高中数学公式大全(必备版)
更新时间:2023-05-07 17:19:01 阅读量: 实用文档 文档下载
高中数学公式及知识点速记
1、函数的单调性
(1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数;
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,
若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;
若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数;
)
若()=0f x ',则)(x f 有极值。
2、函数的奇偶性
若)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数;偶函数的图象关于y 轴对称。 若)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数;奇函数的图象关于原点对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率,相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
4、几种常见函数的导数
①'C 0=; ②1')(-=n n nx x ; ③x x cos )(sin '=; ④x x sin )(cos '-=; 。
⑤a a a x x ln )('=; ⑥x x e e =')(; ⑦a x x a ln 1)(log '=; ⑧x x 1)(ln '=
5、导数的运算法则
(1)'''()u v u v ±=±.
(2)'''()uv u v uv =+.
(3)''
'2
()u u v uv v v -=. 6、求函数()y f x =的极值的方法是:解方程()0f x '=得0x .当()00f x '=时:
① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么()0f x 是极大值; ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么()0f x 是极小值. —
7、分数指数幂
(1)m n a
=.
(2)1
m
n m
n a a -==.
8、根式的性质
(1
)n a =.
(2)当n
a =;
当n
,0
||,0
a a a a a ≥?==?
-.
9、有理指数幂的运算性质 … (1)r
s r s a
a a +?=;
(2)()r s
rs
a a =;
(3)()r r r
ab a b =. 10、对数公式
(1)指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=。
(2)对数的换底公式 :log log log m a m N
N a
=.
( 3)对数恒等式:①log log n
a a
b n b =; ②log log m n a a n
b b m
=
; ③log a N
a
N =; ④log 10a =; ⑤log 1a a =
)
11、常见的函数图象
12、同角三角函数的基本关系式
22sin cos 1θθ+=,tan θ=θ
θ
cos sin .
13、正弦、余弦的诱导公式
诱导公式一:sin(α+k ?2π)=sin(α+2k π)=sin α; cos(α+k ?2π)=cos(α+2k π)=cos α ]
tan(α+k ?2π)=tan(α+2k π)=tan α 诱导公式二:sin(πα+)=-sin α; cos(πα+)=-cos α; tan(πα+)=tan α.
诱导公式三:sin (α-)=-sin α; cos (α-)=cos α; tan (α-)=-tan α. 诱导公式四:sin(πα-)=sin α; .
cos(πα-)=-cos α; tan(πα-)=-tan α. 诱导公式五:sin(
2
π
α-)=cos α;
cos(
2πα-)=sin α; 诱导公式六:sin(
2πα+)=cos α; cos(2
π
α+)=-sin α. 14、和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
—
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±
=. sin cos a b αα+)α?+;(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?=
). 15、二倍角公式
sin 2sin cos ααα=.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα
=-. 公式变形: ;2
2cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= @
16、三角函数的周期
函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期2||T πω=,最大值为|A|;函数tan()y A x ω?=+(2x k π
π≠+)的周期||
T πω=. 17.正弦定理 :
2sin sin sin a b c R A B C
===(R 为ABC ?外接圆的半径). 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===
::sin :sin :sin a b c A B C ?=
18.余弦定理
2222cos a b c bc A =+-;
2222cos b c a ca B =+-;
…
2222cos c a b ab C =+-.
19.面积定理
111sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===. 20、三角形内角和定理
在△ABC 中,有A B C π++=
()C A B dx π?=-+
222
C A B π+?=- 222()C A B π?=-+.
|
21、三角函数的性质
]
22、a与b的数量积:a·b=|a| |b|cosθ.
23、平面向量的坐标运算
(1)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++.
(3)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --.
(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ.
:
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212x x y y +. (6)设a =),(y x ,则22y x a +=
24、两向量的夹角公式:2
1cos
a b
x a b θ?==+?;(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
25、平面两点间的距离公式:,A B d =||AB =26、向量的平行与垂直: 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则
a ∥
b ?b =λa 12210x y x y ?-=.
a ⊥
b ?a ·b=012120x x y y ?+=.
27、数列的通项公式与前n 项的和的关系
~
11
,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?;( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).
28、等差数列的通项公式 11(1)n a a n d dn a d =+-=+-;
29、等差数列其前n 项和公式为
1()2
n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. 30、等差数列的性质:
①等差中项:2n a =1n a -+1n a +;
②若m+n=p+q ,则m a +n a =p a +q a ;
&
③m S ,2m S ,3m S 分别为前m ,前2m ,前3m 项的和,则m S ,2m S -m S ,3m S -2m S 成等差数列。
31、等比数列的通项公式
11n n a a q -=;
32、等比数列前n 项的和公式为
11
(1),11,1n n a q q q s na q ?-≠?-=??=? 或 11,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?. 33、等比数列的性质:
①等比中项:2n b =11n n b b -+?;
②若m+n=p+q ,则m n b b ?=p q b b ?;
)
③m S ,2m S ,3m S 分别为前m ,前2m ,前3m 项的和,则m S ,2m S -m S ,3m S -2m S 成等比数列。
34、常用不等式:
(1),a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).
(2),a b R +∈
?2
a b +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).
【
35、直线的3种方程
(1)点斜式:11()y y k x x -=-; (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ).
(2)斜截式:y kx b =+;(b 为直线l 在y 轴上的截距).
(3)一般式:0Ax By C ++=;(其中A 、B 不同时为0).
36、两条直线的平行和垂直
若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+
①121212||,l l k k b b ?=≠且;
!
②12121l l k k ⊥??=-.
37、点到直线的距离
d =; (点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 38、 圆的2种方程
(1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.
(2)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+??=+?
. 39、点与圆的位置关系:点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若d =
— d r >?点P 在圆外;
d r =?点P 在圆上;
d r
40、直线与圆的位置关系
直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 其中22B A C Bb Aa d +++=
0d r >???<相离方程组无解:;
0d r =???=相切方程组有唯一解:;
0d r ??>相交方程组有两个解:. —
41、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质 ①椭圆:22
221(0)x y a b a b
+=>>,焦点(±c,0),222b c a =-,离心率2=2a c e c a ==焦距长轴,参
数方程是cos sin x a y b θ
θ=??=?
.
②双曲线:122
22=-b y a x (a>0,b>0),焦点(±c,0),222b a c =-,离心率2=2a c e c a =
=焦距长轴,渐近线方程是x a
b y ±=.
③抛物线:px y 22=,焦点)0,2(p ,准线2
p
x -=。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的
距离.
42、双曲线的方程与渐近线方程的关系 ;
若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a
b
y ±=.
43、抛物线px y 22=的焦半径公式
抛物线22y px =的焦半径2||0p x PF +=.(抛物线上的点(0x ,0y )到焦点(2
p
,0)距离。)
44、平均数、方差、标准差的计算
平均数:n
x x x x n
++=21;
方差:])()()[(1
222212x x x x x x n s n -+-+-= ;
标准差:])()()[(1
22221x x x x x x n
s n -+-+-= ; 45、回归直线方程
【
y a bx =+,其中()()()1122211
n n
i i i i i i n n
i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====?
---?
?==?--??
=-?∑∑∑∑. 46、独立性检验
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bd ac n K ++++-=;n=a+b+c+d.
①K ﹥,有99%的把握认为X 和Y 有关系; ②K ﹥,有95%的把握认为X 和Y 有关系; ③K ﹥,有90%的把握认为X 和Y 有关系; !
④K ≤,X 和Y 没关系。 47、复数
①z a bi =+共轭复数为z a bi =-;
②复数的相等:,a bi c di a c b d +=+?==;
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否互逆否互为逆否
互
互逆
否
互③复数z a bi =+的模(或绝对值)||z =||a bi +
④复数的四则运算法则
(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; ;
(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;
(4)()222222
()()ac bd bc ad i ac bd bc ad
a bi c di i c d c d c d
++-+-+÷+=+=+++ ⑤ 复数的乘法的运算律 交换律:1221z z z z ?=?.
结合律:123123()()z z z z z z ??=??. 分配律:1231213()z z z z z z z ?+=?+? .
*
48、参数方程、极坐标化成直角坐标
①???==y x θρθρsin cos ; ② ??
???≠=+=)
0(tan 2
22x x y y x θρ 49、命题、充要条件
充要条件(记p 表示条件,q 表示结论;即命题“若p ,则q ”) ①充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. ②必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件.
③充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. ④命题“若p ,则q ”的否命题:若p ?,则q ?;
(
否定:若p ,则q ?
50、真值表
!
51、
量词的否定
①含有一个量词的全称命题的否定:
全称命题p :,()x M p x ?∈,它的否定 p ?
:00,()x M p x ??∈
②含有一个量词的特称命题的否定:
特称命题p :00,()x M p x ?∈ ,它的否定p ?:,()x M p x ??∈
<
!
】
52、空间点、直线、平面之间的位置关系
①公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理1的作用:判断直线是否在平面内
②公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理2的作用:确定一个平面的依据。 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2:两条相交直线确定一个平面。 公理2
(
推论3:两条平行直线确定一个平面。
③公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理3的作用:判定两个平面是否相交的依据
53、空间中直线与直线之间的位置关系
①空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内;有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内;没有公共点; 异面直线:不在同一个平面内;没有公共点。 ②公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线
%
a ∥
b
c ∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
③等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
注意点:
1.两条异面直线所成的角θ∈(0, ];
<
C · * B · A · α P · 。 α L
β 共面直线 ?a ∥c 2π
2.当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
3.两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
54、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线在平面外直线与平面相交——有且只有一个公共点
直线在平面平行——没有公共点
注:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示、
a αa∩α=A a∥α
55、直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:a α
b β a∥α
a∥b
56、平面与平面平行的判定
①两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面
平行。
符号表示:a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
②判断两平面平行的方法有三种:
(1)判定定理;
(2)平行于同一平面的两个平面平行;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
57、直线与平面、平面与平面平行的性质
①定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:a∥α
a βa∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
②定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
③两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。
58、直线与平面垂直的判定
①定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α。l
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
αp
②判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意:1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
59、平面与平面垂直的判定
①两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
60、直线与平面、平面与平面垂直的性质
①定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
②性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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