解排列组合应用题的21种策略
更新时间:2023-12-07 09:05:01 阅读量: 教育文库 文档下载
解排列组合应用题的21种策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
2.不相邻问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.
例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不
同的分配方案有
44C12C84C4A、CCC种 B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A3412484441248444124833
6.全员分配问题分组法:
例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为 A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
9.多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数,最后总计.
例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
(2)从1,2,3…,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
(3)从1,2,3,…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
10.交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(AB)?n(A)?n(B)?n(AB).
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
11.定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理. 例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽. 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.
例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
(2)9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同的分组方法?
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中,只有一部分合条件,可以从总数中减去不符合条件数,即为所求.
例15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
(2)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
16.圆排问题线排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,下列n个普通排列:
a1,a2,a3,an;a2,a3,a4,,an,;an,a1,,an?1在圆排列中只算一种,因为旋转后可
以重合,故认为相同,n个元素的圆排列数有
n!种.因此可将某个元素固定展成n线排,其它的n?1元素全排列.
例16.5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有多少种不同站法?
17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可逐一安排元素的位置,一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除?
21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.(1)圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个?
(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成,其中实线表示马路,从A到B的最短路径有多少种?
B
A
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