高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Word版含答案

1

简单的线性规划

(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．

(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面

区域

易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．

必备方法 确定二元一次不等式表示平面区域的方法：

二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧．

[自测练习]

1．不等式组?????

x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )

2 解析：x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分．

故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分．

答案：B

2．不等式组????? x ≥0，x ＋3y ≥4，

3x ＋y ≤4

所表示的平面区域的面积等于( ) A.32

B.23

C.43

D.34

解析：平面区域如图所示． 解????? x ＋3y ＝4，

3x ＋y ＝4

得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ???

?0，43， |BC |＝4－43＝83

. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43

. 答案：C

知识点二 线性规划中的基本概念

3 易误提醒 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．

[自测练习]

3．已知变量x ，y 满足约束条件????? x ＋y ≥3，x －y ≥－1，

2x －y ≤3，

则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( ) A ．[7,23]

B ．[8,23]

C ．[7,8]

D ．[7,25] 解析：画出不等式组????? x ＋y ≥3，x －y ≥－1，

2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影

部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23

x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组????? x ＋y ＝3，

2x －y ＝3，

得????? x ＝2，y ＝1，

所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组????? x －y ＝－1，2x －y ＝3，得????? x ＝4，y ＝5，

所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23，故选A. 答案：A

4．已知点P (x ，y )满足????? x ≥1，y ≤1，x －y －1≤0，

目标函数z ＝x ＋ay (a <0)的最大值和最小值之和为0，

则a 的值为( )

A ．－32

B ．－2

C ．－1

D ．－12

解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,0)，B (2,1)，

C (1,1)，当z ＝x ＋ay 过点A ，B ，C 时，z 的值分别为1,2＋a,1＋a .∵

a <0，∴z min ＝1＋a .

4 ①当2＋a >1，即a >－1时，z max ＝2＋a ，∴2＋a ＋1＋a ＝0，a ＝－32

(舍去)； ②当2＋a ≤1，即a ≤－1时，z max ＝1，∴1＋1＋a ＝0，a ＝－2，符合条件，故选B. 答案：B

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域|

1．(2016·济南模拟)不等式组????? 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，

y ≤2

表示的平面区域的面积为( )

A ．4

B ．1

C ．5

D ．无穷大 解析：不等式组??? 2x ＋y －6≤0，

x ＋y －3≥0，

y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影

部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，

(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12

×(2－1)×2＝1. 答案：B

2．(2015·高考重庆卷)若不等式组????? x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，

x －y ＋2m ≥0，

表示的平面区域为三角形，且其面积等于

43

，则m 的值为( ) A ．－3

B ．1 C.43 D ．3 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可

知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m >－1. 由?????

x ＋y －2＝0，

x －y ＋2m ＝0

5 解得????? x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由?????

x ＋2y －2＝0，

x －y ＋2m ＝0， 解得??? x

＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ????23－43

m ，23＋23m . 因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )????(1＋m )－????23＋23m ＝13(m ＋1)2＝43

，所以m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B.

答案：B

3．设集合A ＝??????

????(x ，y )??? ????? x ≥1，y ≥1，

2x ＋y ≤10

，B ＝{(x ，y )|3x －y －11＝0}，则A ∩B 中元素的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无数 解析：由题意作出集合A 表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B 表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故A ∩B 中的元素有无数个．

答案：D

确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点．

6 考点二 线性目标函数的最值及应用|

线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．

归纳起来常见的命题探究角度有：

1．求线性目标函数的最值．

2．求非线性目标函数的最值．

3．求线性规划中的参数．

4．线性规划的实际应用．

探究一 求线性目标函数的最值

1．(2015·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件????? x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，

x ＋2y －2≤0，

则z ＝x ＋y 的最大值为

________．

解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ???

?1，12处，z 取得最大值，且z max ＝32

.

答案：32

探究二 求非线性目标函数的最值

2．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件????? x －1≥0，x －y ≤0，

x ＋y －4≤0，则y x

的最大值为________． 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1,3)处，y x

取得最大值3.

7

答案：3

探究三 求线性规划中的参数值或范围

3．(2015·高考山东卷)已知x ，y 满足约束条件????? x －y ≥0，x ＋y ≤2，

y ≥0.

若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )

A ．3

B ．2

C ．－2

D ．－3

解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为

目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点

时，在y 轴上的截距的最大值为4，作出过点D (0,4)的直线，由图可知，目

标函数在点B (2,0)处取得最大值，故有a ×2＋0＝4，解得a ＝2.

答案：B

4．已知实数x ，y 满足不等式组????? x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，

2x －y －5≤0，

若目标函数z ＝y －ax (a ∈R )取最大值时的唯

一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是( )

A ．(1，＋∞)

B ．[1，＋∞)

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞) 解析：如图所示，当a ≤0时，直线y ＝ax ＋z 知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a >0时，目标函数z ＝y －ax 要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a >1，故选

A.

8 答案：A

探究四 线性规划的实际应用

5．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )

甲 乙 原料限额 A (吨)

3 2 12 B (吨)

1 2 8 A.12万元

B ．16万元

C ．17万元

D ．18万元

解析：根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则

????? x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的

平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.

答案：D

1．求目标函数的最值的三个步骤：

一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有：

(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .

求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b

，通过求直线的截距z b

的最值间接求出z 的最值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.

(3)斜率型：形如z ＝y －b x －a

.

9 20.转化思想在非线性目标函数最值问题中的应用

【典例】 变量x ，y 满足????? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，

x ≥1，

(1)设z ＝y 2x －1

，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；

(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．

[思维点拨] 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0???

?x －12表示点(x ，y )和????12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．

[解] (1)由约束条件????? x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，

x ≥1，

作出(x ，y )的可行域如图所示． 由?????

x ＝1，3x ＋5y －25＝0， 解得A ?

???1，225. 由?

???? x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由?????

x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12

×12 ∴z 的值即是可行域中的点与????12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12

×12＝29.

10 (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.

∴2≤z ≤29.

(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，

d min ＝1－(－3)＝4，

d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8.

∴16≤z ≤64.

[方法点评] (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．

(2)解决这类问题的关键是利用转化思想与数形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义．

(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．

[跟踪练习] (2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组????? x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，

x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )

A.94

B.47

C.34

D.12

解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan

∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α

＝

2－121＋2×12＝34，故选

C.

答案：

C

11 A 组 考点能力演练

1．(2016·唐山期末)设变量x ，y 满足????? x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，

2x －y －3≤0，

则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )

A ．7

B ．8

C ．22

D ．23 解析：变量x ，y 满足的区域如图阴影部分所示：

目标函数z ＝2x ＋3y 在点(2,1)处取得最小值7，故选A.

答案：A

2．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组????? y ≤1，x ＋y －2≥0，

x －y －1≤0，

所表示的平面区域上一动点，则

直线OP 斜率的最大值为( )

A ．2

B.13

C.12 D ．1 解析：作出可行域如图所示，当点P 位于?????

x ＋y ＝2，

y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1，故选

D.

答案：D

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )

A ．2

B ．1

12 C.12 D.14

解析：不等式?

???? x ＋y ≤1，

x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －

y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即

点(a ，b )满足约束条件????? 0≤a ≤1，－1≤b ≤1，

0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得

该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12

×2×1＝1，故选

B.

答案：B

4．设x ，y 满足约束条件????? 3x －y －2≤0，x －y ≥0，

x ≥0，y ≥0，

若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为4，则

ab 的取值范围是( )

A ．(0,4)

B ．(0,4]

C ．[4，＋∞)

D ．(4，＋∞) 解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤? ??

??a ＋b 22＝4，∵a >0，b >0，∴ab ∈(0,4]，故选

B.

13 答案：B

5．已知实数x ，y 满足：????? x －2y ＋1≥0，x <2，

x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )

A.????53，5 B ．[0,5] C.????53，5 D.???

?－53，5 解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可

知2×13－2×23

－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是????－53，5

.

答案：D

6．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边

界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得

最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．

解析：由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，

结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝ 3. 答案： 3

7．已知实数x ，y 满足????? x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，

y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．

解析：目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义

是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作

出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2

＝322，所以w min ＝92. 答案：92

14 8．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．

解析：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，

由题意知????? x ≥0，y ≥0，

3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴

影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．

答案：27

9．已知实数x ，y 满足??? 0≤x ≤2，

y ≤2，x ≤2y ，求z ＝2x ＋y －1x －1

的取值范围． 解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝

2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1

的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，

1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．

10．若x ，y 满足约束条件????? x ＋y ≥1，x －y ≥－1，

2x －y ≤2.

(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12

的最值； (2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．

解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移

初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.

15 所以z 的最大值为1，最小值为－2.

(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2

<2，解得－4<a <2. 故所求a 的取值范围为(－4,2)．

B 组 高考题型专练

1．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件?????

x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，

则目标函数z ＝x ＋6y 的最

大值为( )

A ．3

B ．4

C ．18

D ．40 解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值

18.

答案：C

2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件?????

x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )

A ．－5

B ．3

C ．－5或3

D ．5或－3

解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．

当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．

由?

???? x －y ＝－1，

x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．

z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．

16 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．

由????? x －y ＝－1，

x ＋y ＝3

得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．

答案：B

3．(2015·高考广东卷)若变量x ，y 满足约束条件????? 4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，

0≤y ≤2，

则z ＝3x ＋2y 的最小值为( ) A ．4

B.235 C ．6 D.315

解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y ＝－32x ＋z 2

经过点A 时z 取得最小值．由????? x ＝1，

4x ＋5y ＝8，

得????? x ＝1，y ＝45

，此时，z min ＝3×1＋2×45＝235. 答案：B

4．(2014·高考安徽卷)不等式组????? x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，

x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12

×2×(2＋2)＝

4.

答案：4

17 5．(2015·高考北京卷)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．

解析：由题意，目标函数z ＝2x ＋3y 的可行域为△ABC 边界及其内

部(如图所示)，令z ＝0，即2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0至目标函数

的可行域内，可知当2x ＋3y ＝z 过点A (2,1)时，z 取得最大值，即z max ＝2×2

＋3×1＝7.

答案：7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wnxi.html