五年级奥数最小公倍数讲座及练习答案

五年级奥数集训专题讲座（六）——最小公倍数

回忆：1、什么叫公倍数及最小公倍数？

2、自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×b。 3、两个数的最大公约数×最小公倍数=两数的乘积

例1：一块砖长20厘米，宽12厘米，高6厘米，要堆成正方体至少需要这样的砖头多少

块？

分析：把若干个长方体堆成正方体，它的棱长是长方体长、宽、高的公倍数，现在

要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长方体长、宽、高的最小公倍数。要多少块砖，即用正方休的体积除以长方体的体积。

[20，12，6]=60 60×60×60÷（20×12×6）=150（块）

答：至少需要这样的砖头150块。

【巩固练习】：用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需

要用这样的长方体多少块？

解：用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，要求至少需要

用这样的长方体多少块，也就是求9、7、6的最小公倍数是多少。 [9、6、7]=126.

答：至少需要用这样的长方体126块.。

例2：甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一

点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

分析：甲跑一圈需要600÷3=200（秒） 乙跑一圈需要600÷4=150（秒） 丙跑一圈需要600÷2=300（秒）。

要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一不定期是200、150、300的最小公倍数，

[200、150、300]=600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

【巩固练习】：一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8 米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发？ 解：一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，

甲每秒行8米，那么骑完一圈需240÷8=30（秒） 乙每秒行6米，骑完一圈需240÷6=40（秒） 丙每秒行5米，骑完一圈需240÷5=48（秒），

求至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发，就是求30、40、48的最小公 倍数是多少。即：

[30、40、48]=240（秒），240秒=4分钟。

答：至少经过4分钟后三人再次从原出发点同时出发.

例3：有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？ 分析：条件转化一下：把这个数增加3，就恰好可以被10、7、4整除，即10、7、4

的最小公倍数，然后减去3就能得到这个所求的数了！

[10、7、4]=140 140－3=137 答：这个数最小是137。

【巩固练习】：学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2 人，11人一行也余2人，六年级最少有多少人？

解：根据题意可知，做操的人数被3除余2，被7除余2，被11除也余2，即六年级

的人数减去2后能同时被3、7、11整除，那么六年级的人数减去2后能同时被3、 7、11整除的最小数是：[3、7、11]=231，231+2=233. 答：六年级最少有233人.

例4：从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距 50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不 必移动？

分析：从学校到少年宫的这一段路长50×（37－1）=1800（米）从路的一端开始，是50和60的公倍数处的电线杆不必移动。它们的最小公倍数是300，所以从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300=6（根）去除最后一根，就有5根。 [50、60]=300 50×（37-1）×300-1=5（根） 答：中途有5根不必移动。

我也能行

1、有200块长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大 的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

解：要将长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块堆成一个堆成一个最小的正方体，

这个正方体的棱长是[6、4、3]=12（厘米） 至少需这样的木块多少个呢？

12÷6=2，12÷4=3，12÷3=4，2×3×4=24（个）。

由于能堆成更大的正方体的小正方体的个数必须是2、3、4……的立方数，所以 24×8=192（个）

则这个正方体的体积是：6×4×3×192=72×192=13824（立方厘米） 答：这个正方体的体积是13824立方厘米.

1、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇； 若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇，已知甲比乙快，求二人的速度。

解：甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，则两人一分钟一共跑400

米，即两人的速度和是400米/分，400÷1=400米。

若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇，则两个的速度差是400÷10=40米

甲的速度比乙速度快的，所以甲的速度为：（400+40）÷2=220米/分 乙的速度为：400-220=180米/分

答：甲的速度为220米/分，乙的速度为180米/分。

2、有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个 装一箱，最后一箱还差2个；如果第32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

解：如果第32个装一箱，最后一箱只有30个，即最后一箱还差2个，即这批水果数加2

后能同时被24、28、32整除，求这批水果的总数即求比能同时被24、28、32整除的1000 以内的最大数少2的数。 所以：[24、28、32]=672

672-2=670(个)。670比1000小，满足题目的条件。 答：这批水果共有670个.

3、食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少3千克，用乙种桶装最后一桶只装了半桶油，用 丙种桶装最后一桶少7千克。如果甲桶能装8千克，乙种桶每桶能装10千克，丙种桶每桶能装12千克，那么，食堂至少买回多少千克油？

解：因为甲桶能装8千克，最后一桶少3千克，所以装满最后一桶后还多8-3=5千克 乙种桶每桶装10千克，装了半桶油即少10÷2=5千克，所以装满最后一桶后还多10-5=5千克 丙种桶每桶能装12千克，最后一桶少7千克。所以装满最后一桶后还多12-7=5千克。 那么求食堂至少买回多少千克油即求比8、10、12的最小公倍数多5的数是多少。 [8、10、12]=120,120+5=125(千克) 答：食堂至少买回125千克油.

4、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗数在150 —200之间，求共有多少棵树苗？

解：这批树苗9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，即9棵一捆、10棵

一捆、12棵一捆都少2棵，求共有多少棵树苗就是求比9、10、12的最小公倍数少2的数是多少

[9、10、12]=180，180-2=178. 178是在150—200之间，满足题目条件。 答：共有178棵树苗.

5、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米，原为每隔2米植一棵树，由于小树长 大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？

解：2米和5米的最小公倍数是：2×5=10米，即每隔10米有一棵不必移动。中间不必移

动的棵数是：90÷10-1=8（棵）

答：两端不算，中间有8棵不必移动.

7、两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少 ？

解：两个数的最小公倍数除以这两个数最大公约数，就得到这两个数各自独有的质因数90

÷15=6

6=1×6=2×3

第一组数： 第二组数：

15×1=15 15×2=30

15×6=90 15×3=45 答：两个数分别是15、90或30、45.

6、有甲、乙、丙三辆公交车于上午8：00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所 用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点？

解：下次到达公交总站的时间是40、25、50的最小公倍数。

[40、25、50]=200（分钟），200分钟=3小时20分 8：00+3：20=11：20.

答：下次同时到达公交总站将会是11时20分。

9、甲、乙两数的最小公倍数为90 ，乙、丙两数的最小公倍数为105 ，甲、丙两数的最小公倍数为126 ，求甲、乙、丙三数各是多少？ 解：90=2×3×3×5=18×5

105=3×5×7=5×21 126=2×3×3×7=18×7

又因为18和21的最小公倍数是126 所以甲=18，乙=5，丙=21

答：甲是18，乙是5，丙是21.

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