第2章 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型（2章补充）

描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模型；

描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数学模型。 同一系统可用不同的数学模型形式描述，

输入输出型，外部描述，经典控制理论的主要研究方法。

状态变量型，内部描述，适用于多输入多输出系统、时变、非线性和随机控制系统。本课略 方框图模型，描述系统结构比较直观。

传递函数：按0初始态进行拉氏变换，将微分方程转换成数学方程以方便分析和计算。

时域响应：信号按时间变化的规律。微分方程形式

频域响应：信号按频率变化的规律。将传递函数中的S用jω代换 两者之间有确定的对应关系。

数学模型的建立方法有分析法和实验法两类。

分析法是依据物理和化学定律，列写出各变量之间的数学关系式。也称为解析法。

实验法是对系统施加某种典型输入信号，记录其输出响应，比对已知关系得到系统的数学模型。

时域数学模型举例

在如图无源电路网络系统中，R1和R2为电阻，C为电容，

ui(t)为输入电压；uo(t)为输出电压。根据基尔霍夫定律和欧

姆定律，有

ioio?C?o

R1dtR2 （2-1） du(t)R?R2du(t)R1Co?1uo(t)?R1Ci?ui(t) dtR2dt整理后输入输出模型为 （2-2）

u(t)?u(t)d[u(t)?u(t)]u(t)

C为电容，ui(t)有源电路网络系统如图，R为电阻，

为输入电压；uo(t)为输出电压，K0为理想运算放大器。

运算放大器的反相输入端A点为虚地点，则

i1(t)?i2(t)

1

据此，可列出ui(t)和uo(t)的关系：

经整理，

ui(t)du(t)??Co （2-3） RdtRCduo(t)??ui(t) （2-4） dt

图2-3中水箱的流入流量为Qi，流出流量QO，它们都受相应的阀门控制。

设该系统的输入量为Qi，输出量为液面高度H，

则它们之间的微分方程式可列写如下： 设液体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得：

AdH??Qi?Qo?dt

i o

dHQ?Q?dtA (2-5)

式中 A—水箱截面积(米2)；H —液面高度(米)；Qi、QO—流入、流出液体流量(米3 /秒)。

这里QO是个变量，所以须求出中间变量QO才能得到H与Qi的关系。 假设通过节流阀的流体是紊流，按流量公式可得

Qo??H???H??'H?H0?H?HR

(2-6)

式中α为节流阀的流量系数，当H变化不大时，α可近似认为只与节流阀的开度有关，若节流阀开度不变，则α为常数。

消去中间变量QO，就得输入输出关系式

dH?1?H?Qi (2-7) dtAA这是个一阶非线性微分方程式。

对于较复杂的系统，列写输入输出系统微分方程可采用以下一般步骤：

（1） 将系统划分为环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节可考虑列写一个方程。 （2） 根据定律或通过实验等方法得出的规律列写各环节的方程式，并考虑适当简化，线性化。 （3） 消去中间变量，最后得出只含输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。

2

单输入、单输出系统用微分方程表示的数学模型有如下的一般形式：

ddndn?1a0nc(t)+a1n?1c(t)+?+an?1c(t)?anc(t)

dtdtdtddmdm?1r(t)?bmr(t) （2-8） =b0mr(t)?b1m?1r(t)+?+bm?1dtdtdt式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，?，an，b0，b1，?，bm是与系统结构参数有

关的常系数。

令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，可得到s的代数方程

[a0s+a1snn?1+?+an?1s+an]C(s)=[b0s+b1smm?1+?+bm?1s+bm]R(s) （2-9）

于是，系统的传递函数为：

C(s)b0sm?b1sm?1???bm?1s?bm （2-10） G(s)??nn?1R(s)a0s?a1s???an?1s?an传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一是指输入作用是在t=0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二是指系统在输入作用加入前是相对静止的，因此，系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。现实的控制系统多属此类情况，这时，传递函数可以完全表征系统的动态性能。

传递函数的性质

传递函数是个非常重要的概念，它是分析线性定常系统的有利数学工具，它有以下特点： C(s) R(s) （1）传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与初始条G(s) 件和输入无关。

图2-4 传递函数的图示 （2）传递函数只适用于线性定常系统，因为它是由拉氏变换

而来的，而拉氏变换是一种线性变换。

（3）传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，m≤n且所有系数均为实数。

（4）传递函数与微分方程是一一对应的。传递函数分子多项式系数及分母多项式系数，分别与

d相应的微分方程的右端及左端微分算符多项式系数相对应。故将微分方程的算符

dt用复数s置

换便得到传递函数；反之，将传递函数多项式中的变量s用算符dt置换便得到微分方程。 （5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，对于多输入-多输出系统，不能用一个传递函数去描述，而要用传递函数矩阵去表征系统输入与输出间的关系。

（6）传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲?(t)输入

?1?1?1R(s)?L[?(t)]?1g(t)?L[C(s)]?L[G(s)R(s)]?L[G(s)]。 时的输出响应，此时，故有

d（7）传递函数的零点和极点。传递函数用因式连乘的形式表示：

3

G(s)?C(s)k(s?z1)(s?z2)?(s?zm)?R(s)(s?p1)(s?p2)?(s?pn)， m≤n

式中k为常数，-z1,?,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,?,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。显然，零、极点的数值完全取决于诸系数b0?bm及a0?an，亦即取决于系统的结构参数。一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-8所示。图中零点用“ ”表示，极点用“ ”表示。

?1?i1

典型环节及其传递函数

不管元件是机械式、电气式、气动式或液压式等等，只要它们的数学模型一样，它们就是同一种环节。这样划分，为系统的分析和研究带来很多方便，对理解和掌握各种元件对系统动态性能的影响也很有帮助。

以下列举几种典型环节及其传递函数。它们的阶数不超过2。 （一）比例环节

在时域里，若某环节的输入、输出函数成比例，可表示为

c(t)?Kr(t) 设初始条件为零，将上式两边进行拉氏变换得

C(s)?KR(s)

则比例环节的传递函数为 G(s)= K （2-12)

这表明，比例环节输出量与输入量成正比，不失真也不迟延，所以又称为无惯性环节或放大环节。无弹性变形的杠杆、不计非线性和惯性的电子放大器、测速发电机（输出为电压、输入为转速时）等都可认为是比例环节。

图2-6(a)所示为一电位器，它的输入电压经分压后作为输出电压，所以在不考虑负载效应时，电位器可以看成比例环节。这一环节的输入量和输出量关系，可用图2-6(b)所示的方框图来表示。

（a） (b)

图2-6 比例环节

（二）惯性环节

4

在时域里，输入、输出函数可表示为如下一阶微分方程：

T

设初始条件为零，将上式两边进行拉氏变换得 TsC(s)?C(s)?KR(s) 则惯性环节的传递函数为

dc(t)?c(t)?Kr(t)dt

G(s)?

KTs?1 （2-13）

式中 K——环节的比例系数；T——环节的时间常数。 图2-7惯性环节 当环节的输入量为单位阶跃函数时，若环节的输出量按指数曲线上升，就具有惯性。

（三）积分环节

如果输出变量正比于输入变量对时间的积分，即

c(t)?K?r(t)dt

C(s)?K 进行拉氏变换后得

R(s)s

G(s)? 则积分环节的传递函数为 式中

K1?sTis （2-14）

Ti为积分时间，K为积分增益

图2-8积分环节

当积分环节的输入信号为单位阶跃函数时，则输出为tTi，它随着时间直线增长，如图2-8(a）

所示。直线的增长速度由Ti决定，即Ti越小，上升越快。当输入为0，输出维持不变，故有记忆功能。对于理想的积分环节，只要输入信号不为0，输出就要不断变化，直至无限（当然，对于实际元件，由于能量有限、饱和限制等，是不可能到达无限的）。

比较图2-7(a)和图2-8(a)，当惯性环节的时间常数很大，在起始的一段时间内，输出响应曲线近似为直线，所以这时惯性环节的作用就近似一个积分环节。图2-8(b)为控制系统中一种常用的积分调节器。积分时间常数为RC。

（四）微分环节 1、理想微分环节

如果输出变量与输入变量的变化率成正比，即

c(t)?Td式中，Td为微分时间。

5

dr(t) dt

进行拉氏变换后得 C(s)?TdsR(s) 则理想微分环节的传递函数为

G(s)?Tds (2-15)

如输入是单位阶跃函数1(t)，则理想微分环节的输出为c(t)=?Td?(t)，是个脉冲函数（理想的）。由于微分环节是按输入信号的变化趋势输出，所以常用来改善控制系统的动态性能。

d(u1?u2)u2C?

dtR

RCS(u1?u2)?u2

u2RCS?

u1RCS?1

图2-9 微分环节

理想微分环节是物理不可实现的，实际上只有近似的。如图2-9，其中(a)为测速发电机，当其输入为转角?，输出为电枢电压u时，则有u?Ktd?。 图中(b)为微分运算器，它是近似的理想微分dt环节。

2、实际微分环节

在实际系统中，微分环节常带有惯性，输出变量与输入变量之间的关系为

Tddc(t)dr(t)?c(t)?kdTd dtdt 式中，Td为微分时间，kd为微分增益

进行拉氏变换后得到实际微分环节的传递函数为 G(s)?kdTds (2-16)

Tds?1它由理想微分环节和惯性环节串联组成，如图2-9(c)、(d)所示。只有应用在低频时它们才近似为理想微分环节。

（五）二阶振荡环节

该环节包含有两个储能元件，在输入信号作用时，两个储能元件进行能量交换。 图2-10为单位阶跃函数作用下的响应曲线。它的传递函数为

?n21?2 G(S)?22 (2-17) 2TS?2T?S?1S?2?n?S??n 6

?n—无阻尼自然振荡频率，?n=1/T； ??—阻尼比，0

图2-10 二阶振荡环节的单位阶跃响应曲线

对二阶振荡环节的详细分析，将在第三章中进行。

机械位移系统、R-L-C电路、只考虑电枢电压控制作用的直流电动机(输出为转速)等，从传递函数上看都是振荡环节。

（六）纯滞后环节

在实际系统中经常会遇到这样一种典型环节，当输入信号加入后，要隔一段时间后它的输出端发出复现的输入信号。

如图2-11所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一个时间? 后才出现阶跃信号，在0＜t＜? 内，

(又称死时)。纯滞后环节也是线性环

节，具有纯滞后环节的系统叫做纯滞后系统。

图2-11 纯滞后环节 纯滞后环节的传递函数可如下求出

c(t)= r(t－τ) 查表

C(s)G(s)??e??s

R(s) （2－18）

系统中若具有纯滞后环节，对系统的稳定性不利，滞后越大，影响越大。

大多数过程控制系统中，都具有纯滞后环节，例如物质的传输，从输入口送至输出口存在传输时间(即滞后时间)，介质压力或热量在管道中的传播有传播滞后，以及各种机构运行中有滞后等。

以上是线性定常系统中几个最基本环节的数学模型。一个器件可能是一个典型环节，也可能由几个典型环节组成。

常见时间函数拉氏变换对照表见附录一，拉氏变换的几个重要性质见附录二。

7

2.4 系统方框图及其简化

采用方框图表示的控制系统，不仅简明的表示了系统中各环节间的关系和信号的传递过程，而且根据下述的方法不用消元就能较方便的求得系统的传递函数。方框图既适用于线性系统也适用于非线性系统。因此，它在控制工程中得到广泛的应用。 方框图简介

1、方框图单元（或环节）

如图2-12所示。

E(s)?X1(s)?X2(s) X1(s) + C(s) R(s)

G(s) + 图2-12 方框图单元

X2(s) 图2-13 相加点 图中指向方块的箭头表示输入，从方块出来的箭头表示输出，箭头上表明了相应的信号，G(s)表示其传递函数。输出量等于输入量乘以传递函数。 2、相加点

如图2-13所示。

相加点代表两个或两个以上的输入信号进行代数和运算，箭头上的“+”或“-”表示信号相加还是相减，代数和的量应具有相同的量纲。 3、引出点

X1(s)

如图2-14所示。

引出点表示信号分支的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。（信息不守恒） X(s) 2

2.4.2 绘制系统方框图的一般步骤

图2-14 引出点 绘制系统方框图的一般步骤如下：

1、写出系统中每个部件的运动方程。在列写每个部件的运动方程式时，必须要考虑相互连接部件间的负载效应。

2、根据部件的输入输出关系式，写出相应的传递函数。一个部件用一个方框单元（或环节）表示，在方框中填入相应的传递函数。

3、根据信号的流向，将各方框单元（或环节）依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端。

8

例2.1 绘制两级RC网络(见图2-15)的方框图。 解 利用复阻抗概念，列写运动方程式 I1(s)?Ur(s)?U1(s)U(s)?Uc(s)，I2(s)?1

R1R21I1(s)?I2(s)，Uc(s)?I2(s)

C1sC2s U1(s)?根据上述四式，作出它们对应的方框图，根据信号流向，将各方框单元依次连接起来，就得到如图

2-16所示的方框图。

图2-15 两级RC串联网络的线路图 图2-16 两级RC串联网络的方框图

从图中明显地看到，后一级网络作为前一级网络的负载，会对前级网络的输出电压u1产生影响，这就是负载效应。这表明，不能简单地用两个单独网络方框图的串联，表示组合网络的方框图。如果在两级网络之间，接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-17所示，则该电路的方框图就可由两个简单的RC网络方框图组成，如图2-18所示，这时两个网络之间的负载效应已被消除。

图2-17 带隔离放大器的两级RC网络 图2-18 图2-17的方框图

2.4.3方框图的等效变换

1、串联(相乘)

前一个方框的输出，作为后一个方框的输入，这种结构形式称为串联连接。两个传递函数分别为G1(s)与G2(s)的环节，以串联方式连接，如图2-19(a)所示。现欲将二者合并，用一个传递函数G(s)代替，并保持R(s)与C(s)的关系不变。

9

图2-19 串联结构的等效变换 由图2-19(a)可写出

消去U(s)，则有

所以 G(s)= G1(s)G2(s) (2-19)

等效简化框图如图2-19(b)所示。 2、并联 （相加）

两个或多个方框，具有同一个输入，而以各方框输出的代数和作为总输出，这种结构称为并联连接。如图2-21(a)所示。传递函数分别为G1(s)与G2(s)两个环节并联连接，其等效传递函数等于这两个传递函数的代数和，即

G(s)= G1(s)±G2(s) (2-20)

等效变换结果见图2-21(b)。

式(2-20)表明两个传递函数并联的等效传递函数，等于各传递函数的代数和。

3、反馈

一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端，这种结构称为反馈连接，如图2-23所示。

图2-21 两个方框并联的等效变换

图2-23 反馈连接

图中A处为比较点，两个信号代数相加后的E(s)，作为G(s)方框的输入，而G(s)的输出，作为H(s)方框的输入，并经H(s)又返回作用于G(s)方框的输入端，从而构成了由前向通路和反向通路组

10

成的反馈连接形式。返回至A处的信号取“＋”称为正反馈；取“－”称为负反馈。负反馈连接是控制系统的基本结构形式。图中由信号分支点B引出的信号均为C(s)，这是应该注意的。

图2-24(a）为反馈连接的一般形式，其等效变换结果如图2-24(b）所示。

图2-24 反馈连接的等效变换

由图2-24(a）按照信号传递的关系可写出

消去E(s)和B(s)，得

[1?G(s)H(s)]C(s)?G(s)R(s)

因此

C(s)G(s)? (2-21) R(s)1?G(s)H(s)故将反馈方框图等效简化为一个方框，方框内的传递函数为式(2-21)，称其为系统的闭环传递函数。式中分母上的加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。

若反馈通路的传递函数H(s)=1，常称作单位反馈，此时

C(s)G(s)? (2-22) R(s)1?G(s)式(2-19)~(2-22)为结构变换中最常用的基本公式，也称基本变换法则。

2.5 控制系统的传递函数

控制系统在工作过程中会受到两类外作用信号的影响。一类是有用信号，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用r(t)表示；另一类则是扰动，或称为干扰，常用n(t)表示。输入r(t)通常是加在系统的输入端，而干扰n(t)一般是通过各种途径作用在系统，体现在输出上。可经等效变换将扰动明确出来。一个闭环控制系统的典型结构可用图2-25表示。

图2-25 闭环控制系统典型结构

(一)系统的开环传递函数

11

在图2-25中，将H(s)的输出通路断开，亦即断开系统的主反馈通路，这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)，称为该系统的开环传递函数。它等于此时B(s)与R(s)的比值。注意：开环传递函数并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统在开环时的传递函数。

(二)输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数

令扰动n(t)=0，这时图2-25简化为图2-26，输出c(t)对输入r(t)之间的传递函数

?(s)? 称

C(s)G1(s)G2(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s) (2-23)

?(s)为在输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。

图2-26 r(t)作用下的系统方框图 图2-27 n(t)作用下系统的方框图

(三)扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数

为研究干扰对系统的影响，需要求出c(t)对n(t)之间的传递函数。这时，令r(t)=0，则图2-25简化为图2-27。由图可得

C(S)G2(S)Gn(S)?? N(S)1?G1(S)G2(S)H(S) (2-24)

称Gn(s)为在干扰n(t)作用下系统的闭环传递函数。

由于干扰n(t)在系统中的作用位置与输入信号r(t)的引入点不一定是同一个地方，故两个闭环传递函数一般是不相同的。这也表明研究系统闭环传递函数的必要性。

(四)系统的总输出

根据线性系统的迭加原理，系统的总输出应为各外作用引起的输出的总和。因而将式(2-24)与式(2-26)相加即得总输出量的变换式

(2-25)

(五)闭环系统的误差传递函数

在系统分析时，除了要了解输出量的变化规律之外，还经常关心控制过程中误差的变化规律。因为控制误差的大小，直接反映了系统工作的精度。故寻求误差和系统的控制信号r(t)及干扰n(t)之间的数学模型，就是很必需的了。

在图2-25中，规定被控量c(t)的测量装置的输出b(t)和给定值r(t)之差为系统的误差e(t) 即 或

12

图2-28 r(t)作用下误差输出的方框图 图2-29 n(t)作用下误差输出的方框图

1. r(t)作用下的误差传递函数，取n (t)=0时的E(s)/R(s)。则可通过图2-28求得 (2-26)

2. n(t)作用下系统的误差传递函数，取r(t)=0时的E(s)/ N(s)。通过图2-29可得 (2-27)

3. 系统的总误差，根据迭加原理可得

E(s)= Ge(s)R(s)+ Gen(s)N(s) (2-28)

(六)闭环系统的特征方程

将上面导出的六个传递函数表达式(2-23)、(2-24)、(2-25)、(2-26)、(2-27)及(2-28)相对比，可以看出它们虽然各不相同，但分母却是一样的，均为〔1+G1(s)G2(s)H(s)〕，这是闭环控制系统各种传递函数的规律。令

D(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)=0 (2-29) 称为闭环系统的特征方程。如果将式(2-29)改写成如下形式

(2-30)

Sn?an?1Sn?1???a1S?a0??s?p1??s?p2???s?pn??0

则-p1,-p2,?,-pn称为特征方程的根，或称为闭环系统的极点。

特征方程的根与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关，可用于判断系统的性能。

13

R1习 题

2-1、试求题图2-1所示电路的传递函数Eo(s)/Ei(s)。

R1C1C1eiR2eoC2eiR2eoC2

题图2-1（a） 题图2-1（b）

2-2、试分别写出题图2-2中各有源网络的传递函数UC(s)/ Ur(s)。

题图2-2

2-3、 题图2-3是某前馈控制系统的方框图。

N(s)K1??R(s)??K2?G(s)C(s)

题图2-3

假设扰动为单位阶跃函数N(s)?

1，选择K1和K2，使当R(s)?0时，由N(s)引起的输出C(s)?0。 s 14

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wmxr.html