?MmaxW25q8????? Wq????W?

88??160?106?6.45?10?4?33.0kN/m 25254.图示槽形截面梁。已知：q=24kN/m，mo=1.5kNm。C为截面形心，Iz?200cm4。求梁内的最大拉应力和最大压应力。

- 41 -

AB2cmmoq0.5mM1m0.5myx第三题图8cmCz

解：（1）弯矩图

（2）危险截面应力分布图 （3）求最大拉应力及最大压应力

?MB?ymax?3?103?0.06????90MPa 4?2Iz200??10??c,max??(B)c,max??(A)t,max?MAB?ymax1.5?103?0.06???45MPa

?24Iz200??10??MAB?ymax?3?103?(?0.02)???30MPa 4?2Iz200??10?(B)t,max)?t,max??t(,Amax?45MPa

5. 图示T形截面铸铁梁承受载荷作用。已知铸铁的许用拉应力[?t]?40 MPa，许用压应力[?c]?160 MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，将横截面由T形倒置成?形，是否合理？为什么？

- 42 -

6. 图示梁的许用应力[?]?160 MPa，许用切应力[?]?100 MPa，试选择工字钢的型号。

解：（1）内力图

FSmax?22kN,Mmax?16.2kN?m

（2）强度设计 由?max?MmaxWz?????160MPa

得Wz?

M???max16.2?103?4??1.0125?10160?106- 43 -

m3?101.25cm3

取14号工字钢，Wz?102（3）由切应力校核强度

cm3

对于14号工字钢，查表得：

Iz?12cm?4Iz?712cm；b0?5.5mm；Sz

则：

?max?FSmax??SzIz?b0FSmax22?103???33.33MPa?2?3Iz12?10?5.5?10?b0Sz?

- 44 -

第 六 章 弯曲变形

一、是非判断题

1.梁的挠曲线近似微分方程式为

。 （√）

2.梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。 （×） 3.两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷载相同，则两梁所对应的4.等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（×） 5.若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。 （√） 6.简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最

大挠度增加四倍。 （×） 7.当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个力单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。 （√） 8.弯矩突变的截面转角也有突变。 （×）

截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （×）

二、选择题

1．梁的挠度是（ B ）。

A 横截面上任一点沿梁轴方向的位移 B 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移 C 横截面形心沿梁轴方向的线位移 D 横截面形心的位移 2．在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（ C ）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3．挠曲线近似微分方程在（ D ）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C

4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（ D ）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大

5．两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（ B ）不同。

A 支反力 B 最大正应力 C 最大挠度 D 最大转角

6．某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（ B ）。

- 45 -

A 梁长改为l/2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3l/4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5l/4，惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3l/2，惯性矩改为I/4 7.已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为上（ B ）。

A 无分布载荷作用 B 有均匀载荷作用 C 分布载荷是x的一次函数 D 分布载荷是x的二次函数 8. 图1所示结构的变形谐调条件为：（ D ）

A wA?wB B wA??l?wB C wA?wB??l D wA?wB??l

A EI l B a 图1 ，则该段梁

q

EI

9. 梁的挠曲线微分方程在( D )条件下成立 A 梁的变形属小变形 B 材料服从虎克定律 C 挠曲线在xoy面内 D 同时满足A、B、C 10. 在下列关于梁转角的说法中，( D )是错误的 A 转角是横截面绕中性轴转过的角位移 B 转角是变形前后同一截面间的夹角

C 转角是挠曲线的切线与轴向坐标轴间的夹角 D 转角是横截面绕梁轴线转过的角度

EI a 三、填空题

1. 用积分法求简支梁的挠曲线方程时，若积分需分成两段，则会出现 四 个积分常数，

这些积分常数需要用梁的 边界 条件和 连续、光滑 条件来确定。 2. 用积分法求图2所示梁变形法时，边界条件为：

续条件为：

P A a

wA?wD?0,?A?0。

；连

wB??wB?,?B???B?,wC??wC?A F B l/2 l/2 C

B a C D a

- 46 -

l/2

图2 图3

Fl23. 如图3所示的外伸梁，已知B截面转角?B?，则C截面的挠度wc＝

16EIFl332EI。

4. 如图4所示两梁的横截面大小形状均相同，跨度为l，则两梁的内力图 相同 ，两

梁的最大正应力 相同 ，两梁的变形 相同 ，两梁的位移 不同 。（填“相同”或“不同”） F M=Fl l 图4

5. 提高梁的刚度措施有_增大EI_、_减小M_等。

四、计算题

1 用积分法求图5所示梁A截面的挠度和B截面的转角。

w PM0=PlO

ABx l/2 l/2

图5

解：弯矩方程：OA段：Ml1?P(?x)?M0??Px?122PlAB段：M2??M0??Pl(l2?x?l) 二次积分：OA段(0?x?l2)： - 47 -

(0?x?l2)；

d2w1M111??(?Px?Pl)EIEI2dx2dwM111P21 ?1?1??1?(?Px?Pl)??(x?Plx?C1)?dxEIEI2EI22M111P312w1???1?(?Px?Pl)??(x?Plx?C1x?D1)??EIEI2EI64AB段(l?x?l)： 2d2w2M21??(?Pl)2EIEIdxdwM11 ?2?2??2?(?Pl)??(Plx?C2)?dxEIEIEIM11Pl2w2???2?(?Pl)??(x?C2x?D2)EIEI??EI2由边界条件：OA段x?0时，?1?w1?0，得C1?D1?0

Pl2Pl3l

;D2?由连续、光滑条件：x?时，?1??2;w1?w2，得C2?? 8482

dw11P21?????(x?Plx)?1dxEI22则，CA段：?1P31?w1??(x?Plx2)EI64??dw21Pl2????(Plx?)??2dxEI8AB段：?31Pl1Pl22?w2??(x?Plx?)?EI2848?l(0?x?)

2l(?x?l) 2Pl37Pl2l

令x?得：wA??；令x?l得：?B??

12EI8EI2

2 简支梁受三角形分布载荷作用，如图6所示梁。（1）试导出该梁的挠曲线方程；（2）

确定该梁的最大挠度。

- 48 -

w O Aqx Bl解：FA?11ql;FB?ql 均坚直向上 63(0?x?l)；

1qx3图6 弯矩方程：M?qlx?66l二次积分：

d2wM1qx3dx2?EI?EI(?6l?16qlx)(0?x?l)；

??dwMdx??EI?1EI?(?qx36l?16qlx)?1qx412EI(?24l?12qlx?C)w???MEI?1EI(?qx5120l?136qlx3?Cx?D)(0?x?l)由边界条件： x?0时，w?0，x?l时，w?0，得C??7ql3360;D?0 dw1qx417ql3??dx?2EI(?24l?12qlx?360)1qx517ql3

w?EI(?120l?36qlx3?x360)(0?x?l)令

dwdx???0得：x?1?815l?0.519l； 代入挠曲线方程得：wmax??0.00652ql4EI

3 试用积分法求图示外伸梁的转角?A、?B及挠度yA、yD。

F= ql1w 2qO ABDCx l/2l/2l解：FB?45ql;F?1C4ql 均坚直向上 弯矩方程：AB段：M11??qlx(0?x?l22)；

- 49 -

BC段：M2??1253qx?qlx?ql2244l3l(?x?) 22二次积分：AB段(0?x?l)： 2d2w1M111??(?qlx)EIEI2dx2dwM11112 ?1?1??1?(?qlx)?(?qlx?C1)dxEIEI?2EI4M11113w1???1?(?qlx)?(?qlx?C1x?D1)??EIEI2EI12BC段(l3l?x?)： 22d2w2M2112532??(?qx?qlx?ql)EIEI244dx2dwM1153 ?2?2??2?(?qx3?qlx2?ql2x?C2)dxEIEI684M1153w2???2?(?qx4?qlx3?ql2x2?C2x?D2)EIEI242489ql39ql4l3l;D2??由边界条件：BC段x?及x?时，w2?0，得C2? 32128225ql3ql4l

;D1??由连续、光滑条件：x?时，?1??2;w1?w2，得C1? 48242

dw1ql?22????(12x?5l)1?dx48EI则，AB段： ?ql?w1??(4x3?5l2x?2l3)48EI?l(0?x?)

2dw2q?3223????(16x?60lx?72lx?27l)2?l3ldx96EI(?x?) BC段：?q2?w2??(16x4?80lx3?144l2x2?108l3x?27l4)2384EI?ql45ql3令x?0得：?A??1(0)?，wA?w1?0???；

24EI48EIql3ql4l?l?令x?得：?B??1???；令x?l得：wD?w2?l??

384EI2?2?24EI

- 50 -

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