2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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初中数学竞赛辅导资料——乘法公式

甲内容提要

1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广：

① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

－－－－－

(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－ ＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n

－－－

(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－ －ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：

－－－－－

（a－b）(an1+an2b+an3b2+ ＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时 an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

乙例题

例1. 己知x+y=a xy=b

求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b

②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab

③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4) =(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

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a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 ∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除

证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）

111111

∴4＋3能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5)

丙练习15 1． 填空：

①a2+b2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a－b)2+___ ③a3+b3=(a+b)3－3ab(___) ④a4+b4=(a2+b2)2－____ ,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____ ⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____ 2． 填空：

①(x+y)(___________)=x4－y4 ②(x－y)(__________)=x4－y4

③(x+y)( ___________)=x5+y5 ④（x－y）(__________)=x5－y5 3.计算：

①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律

⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74= 5..已知x+

1111

=3, 求①x2+2 ②x3+3 ③x4+4的值 xxxx

6.化简：①（a+b）2(a－b)2

②(a+b)(a2－ab+b2)

③(a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)

④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)

7.己知a+b=1, 求证：a3+b3－3ab=1 8.己知a2=a+1，求代数式a5－5a+2的值 9.求证：233＋1能被9整除

10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方

11．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是a,b,c

①

②

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练习15

4. 十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的

百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积 8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)2

9. ①可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0 ②

(ab+ac+bc) 2

初中数学竞赛辅导资料——二元一次方程的整数解

甲内容提要

1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，

若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解

显然a,b互质时一定有整数解。

例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：

若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。

方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解

1 11y1 y 10y1 y

2y (1) , =

5551 y

k(k是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5

解：x=

把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是 方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解

x 11k 2

（k是整数）

y 1 5k

x x0 x x0 bk

则通解是（x0,y0可用观察法） y y0 y y0 ak

3， 求二元一次方程的正整数解：

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① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。

乙例题

例1求方程5x－9y=18整数解的能通解

18 9y15 10y 3 y3 y

3 2y 5553 y

k（k为整数）设，y=3－5k, 代入得x=9－9k 5

x 9 9k

∴原方程整数解是 （k为整数）

y 3 5k

解x=

又解：当x=o时，y=－2，

x 0 9y x 0

∴方程有一个整数解 它的通解是 （k为整数）

y 2 5ky 2

从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。

例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 设

100 6yy

20 y (1)， 55

y

k(k为整数)，则y=5k,(2) 5

把（2）代入（1）得x=20-6k，

x 0 20 6k 0∵ 解不等式组

y 05k 0

20

得0＜k<,k的整数解是1，2，3，

6

x 14 x 8 x 2

∴正整数解是

y 10y 15y 5

例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？

解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得

3x+5y=38 （x,y都是正整数）

x 1

∵x＝1时，y=7，∴ 是一个整数解

y 7

x 1 5k

∴通解是 （k为整数）

y 7 3k 1 5k 017

解不等式组 得解集是 k ∴整数k=0，1，2

53 7 3k 0

把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解

x 1 x 6 x 11

y 7 y 4 y 1

答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。 丙练习10

1， 求下列方程的整数解

①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4

2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110

3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，

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有几种截法可百分之百地利用钢材？

4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。 5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）

① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,

④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.

6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？

练习10

x 4 7k x 4

得通解 （k为整数）

y 0 k y 0

x 5 11k x 5

②由特解 得通解 （为k整数）

y 2 5ky 2

x 10k 31 10y1 y

整除法①∵x==-3y,……∴通解是 （k为整数）

33 y 1 3k x 3k 1

②通解是 （k为整数）

y 5 11k

x 2 x 9 x 16 x 22 3k22

＜k＜0 2. ① ② －

3 y 11 y 6 y 1 y 0 5k

1. 公式法①由特解 3. 有6种截法

甲＝5

乙＝34 甲＝10

乙＝28 甲＝15

乙＝22 甲＝20

乙＝16 甲＝25

乙＝10 甲＝19

乙＝5

4. 16，13 5. A，D. 6. 12 7.（略）

初中数学竞赛辅导资料——二元一次方程组解的讨论

甲内容提要

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a1x b1y c1

1． 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：

ax by c22 2

abc

① 当1 1 1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）

a2b2c2abc

② 当1 1 1时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）

a2b2c2ab

③ 当1 1（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：

a2b2

c1b2 c2b1 x a1b2 a2b1 （这个解可用加减消元法求得）

ca ca y 2112

a1b2 a2b1

2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不

等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题

5x y 7

例1. 选择一组a,c值使方程组

ax 2y c

① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解

解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解

解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。

解得a=10, c≠14。

③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，

即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a取什么值时，方程组

x y a

的解是正数？

5x 3y 31

解：把a作为已知数，解这个方程组

31 3a 31 3a

x 0 x 0 22得 ∵ ∴

5a 315a 31 y 0 y 0 2 2

31 a 11 3

解不等式组得 解集是6 a 10

53 a 31

5

11

答：当a的取值为6 a 10时，原方程组的解是正数。

53

2x my 4

例3. m取何整数值时，方程组 的解x和y都是整数？

x 4y 1

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8

x 1 m 8

解：把m作为已知数，解方程组得

2 y

m 8

∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。

∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。

经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。

例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？

解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得

x y z 100 (1)

1

3x 4y z 100(2) 7

由（1）得x= 100－y－z (3)

把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z－设

z

7

z

k(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 7

100 k 300 27k 09

∵x,y,z都是正整数∴ 200 20k 0解得 k. 10（k是整数）

7k 0 k. 0

1

∴10＜k<11, ∵k是整数， ∴k=11

9

即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)

丙练习11

1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：

3x 5y 1 x 2y 3 2x y 3

② ③

3x 5y 1 3x 6y 9 4x 2y 3

2

x 3y a a 1 2

2． a取什么值时方程组 9x 6y 9a 2a 2的解是正数？

①

3． a取哪些正整数值，方程组

x 2y 5 a

的解x和y都是正整数？

3x 4y 2a

x ky k

4． 要使方程组 的解都是整数， k应取哪些整数值？

x 2y 1

5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，

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鸡雏都买，可各买多少？

练习11

1. ①无数多个解 ②无解 ③唯一的解 2. a>1 3. a=1 4. –5,-3,-1,1

12 鸡翁＝4 鸡翁＝8 鸡翁＝

5. 鸡母＝15 鸡母＝11 鸡母＝4

鸡雏＝78 鸡雏＝81 鸡雏＝84

初中数学竞赛辅导资料——经验归纳法

甲内容提要

1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如

①由 ( － 1)2 ＝ 1 ，（－ 1 ）3 ＝－ 1 ，（－ 1 ）4 ＝ 1 ， ， 归纳出 － 1 的奇次幂是－ 1，而－ 1 的偶次幂 是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 × 10 ），

2

三位数从 100 到 999 共900个（9×10），

33

四位数有9×10＝9000个（9×10），

归纳出n 位数共有9×10n-1(个)

③ 由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42

推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。

2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。

由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

乙例题

例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3

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第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4

第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点

由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋ n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×

n 1n(n 1)

, 即个交点。 22

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）

n

解：当n ＝1时，3＝3, （n＋1）！＝1×2＝2

n

当n ＝2时，3＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6

n

当n ＝3时，3＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24

n

当n ＝4时，3＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120

n

当n ＝5时，3＝243, （n＋1）！＝6！＝720 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 例3 求适合等式x1+x2+x3＋ +x2003=x1x2x3 x2003的正整数解。

分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个 直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2

x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3

x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4

x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5

x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6

由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋ +x2003=x1x2x3 x2003的正整数解为x1=x2=x3＝ =x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。 丙练习14

1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。 2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数＿＿，n位数＿＿＿记作

3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43

＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋ ＋n3=( )2。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①111；111 1－222 2＝（＿＿＿）2； 1－222 2＝（ ＿＿）2。

10个1

5个2

2n个1

n个2

a1a2a3a4记作＿＿

②111 155 56＝（＿＿＿＿）2；11 1155 56＝（＿＿＿）2

9位

9位

n位

n位

5． 把自然数1到100一个个地排下去：123 91011 99100

① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算

1111

＋＋＋ ＋＝

11 1212 1313 1419 20

（提示把每个分数写成两个分数的差）

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7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然 后把宽3等分，把长8等分，分成24个

小长方形，那么这24个长方形中，

两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。

本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个

9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。 本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。

10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。

练习 14

1. 3，30，3×102，3×10n-1

2. 10n-1a1+10n-2a2_＋ +10an-1+an

222

4. ①333332, 333 ②， 33 3433 34

n个

9位

n位

5.①192位，②901位（50个18，加上1） 6. ∵

7. a=1,2时，aa+1<(a+1)a ……

10. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2) 11. 8,24,24,8；

8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］, (m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334

1119

＝－

11 121112220

初中数学竞赛辅导资料——用交集解题

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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甲内容提要

1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6

的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10 ｝，它的个元素有无数多个。 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，

右图中左边的椭圆表示正数集合，

右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。 2x 6 (1)

例如不等式组 解的集合就是

x 2 (2)

不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.

4．一类问题，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 乙例题

例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26， ｝ 除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28， ｝ 除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30， ｝ 集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。

例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，

3，7，9｝；

其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。

同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组

故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。

例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人

两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？

解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。

∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；

只订B刊物的人数是21－6＝15人； 小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。 设N，N（A），N（B），N（AB），N 分别表示总人数，订A种、B种、AB［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。

例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的

有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一,得［公式二］： N＝N+ N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）

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②求N（BC）可用公式二：

∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1

∴N（BC）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3人 ③只会打排球的是10－3－1＝6（人）

例5. 十进制中，六位数19xy87能被33整除，求x和y的值 解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y ∵33＝3×11，

∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x－y=－4，7

∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：

x y 8 x y 14

x y 4 x y 4

x 2 x 5解得

y 6 y 9 x y 11 x y 17

x y 7 x y 7

x 9 x 12

y 2 y 5

（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2

丙练习12

1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿

2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3． 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿ 4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：

1

x 2 x 2 0 3x 6 x 1

① ② ③ 3 ④

5x 0x 2 0 x 5 2x 2

5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。

6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙

拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？

7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积

的个位数与原两位数的个位数字相同。

8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打

排球有几人？②只会打排球是几人？

9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60

票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？

10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 11. x y 3 x y 5 0

12. 十进制中，六位数1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）

练习12

1. 负分数 2.等腰，直角 3.交集

4 ①x>5, ② x<-2, ③-3<x<1, ④空集 5. 16 6. 7 7. 30，60，90，15，75，66（从个位数为0，15，6中找） 8. 11人，6人 9.由 100＝N＋52＋60－36得N＝24

x 1

10. 30人，7人； 32人，9人 11.

y 4

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12.

x 0,

（仿例5）

y 5,

初中数学竞赛辅导资料——用枚举法解题

甲内容提要

有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；

② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；

③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 乙例题

例1 如图由西向东走，

B从A处到B处有几 13种走法？ 有三种走法，在C处标上3， 从A到M（N3＋1＝4种， 从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）

例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。 解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左） 解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）

X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4 X3Y， X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2

Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax<b的解集。

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当a>0时，解集是x<

bb, 当a<0时，解集是x>, aa

当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，

当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)

例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，

边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在下的▽有：1

边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3 边长4单位，顶点在上的△有：1 合计共27个

丙练习13

1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿ 2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿

4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并

统计总条数。

5. 写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。 6. 除以4余1 两位数共有几个？

7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？

8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正

方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？

9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从

A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10. 列表讨论不等式ax>b的解集.

11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6则这个正整数的最小值是＿＿

练习13

1. 6. 7. 8. 9.

8组 2. 18组 3. 9组 4. 15条 5. 10个 22个（从13，17， 97） 25种

1＋22＋32＋42＝30个， 55个， 385个 70种

10. 当a>0时，x<

bb； 当a<0时，x>； aa

当a=0,b≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。

11. 27

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初中数学竞赛辅导资料——整数的一种分类

甲内容提要

1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。） 2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。

4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4） 以上等式可叙述为：

① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是

4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

乙例题

例1. 今天是星期日，99天后是星期几？

分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数 解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，

29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， ∴99天后是星期一。

又解：设｛A｝表示A除以7的余数， ｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。 分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式

解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n

∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1 ∴43 n+1 除以9的余数是4。

例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数 解：设三个连续整数为n－1,n,n+1

M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。

当n=3k （k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)

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当n=3k+1时， M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)

=9(3k+1)(3k2+2k+1)

当n=3k+2时， M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6) ＝9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数n，M都是9的倍数。 例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解 证明：设整数x按模3分类讨论，

①当x＝3k时， （3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17 ⑵当x=3k±1时， （3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16 由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数， ∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解 例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 证明：把n按模5分类讨论，

当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1

当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1

＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1 当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1

＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2 综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 又证：n2+n+1＝n(n+1)+1

∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6 ∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。

丙练习16

1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)

填写表中各数除以3的余数。

2. 376÷7的余数是＿＿＿＿＿

3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？ 4．已知m,n都是正整数，求证：3

nm(n2+2)

（a2－1）

5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24

（提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1） 6． 把正整数按表中的规律排下去，问100

将排在哪一列？答：＿＿＿

7． 已知正整数n不是4的倍数

求证：1n＋2n＋3n＋4n是10的倍数

8. 任给5个整数，必能从中找到3个，

其和能被10整除，这是为什么？ 9对任意两个整数，它们的和、差、积中 至少有一个是3的倍数，试说明理由。

10．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1个，则必有两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。

11.证明 x2+y2-8z=6没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题） 12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止 即1234

198位

那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数学联赛题）

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练习16

2. 1 3. 日 4. 设n=3k, 3k+1, 3k-1讨论 6. 100除以8余数为4，故在第五列

7. 可列表说明n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k时，其和均为0

8. 整数除以3，余数只有0，1，2三种，按5个整数除以3的余数各种情况讨论 10. 整数除以9余数只有9类，而10个

11. ∵x2+y2=8z+6, ∴右边除以8，余数 是6，左边整数x,y按除以4的余数，分为4类，4k,4k+1,4k+2,4k－1, 则x2+y2除以8的余数 12. 6

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