方阵的秩与特征值的关系

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方阵的秩与特征值的关系

作者：秦川李小飞

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2015年第27期

【摘要】对于n阶方阵而言，秩和特征值都是其重要特征，本文将建立它们之间的联系。通过矩阵的秩，得到矩阵的特征值的相关信息;反过来，通过矩阵的特征值的情况，得到矩阵的秩的取值范围。

【关键词】n阶方阵 ;特征值 ;秩 ;实对称矩阵

【Abstract】For the n？鄄order matrix， rank and characteristic values are the important features， This paper will establish the connection between them. The related information about characteristic value of the matrix is obtained by matrix rank.In turn， By characteristic value of matrix， we can get the value range of the matrix rank.

【Key words】n？鄄order matrix; characteristic value; rank; real symmetrices matrix

【基金项目】长江大学工程技术学院科研项目（2015j0802）、长江大学工程技术学院教学研究项目。

【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0120-01

在全国研究生入学考试中，关于线性代数的考题常会考查方阵的特征值与特征向量。在题目给定的有限条件中如何获取帮助解题的更多信息？在本文中，将会给出一些结论，方便读者加强线性代数知识间的联系，帮助找到题目的入手点。

定理1[1] ;n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2[1] ;设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。

例1[2] ;设矩阵A=1 ;2 ; 3 ; 42 ;4 ; 6 ; 83 ;6 ; 9 ;124 ;8 ;12 ;16 ，求矩阵A的特征值，矩阵A 的秩。

解由A-λE=1-λ ; ;2 ; ; ; 3 ; ; ; ;4 ;2 ; ;4-λ ; ; 6 ; ; ; ;8 ;3 ; ; ;6 ; ; 9-λ ; ; 12 ;4 ; ; ;8 ; ; ;12 ; ;16-λ=λ （λ-30）=0

得;λ =λ =λ =0，λ =30

又经过初等行变换得到A→1 ;2 ; 3 ; 40 ;0 ; 0 ; 00 ;0 ; 0 ; 00 ;0 ; 0 ; 0 ，则矩阵A的秩r（A）=1。

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