高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角课堂导学案新人教A版必修4

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课堂导学

三点剖析

1.任意角的概念和象限角的概念 【例1】 若α是第四象限角，那么

?是第几象限角？ 2思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定

?的范围. 2解：∵α是第四象限角.

∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,则有，

?＜180°+k·180°(k∈Z). 2?当k=2n(n∈Z)时，135°+n·360°＜＜180°+n·360°,

2?∴是第二象限角. 2135°+k·180°＜当k=2n+1(n∈Z)时 315°+n·360°＜∴

?＜360°+n·360°， 2?是第四象限角. 2?综上所述，是第二或第四象限角.

2温馨提示

准确表示第四象限角，再分k为奇数、偶数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,是第二象限角.类似地，

?2??、都应分k为奇数，偶数讨论. 342.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示

【例2】 用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.

思路分析：运用两角关系及终边相同角解决. 解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.

1

在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为：

S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.

={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z}. ={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z}. ={β|β=45°+n·180°，n∈Z}

(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为： S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}.

={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}. ={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z}. ={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}.

(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为： S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z}.

={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z}. ={β|β=30°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z}.

n

={β|β=（-1）·30°+n·180°，n∈Z}. 3.任意角的概念

【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N等于( )

A.{锐角} B.{小于90°的角} C.{第一象限角} D.以上均不对 解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成. 而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.

M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D. 温馨提示

（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.

（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意. 各个击破 类题演练1

如果α是第三象限角，那么

?的终边落在何处？ 2解：因为α是第三象限角，

所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z. 所以

k?k·360°+90°＜＜·360°+135°,k∈Z. 222当k为奇数时，令k=2n+1，n∈Z, 则n·360°+270°＜

??＜n·360°+315°，n∈Z,故是第四象限角； 22当k为偶数时，令k=2n,n∈Z, 则n·360°+90°＜综上可知，

??＜n·360°+135°，n∈Z,所以是第二象限角. 22?是第二或第四象限角. 2其终边分别落在第Ⅱ、Ⅳ象限. 变式提升1

若α是第二象限角，

?是第几象限角？ 32

解：因为α是第二象限角，则有：

k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，所以k·120°+30°＜k∈Z.

?＜k·120°+60°，3??＜m·360°+60°，m∈Z,所以是第一象限角. 33??当k=3m+1(m∈Z)时，m·360°+150°＜＜m·360°+180°，m∈Z,所以是第二象限角.

33??当k=3m+2(m∈Z)时，m·360°+270°＜＜m·360°+300°，m∈Z,所以是第四象限角.

33?因此是第一、二、四象限角.

3当k=3m(m∈Z)时，m·360°+30°＜

类题演练2

已知α=1 690°，

（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式；

（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限. 解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）. (2)∵θ与α终边相同，

∴θ角可写成250°+k·360°. 又∵-360°＜θ＜360°,

∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z. 解得k=-1或0.

∴θ=-110°或250°, ∴θ是第三象限角. 变式提升2

（1）与-457°角终边相同角的集合是（ ）

A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z} B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z} C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z} D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z} 解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C. 解法2：∵-457°角与-97°角终边相同， 又-97°角与263°角终边相同，

又263°角与k·360°+263°角终边相同， ∴应选C. 答案：C

（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（ ） A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上 解析：∵角α、β终边相同， ∴α=k·360°+β,k∈Z,

作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z. ∴α-β的终边在x轴的非负半轴上. 答案：A 类题演练3

用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的

3

角”“0°—90°的角”.

解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}

第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z} 锐角的集合为{α|0°＜α＜90°} 小于90°的角的集合为{α|α＜90°}

0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°} 变式提升3

下列命题中，正确的是（ ）

A.终边相同的角一定相等 B.锐角都是第一象限角 C.第一象限的角都是锐角 D.小于90°的角都是锐角

解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B. 答案：B

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