概率论和数理统计期末考试题库

数理统计练习题

一、填空题

1、设A、B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B?A)=0.8，则P(A+B)=__ 0.7 __。 2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为

802，则此射手的命中率。

3813、设随机变量X服从[0，2]上均匀分布，则D(X)2? 1/3 。

[E(X)]4、设随机变量X服从参数为?的泊松（Poisson）分布，且已知E[(X?1)(X?2)]＝1，则??___1____。 5、一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，当p?1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

226、（X，Y）服从二维正态分布N(?1,?2,?12,?2,?)，则X的边缘分布为 N(?1,?1) 。

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则

其他E(X)=4。

38、随机变量X的数学期望EX??，方差DX??2，k、b为常数，则有E(kX?b)= k??b,；D(kX?b)=k2?2。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

?有效。 ?)?D(??)，则称??比??, ??是常数?的两个 无偏 估计量，若D(?10、?1212121、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(AB)=_0.3__。

2、设X?B(2,p)，Y?B(3,p)，且P{X ≥ 1}=5，则P{Y≥ 1}=19。

9273、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 5、设随机变量X的概率密度是：

?3x2f(x)???0??0?x?1，且P?X????0.784，则?=0.6 。 其他(x?2)226、利用正态分布的结论，有

????1(x2?4x?4)e2?dx? 1 。

?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则

其他7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数E(Y)= 3/4 。

8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

P?Y??aX?b??1，则X与Y的相关系数?XY?-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。

10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“X?1/2”出现的次数，则P{Y?2}= 3/8 。 1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则P(A?B)?0.6 。

11112、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,,，则密码能被译出的概率是 11/24 。

543633、射手独立射击8次，每次中靶的概率是0.6，那么恰好中靶3次的概率是C8?0.63?0.45＝0.123863 。 4、已知随机变量X服从[0, 2]上的均匀分布，则D (X)= 1/3 。

5、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则PX?2? 0.6247 。 7、随机变量X的概率密度函数f(x)???1?e?x2?2x?1，则E(X)= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，?，Xn是来自总体X的简单随机样本，则

?X

i?1

n

2

i

~x(n)。

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9、设T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?T?????xy,10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数f(x,y)????0,??a。 20?x?2,0?y?1，则E(X)= 4/3 。

其他1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(AB), 则P(B)= 0.4 。

X?11Y?112、设随机变量X与Y相互独立，且，，则P(X =Y)=_ 0.5_。

P0.50.5P0.50.53、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。 4、设随机变量X~N(?,?2)，其密度函数

f(x)?16?e?x2?4x?46，则?= 2 。

DX5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y?(X?EX)/，则DY= 1 。

6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从??5的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联合密度函数f (x,

?e?5yy)= ??00?x?5,y?0。

其它7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。 8、设X1,X2,?,Xn是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则

?(Xi?1ni?X)2服从的分布为x2(n?1)。

111，则目标能被击中的概率是3/5 。

543?4xe?2y,0?x?1,y?010、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，

其它?09、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为,,则EY = 1/2 。

1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6 __。 2、设随机变量X的分布律为

Xp201211，且X与Y独立同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为ZP2014134。

3、设随机变量X ～N (2，?)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。

?24、设随机变量X 服从??2泊松分布，则P?X?1?=1?e。

1yfX(?)。 226、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。

5、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为7、X1，X2，?，Xn是取自总体N??,??的样本，则

2?(Xi?1ni?X)2?2～x2(n?1)。

?4xe?2y,0?x?1,y?08、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，则EX = 2/3 。

其它?0??9、称统计量?为参数?的 无偏 估计量，如果E(?)=?。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A?B)?0.6，则P(AB)? 0.3 。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则E(X)? 18.4 。

3、设随机变量X～N (1/4，9)，以Y表示对X的5次独立重复观察中“X?1/4”出现的次数，则P{Y?2}= 5/16 。 4、已知随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P(X=2)=P(X=4)，则?=23。

2第2页，共27页

??5、称统计量?为参数?的无偏估计量，如果E(?)=θ 。

X6、设X~N(0,1),Y~x2(n)，且X，Y相互独立，则n~ t(n) 。

Y7、若随机变量X～N (3，9)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X－2Y＋2，则Z ～ N (7，29) 。

?3y8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??6xe,0?x?1,y?0，则EY = 1/3 。

??0其它9、已知总体X~N(?,?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，要检验Ho：?22??20，则采用的统计量是

(n?1)S22?0。

10、设随机变量T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?T????1???a。 21、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.4, P(B)=0.5，P(AB)?0.7，则P(A?B)? 0.55 。 2、设随机变量X ~ B (5, 0.1)，则D (1－2X )＝ 1.8 。

37，则每次射击击中目标的概率为 1/4 。 644、设随机变量X的概率分布为P(X?1)?0.2,P(X?2)?0.3,P(X?3)?0.5，则X的期望EX= 2.3。

3、在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为

5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于－1。 6、设(X, Y)的联合概率分布列为

Y －1 0 4 －2 1 1/9 1/18 1/3 a 2/9 b 若X、Y相互独立，则a = 1/6 ，b = 1/9 。

7、设随机变量X服从[1，5]上的均匀分布，则P?2?X?4?? 1/2 。

111，则密码能被译出的概率是3/5 。

543(X??)n9、若X~N(?1,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，则~ t (n-1) 。 X,S2分别为样本均值和样本方差，

S?)?D(??)，则称??比??,??是常数?的两个无偏估计量，若D(?? 有效 。 10、?8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,1212121、已知P (A)=0.8，P (A－B)=0.5，且A与B独立，则P (B) ＝ 3/8 。

2、设随机变量X～N(1，4)，且P{ X ? a }= P{ X ? a }，则a ＝ 1 。

11，P(X?1)?P(Y?1)?，则P(X?Y)?0.5。 22?4xy0?x?1,0?y?14、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度f(x,y)??，则EY= 2/3 。

其它?03、随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X??1)?P(Y??1)?5、设随机变量X～N (1，4)，则PX?2＝ 0.3753 。（已知?(0.5)=0.6915，?(1.5)=0.9332） 6、若随机变量X～N (0，4)，Y～N (－1，5)，且X与Y相互独立。设Z＝X＋Y－3，则Z ～ N (－4，9) 。 7、设总体X～N(1，9)，X1, X2, ?, Xn是来自总体X的简单随机样本，X, S分别为样本均值与样本方差，则

2??1n1n222；?(Xi?1)2~?（。 9）(Xi?X)~?(8)；?9i?19i?18、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 。 10、在假设检验中，把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H0的总体当作符合H0而接受。

这类错误称为 二 错误。

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1、设A、B为两个随机事件，P(A)=0.8，P(AB)=0.4，则P(A－B)= 0.4 。

2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。 3、设随机变量X的概率分布为 X －1 0 1 2 P 0.1 0.3 0.2 0.4 则PX2?1= 0.7 。

4、设随机变量X的概率密度函数f(x)???1?e?x2?2x?1，则D(X)=

12 。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只，每次从中任取一只，有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X，则P {X＝

10}＝ 0.39*0.7 。

46、某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是C5?0.74?0.31。

(x?2)221?7、设随机变量X的密度函数f(x)?e2?2，且P?X?c??P?X?c?，则c = -2 。

8、已知随机变量U = 4－9X，V= 8＋3Y，且X与Y的相关系数?XY＝1，则U与V的相关系数?UV＝－1。 9、设X~N(0,1),Y~x(n)，且X，Y相互独立，则

XYn~t (n)

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 。 1、随机事件A与B独立，P(A?B)?0.7,P(A)?0.5，则P(B)? 0.4 。

2

2、设随机变量X的概率分布为则X的概率分布为

3、设随机变量X服从[2，6]上的均匀分布，则P?3?X?4?? 0.25 。

4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为0.4，则EX=_18.4__。

5、随机变量X~N(?,4)，则Y?X??~ N(0,1) 。

22

6、四名射手独立地向一目标进行射击，已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5，则目标能被击中的概率是 59/60 。 7、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率是

80，则袋中白球的个数是 4 。 818、已知随机变量U = 1＋2X，V= 2－3Y，且X与Y的相关系数?XY ＝－1，则U与V的相关系数?UV ＝ 1 。 9、设随机变量X～N (2，9)，且P{ X ? a }= P{ X ? a }，则a＝ 2 。

??10、称统计量?为参数?的无偏估计量，如果E(?)= θ

二、选择题

1、设随机事件A与B互不相容，且P(A)?P(B)?0，则（ D ）。

Ａ. P(A)?1?P(B) B. P(AB)?P(A)P(B) Ｃ. P(A?B)?1 Ｄ. P(AB)?1 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

1C22!222!A. 2 B. 2 C. D. 24!4P4C4３、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为（ D ）。

y1y1yA. 2fX(?2y) B. fX(?) C. ?fX(?) D. fX(?)

22222４、设随机变量X~f(x)，满足f(x)?f(?x)，F(x)是x的分布函数，则对任意实数a有（ B ）。

aa1A. F(?a)?1??f(x)dx B. F(?a)???f(x)dx C. F(?a)?F(a) D. F(?a)?2F(a)?1

020第4页，共27页

５、设?(x)为标准正态分布函数，

100事件A发生；?1, ?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.8，X1，X2， 否则；i?1?0，限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

y?80) C．?(16y?80) D．?(4y?80) A. ?(y) B．?(4１、设A，B为随机事件，P(B)?0，P(A|B)?1，则必有（ A ）。

A. P(A?B)?P(A) B. A?B C. P(A)?P(B) D. P(AB)?P(A)

２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为34，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（ C ）。

32112333212A. B. （）（）? C. （）? D. C（） 44444443、设X1, X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是( A )。

A. ???11233?1?1?2X1?X2 B. ??X1?X2 C. ??X1?X2 D. ??X1?X2 223344554、设?(x)为标准正态分布函数，

?1, 事件A发生；?，X100相互独立。令Y?Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.1，X1，X2， 否则。?0，理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

?Xi?1100i，则由中心极限定

y?10) C．?(3y?10) D．?(9y?10) 35、设(X1,X2,?,Xn)为总体N(1,22)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ D ）。

A. ?(y) B．?(1nX?11n2A. ~t(n)； B. ?(Xi?1)~F(n,1)； C. ~N(0,1)； D. ?(Xi?1)2~?2(n)；

4i?14i?12/n2/nX?1１、已知A、B、C为三个随机事件，则A、B、C不都发生的事件为（A）。

A. ABC

B. ABC

C. A+B+C D. ABC

２、下列各函数中是随机变量分布函数的为（ B ）。

x?0?1?0x,???x?? B. F(x)??A. F(x)? 2x?01?x??1?x31?xarctgx, ???x?? C. F(x)?e,???x?? D. F(x)??42?3、(X,Y)是二维随机向量，与Cov(X,Y)?0不等价的是（ D ）

A. E(XY)?E(X)E(Y) B. D(X?Y)?D(X)?D(Y) C. D(X?Y)?D(X)?D(Y) D. X和Y相互独立 4、设?(x)为标准正态分布函数，

100?1, 事件A发生?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.2，X1，X2， 否则i?1?0，限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

y?20) C．?(16y?20) D．?(4y?20) A. ?(y) B．?(4225、设总体X~N(?,2)，其中?未知，X1,X2,?,Xn为来自总体的样本，样本均值为X，样本方差为s， 则下列各

式中不是统计量的是（ C ）。

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s2X??A. 2X B. 2 C.

??1、若随机事件A与B相互独立，则P(A?B)＝（ B ）。

D.

(n?1)s2?2

A. P(A)?P(B) B. P(A)?P(B)?P(A)P(B) C. P(A)P(B) D. P(A)?P(B)

2

2、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3，X4是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是（ D ）

1111111X1?X2?X3?X3 B. X1?X2?X3 663333334111111C. X1?X2?X3?X4 D. X1?X2?X3?X455554444A. 3、设?(x)为标准正态分布函数，Xi??独立。令Y??1, 事件A发生?，X100相互 i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.3，X1，X2， 否则?0，?Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

y?30y?30) D．?(y?30) ) C．?(2121k?14、设离散型随机变量的概率分布为P(X?k)?，k?0,1,2,3，则E(X)＝（ B ）。

10A. ?(y) B．?(A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是（ C ）。

A. H1真时拒绝H1称为犯第二类错误。 B. H1不真时接受H1称为犯第一类错误。

C. 设P{拒绝H0|H0真}??，P{接受H0|H0不真}??，则?变大时?变小。

D. ?、?的意义同（C），当样本容量一定时，?变大时则?变小。 1、若A与B对立事件，则下列错误的为（ A ）。

A. P(AB)?P(A)P(B) B. P(A?B)?1 C. P(A?B)?P(A)?P(B) D. P(AB)?0 2、下列事件运算关系正确的是（ A ）。 A. B?BA?BA B. B?BA?BA C. B?BA?BA D. B?1?B 3、设?(x)为标准正态分布函数，

事件A发生?1, ?，X100相互独立。令YXi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.4，X1，X2， 否则?0，??Xi，则由中心

i?1100极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. ?(y) B．?(y?40y?40) ) C．?(y?40) D．?(2424

B. X与Y不相关 C. D(XY)?D(X)D(Y) D. D(X?Y)?D(X)?D(Y)

4、若E(XY)?E(X)E(Y)，则（D ）。

A. X和Y相互独立

5、若随机向量（X,Y）服从二维正态分布，则①X,Y一定相互独立； ② 若?XY?0，则X,Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④若X,Y相互独立，则

Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是（ B ）。

A. ① ② ③ ④ B. ② ③ ④ C. ① ③ ④ D. ① ② ④ 1、设随机事件A、B互不相容，P(A)?p, P(B)?q，则P(AB)＝（ C ）。 A. (1?p)q B. pq C. q D.p 2、设A，B是两个随机事件，则下列等式中（ C ）是不正确的。

A. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B相互独立 B. P(AB)?P(B)P(AB)，其中P(B)?0 C. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)?P(A)P(BA)，其中P(A)?0

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3、设?(x)为标准正态分布函数，

100?1, 事件A发生?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心极限Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.5，X1，X2， 否则i?1?0，定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

y?50y?50) C．?(y?50) D．?() A. ?(y) B．?(5254、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 5 — 2X的密度函数为（ B ）

1y?51y?5f(?) B. f(?) 22221y?51y?5C. ?f(?) D. f(?)2222A. ?5、设x1,x2,?,xn是一组样本观测值，则其标准差是（ B ）。

1A.

n?11n1n1n22(xi?x) B. (xi?x) C. ?(xi?x) D. ?(xi?x) ??n?1i?1ni?1ni?1i?12n1、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ A ）。 A. P(AB)?P(A)P(B)

B. P(AB)?0 C. P(A|B)?P(B|A) D. P(A|B)?P(B)

2、若随机事件A,B的概率分别为P(A)?0.6，P(B)?0.5，则A与B一定（D ）。

A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容

1, 事件A发生3、设?(x)为标准正态分布函数，X???，X100相互 i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.6，X1，X2，?i 否则?0，独立。令Y??Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（B ）。

y?60y?60) ) C．?(y?60) D．?(24244、设随机变量X ～N(μ，81)，Y ～N(μ，16)，记p1?P{X???9},p2?{Y???4}，则（ B ）。

A. ?(y) B．?(A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定 5、设随机变量X的密度函数为f (x)，则Y = 7 — 5X的密度函数为（ B ）

1y?71y?7f(?) B. f(?)5555 1y?71y?7C. ?f(?) D. f(?)55551、对任意两个事件A和B， 若P(AB)?0， 则（ D ）。

A. ?A. AB?? B. AB?? C. P(A)P(B)?0 A. P(A|B)?P(A|B)

D. P(A?B)?P(A)

D. A、B互不相容

1002、设A、B为两个随机事件，且0?P(A)?1，0?P(B)?1， P(B|A)?P(B|A)， 则必有（ B ）。

B. P(AB)?P(A)P(B) C. P(AB)?P(A)P(B)

3、设?(x)为标准正态分布函数，

事件A发生?1, Xi?? i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.7，

否则?0，X1，X2，?，X100相互独立。令Y??Xi，则由中心

i?1极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. ?(y) B．?(y?70y?70) ) C．?(y?70) D．?(21214、已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间[－1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)?（ A ）。

A. 3 B. 6 C. 10 D. 12

5、设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记p1?P{X???3},p2?{Y???5}，则（ B ）。

第7页，共27页

A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定 1、设A1,A2两个随机事件相互独立，当A1,A2同时发生时，必有A发生，则（ A ）。

A. P(A1A2)?P(A) B. P(A1A2)?P(A) C. P(A1A2)?P(A) D. P(A1)P(A2)?P(A) 2、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X?3，则Y的概率密度fY(y)为（ A ）。

1y?31y?31y?31y?3fX(?) B. fX(?) C. ?fX(?) D. fX(?) 222222223、两个独立随机变量X,Y，则下列不成立的是（ C ）。

A. EXY?EXEY B. E(X?Y)?EX?EY C. DXY?DXDY D. D(X?Y)?DX?DY

A. ?4、设?(x)为标准正态分布函数，Xi??独立。令Y??1, 事件A发生?，X100相互 i?1, 2,?, 100,且P(A)?0.9，X1，X2， 否则?0，?Xi?1100i，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

A. ?(y) B．?(y?90y?90) C．?(y?90) D．?() 392

5、设总体X的数学期望EX＝μ，方差DX＝σ，X1，X2，X3是来自总体X的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是

（ B ）

111111X1?X2?X3 B. X1?X2?X3 424333342121C. X1?X2?X3 D. X1?X2?X3555662A. 1、若事件A1,A2,A3两两独立，则下列结论成立的是（ B ）。 A. A1,A2,A3相互独立

B. A1,A2,A3两两独立 D. A1,A2,A3相互独立

C. P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件（ C ）。

A. 0?f(x)?1 B. 在定义域内单调不减C. ???

??f(x)dx?1 D. lim f(x)?1x???3、设X1,X2是任意两个互相独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和

。 F2(x)，则（ B ）

A. f1(x)?f2(x)必为密度函数 B. F1(x)?F2(x)必为分布函数 C. F1(x)?F2(x)必为分布函数 D. f1(x)?f2(x)必为密度函数

4、设随机变量X, Y相互独立，且均服从[0，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ B ）。

A. X Y B. （X, Y） C. X — Y D. X + Y 5、设?(x)为标准正态分布函数，

n事件A发生?1, ?，Xn相互独立。令Y??Xi，则由中心极限定Xi?? i?1, 2,?, n,且P(A)?p，X1，X2，0， 否则i?1?理知Y的分布函数F(y)近似于（ B ）。

y?npy?np) ) C．?(y?np) D．?(A. ?(y) B．?(np(1?p)np(1?p)三（1）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人，求此人恰好是色盲者的概率。

设A：表示此人是男性； B：表示此人是色盲。 则所求的概率为P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.5?0.05?0.5?0.0025?0.02625

答：此人恰好是色盲的概率为0.02625。

第8页，共27页

三（2）、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲，假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人，发现此人不是色盲，问此人是男性的概率。

设A：表示此人是男性； B：表示此人是色盲。 则所求的概率为

P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) ??P(B)1?P(B)1?[P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)]0.5?0.95??0.4878 1?0.02625P(A|B)?

答：此人是男人的概率为0.4878。 。 三（3）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，求第二次取得白球的概率。

解 设Ai表示表示第i次取得白球，i=1,2。 则所求事件的概率为

P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1) ?327393????? 1091093010答：第二次取得白球的概率为3/10。 三（4）、一袋中装有10个球，其中3个白球，7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次，每次一个，若第二次取得白球，则第一次也是白球的概率。

解 设Ai表示表示第i次取得白球，i=1,2 。 则所求事件的概率为

32?P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1|A2)? = ?109?2

P(A2)P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)3910答：第二次摸得白球，第一次取得也是白球的概率为2/9。

三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？

解 设Ai表示产品由第i家厂家提供，i=1, 2, 3；B表示此产品为次品。 则所求事件的概率为

1?0.02P(A1|B)P(A1)P(B|A1)2P(A1|B)?? ＝?0.4

111P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?0.02??0.02??0.04244答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。

三（6）、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%、35%、40%，次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品，试求（1）该产品是次品的概率；（2）若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少？ 解：设A1，A2，A3表示甲乙丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品。

（1）所求事件的概率为

?0.25?0.03?0.35?0.02?0.4?0.01?0.0185 P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)（2）P(A1|B)?P(A2)P(B|A2)0.35?0.02 = ?0.38

P(B)0.0185答：这件产品是次品的 概率为0.0185，若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0.38。

三（7）、一个机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3，加工零件A时停机的概率是0.4。求（1）该机床停机的概率；（2）若该机床已停机，求它是在加工零件A时发 生停机的概率。

第9页，共27页

解：设C1，C2，表示机床在加工零件A或B，D表示机床停机。

（1）机床停机夫的概率为

P(B)?P(C1).P(D|C1)?P(C2).P(D|A2)?（2）机床停机时正加工零件A的概率为

1211?0.3??0.4? 33301?0.3P(C1).P(D|C1)3P(C1|D)? = 3?

11P(D)1130三（8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2，各机床所加工的零件合格率依次为94％，90％，95％。现从加工好的整批零件中随机抽查一个，发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。 解 设A（2分） 1，A2，A3表示由甲乙丙三机床加工，B表示此产品为废品。则所求事件的概率为

1?0.06P(A1|B)P(A1)P(B|A1)32P(A1|B)??3 ＝?

P(B)0.5?0.06?0.3?0.10?0.2?0.057?P(Ai)P(B|Ai)i?1答：此废品是甲机床加工概率为3/7。 三（9）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。已知该人误期到达，求他是乘坐火车的概率。 （10分） 解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示误期到达。

则P(A2|B)?0.15?0.3P(A2|B)P(A)P(B|A2)?0.209 ?42 ＝

0.05?0?0.15?0.3?0.3?0.4?0.5?0.1P(B)?P(Ai)P(B|Ai)i?1答：此人乘坐火车的概率为0.209。 三（10）、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为5％、15％、30％、50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％、70％、60％、90％。求该人如期到达的概率。 解：设A1，A2，A3，A4分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，B表示如期到达。

则P(B)??P(A)P(B|A) ?0.05?1?0.15?0.7?0.3?0.6?0.5?0.9?0.785

iii?14答：如期到达的概率为0.785。 四（1）设随机变量X的概率密度函数为

?Ax, 0?x?1 f(x)?? 其它?0，求（1）A； （2）X的分布函数F (x)； （3） P (0.5 < X <2 )。

A21Ax|0??1 ??0解： 22 A?2 （）1 ???f(x)dx??Axdx?1第10页，共27页

（2）当x?0时， F(x)??x??xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt??2tdt?1

01?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1? (3) P（1/2

0?x?2 ?kx?1, f(x)??

0, 其它?

求（1）k ；（2）分布函数F (x)； （3）P (1.5

2k2f(x)dx??(kx?1)dx?(x2?x)|0?2k?2?1 ??0解： 2 k??1/2 x（2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 (1) ?????x 当0?x?2时， F(x)?? 当x?2时， F(x)????x2f(t)dt??(?0.5t?1)dt???x 04xx??f(t)dt?1

?0, x?0?2?x 故 F(x)????x, 0?x?2 ?4??1, x?2(3) P（1.5

四（3）、已知连续型随机变量X的概率密度为

? 0?x?1?ax, f(x)??

? 其它?0, 求（1）a；（2）X的分布函数F (x)；（3）P ( X >0.25)。

12f(x)dx??axdx?a?1 ??0解： 3 a?3/2 x（2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 (1) ?????x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????f(t)dt??302xtdt?x3/2 x??f(t)dt?1

?0, x?0? 故 F(x)??x3/2 , 0?x?1 ?1, x?1?(3) P（X>1/4）=1—F(1/4)=7/8

第11页，共27页

四（4）、已知连续型随机变量X的概率密度为

x?(0,A)?2x, f(x)?? 其它?0, 求（1）A；（2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X <1)。 ） 解：

(1) ?????f(x)dx??2xdx?A2?1 0xA

A?1 （2）当x?0时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??2tdt?x2 0x 当0?x?1时， F(x)?? 当x?1时， F(x)????x??f(t)dt?1

?0, x?0? 故 F(x)??x2, 0?x?1 ?1, x?1?(3) P（-0.5

?c, x?1?2f(x)??1?x

?0, 其它?求（1）c； （2）分布函数F (x)；（3） P (-0.5 < X < 0.5)。 解：

(1) ???1-x2 c?1/? ???1f(x)dx?? 1cdx?carcsinx|1?1?c??1 x

（2）当x??1时， F(x)????xf(t)dt?0 f(t)dt??x 当?1?x?1时， F(x)?? ?11???1?1?t2dt?1?xarcsint|?1 ?(arcsinx?x???2 )

当x?1时， F(x)??f(t)dt?1 ?0, x??1?1?? 故 F(x)??(arcsinx? ), －1?x?1 2????1, x?1(3) P（-0.5

四（6）、已知连续型随机变量X的分布函数为

x??2?F(x)??A?Be, x?0

? 其它?0, 2求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1

第12页，共27页

(1) lim F(x)?A?1 x??? F(x)?A?B?0解： lim?x?0

B??1 （2） ??xe?x/2, x?0 f(x)? F?(x)?? ??0, x?0?1/2?e?2 (3) P（1

F(x)?A?Barctanx

求（1）A，B； （2）密度函数f (x)；（3）P (1

2(1) lim F(x)?A?x????2B?1 B?0

解： lim F(x)?A?x????2 A?1/2, B?1/? （2） 1? f(x)? F(x)? ?(1?x2)1(3) P（0

? x?0?0, ?F(x)??Ax, 0?x?1

?1, x?1?四（8）、已知连续型随机变量X的分布函数为

求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0< X< 0.25 )。

（2）解：

(1) lim F(x)?A?1 x?1?1 , 0?x?1? A?1 f(x)? F?(x)??2x?0, 其他?(3) P（0

四（9）、已知连续型随机变量X的分布函数为

A? x?2?1?2, F(x)??x? x?2?0, 求（1）A； （2）密度函数f (x)；（3）P (0 ≤ X ≤ 4 )。

（2）、解：

(1) lim F(x)?1?A/4?0 x?2?8 ?3, x?2 A?4 f(x)? F?(x)??x??0, x?2(3) P（0

四（10）、已知连续型随机变量X的密度函数为

第13页，共27页

?2x?, x?(0,a) f(x)???2?0, 其它?求（1）a； （2）分布函数F (x)；（3）P (－0.5 < X < 0.5 )。

（2）当x?0时， F(x)??f(t)dt?0 ??x??a2xx(1) ?f(x)dx?? 2dx?1 当x??时， F(x)???0?解：???f(t)dt?1 a?? ?0, x?0?2?x 故 F(x)??2, 0?x?? ????1, x??1(3) P（-0.5

2tx2 当0?x??时， F(x)??f(t)dt??2dt?2 ??0??xx统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝max (X, Y)。

显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z)＝0；

当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (max (X, Y)≤z) ＝P (X≤z, Y≤z)＝P (X≤z)P (Y≤z)＝

??e0z??xdx??e??ydy＝(1?e??z)(1?e??z)。

0z因此，系统L的寿命Z的密度函数为

??e??z??e??z?(???)e?(???)z, z?0df Z (z)＝ FZ(z)??dz0, z?0?五（2）、已知随机变量X～N（0，1），求随机变量Y＝X 的密度函数。

2

解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝0；

当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (X ≤y)＝P(?y?X?2

2

y)

＝

?y12??ye?x2/2dx?2?y12?0e?x2/2dx

?e?y/2, y?0,d?因此，f Y (y)＝ FY(y)??2? ydy?0, y?0. ?五（3）、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成，且L1、L2的寿命分别服从参数为?,?(???)的指数分布。求

系统L的寿命Z的密度函数。

解：令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命，则系统L的寿命Z＝min (X, Y)。

显然，当z≤0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝0；

当z>0时，F Z (z)＝P (Z≤z)＝P (min (X, Y)≤z)＝1－P (min (X, Y)>z) ＝1－P (X>z, Y>z)＝1－P (X>z)P (Y>z)＝1?因此，系统L的寿命Z的密度函数为

???z?e??xdx??e??ydy＝1?e?(???)z。 z????(???)e?(???)z, z?0df Z (z)＝ FZ(z)??dz z?0?0, 第14页，共27页

五（4）、已知随机变量X～N（0，1），求Y＝|X|的密度函数。

解：当y≤0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝0；

当y>0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (|X |≤y)＝P(?y?X?y)

2?2??2?y2/2 y?0,d?e因此，f Y (y)＝ FY(y)???dy?0, y?0. ??y?0 ＝

?y1e?x2/2dx?2?y1e?x2/2dx

五（5）、设随机向量（X，Y）联合密度为

?Ae?(2x?3y), x?0,y?0 ;f(x, y)= ?

其它.?0, （1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝

??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae?(2x?3y)dxdy?A?e0???2xdx??e0???3y1dy＝A(?e?2x2??01)(?e?3y3??)?0A, 6 可得A＝6。

（2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

?2e?2x, x?0 ;?3e?3y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ，

其它. 其它.?0, ?0, 则对于任意的(x,y)?R2, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。

（3）P{ 0≤X≤2，0≤Y≤1}＝ ＝(?e?2x2010??6e0021?(2x?3y)dxdy??2e02?2xdx??3e?3ydy

01)(?e?3y)?(1?e?4)(1?e?3).

五（6）、设随机向量（X，Y）联合密度为

?Ae?(3x?4y), x?0,y?0 ;f (x, y)= ?

0, 其它.?（1） 求系数A；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由；

（3） 求P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}。 解：（1）由1＝

??????????f(x,y)dxdy??????0?0??0Ae?(3x?4y)dxdy?A?e0???3xdx??e?4ydy

0??1 ＝A(?e?3x301)(?e?4y4??)?A, 可得A＝12。 12 （2）因（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度分别为

?3e?3x, x?0 ;?4e?4y, y?0 ;fX (x)＝? 和 fY (y)＝ ? ，

其它. 其它.?0, ?0, 2则对于任意的(x,y)?R, 均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y)，所以X与Y独立。

（3）P{ 0≤X≤1，0≤Y≤1}＝ ＝(?e?3x10??12e0011?(3x?4y)dxdy??3e0???3xdx??4e?4ydy

0??)(?e?4y10)?(1?e?3)(1?e?4).

五（7）、设随机向量（X，Y）联合密度为

第15页，共27页

?6x, 0?x?y?1 ;f(x, y)= ?

0, 其它.?

（1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X，Y是否独立，并说明理由。

解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0；

当0≤x≤1时，fX (x)＝

?????f(x,y)dy??6xdy?6x(1?x).

x1?6x?6x2, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

0, 其它.?当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

?????yf(x,y)dx??6xdx?3x2|0?3y2.

0y?3y2, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝3/2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(3/4)＝9/8≠f (1/2, 1/2)，

所以，X与Y不独立。 五（8）、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为

?e?y, 0?x?y ;f (x, y)=?

0, 其它.?（1） 求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2） 判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）当x≤0时，fX (x)＝0；

当x>0时，fX (x)＝

?????f(x,y)dy??e?ydy?e?x.

x???e?x, x?0,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

其它.?0, 当y≤0时，fY (y)＝0； 当y>0时，fY (y)＝

?????f(x,y)dx??e?ydx?ye?y.

0y?ye?y, y?0,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

0, 其它.? （2）因为f (1, 2)＝e，而fX (1) fY (2)＝e*2e＝2 e≠f (1, 2)，

所以，X与Y不独立。 五（9）、设随机变量X的概率密度为

-2

-1

-2

-3

?e?x,x?0f(x)??

0,其它?设F(x)是X的分布函数，求随机变量Y=F(X)的密度函数。

解：当y<0时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝0；

当y>1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P (F(X )≤y)＝1；

当0≤y≤1时，F Y (y)＝P (Y≤y)＝P ((F(X )≤y)＝P(X?F(y)) ＝F(F(y))?y

?1?10?y?1,?1, d因此，f Y (y)＝ FY(y)??dy0, 其它. ?第16页，共27页

五（10）、设随机向量（X，Y）联合密度为

f(x, y)= ??8xy, 0?x?y?1 ;

其它.?0,

（1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x)，fY(y)；

（2）判断X，Y是否独立，并说明理由。

解：（1）当x<0或x>1时，fX (x)＝0；

当0≤x≤1时，fX (x)＝

?????2f(x,y)dy??8xydy?4x?y2|1x?4x(1?x).

x1?4x?4x3, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?

0, 其它.?当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝

?????yf(x,y)dx??8xydx?4y?x2|0?4y3.

0y?4y3, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?

其它.?0, （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)，

所以，X与Y不独立。

?7 6?六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

6 9??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??228*4??128

??28 -2??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-2 4???-1-1?28?? ? 1???28??9 2?六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

2 1??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421

4???14 8?1 ?21?所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? 8 6???4? 1??21??? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

－6 6??第17页，共27页

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?1?

27*3331???27 3?1 3? 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ????3 3??1 1????3? 4 －5?六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－5 9??

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5

??Y,X?Y)?55X?Y,X?Y?Cov(XD(X?Y)D(X?Y)?23*3??69

?23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ??1 ?-5 13?? 和 ???-5?69? 1 －1?六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－1 4??

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3

?X?Y,X?Y)?3?3X?Y,X?Y?Cov(D(X?Y)D(X?Y)?7*3?21

??7 -3??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?-3 3?? 和 ???-3?21 1?4 1?六（6）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??1 25??

求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+25+2*1=31

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+25-2*1=27 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =4-25= -21

?(X?Y,X?Y)?21X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?31*27??793

第18页，共27页

?-5?69?????-3?21?? ??? 1??31 -21??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为?? 和 ?-21 27???-7-7?93?? ? 1???93??5 2?六（7）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

2 4??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13

D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5 Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165

??13 1??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为?? 和 ?1 5???11?65?? ? 1???65?? 9 －2?六（8）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

－2 4??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。

解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+4-2*(-2)= 17

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*(-2)=9 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-4= 5

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?517*9?5153

??17 5??1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为?? 和 ?5 9???55?153??

? 1???153?? 4 －3?六（9）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

?－3 9?求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y) = 4+9-2*(-3)= 19

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y) = 4+9+2*(-3)=7 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??519*7??5133

??19 -5??1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-5 7???-5-5?133??

? 1???133??9 3?六（10）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??

3 4??第19页，共27页

求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+4-2*3= 7

D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*3=19 Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-4= 5

?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?57*19?5133

??7 5?1 所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ???5 19??55?133??

? 1???133? 七（1）、设总体X的概率密度函数是

??x??1, 0?x?1 f(x;a)???0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, ?, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L???xii?1n??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx

ii?1ndlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1 七（2）、设总体X的概率密度函数是

n?lnxi?1n

i???1（）x? 0?x?1 f(x;a)???0 其它x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L??(??1)xi?(??1)?xi lnL?nln(??1)??i?1i?1n?nn??lnx

ii?1nndlnLn??? ???lnxi?0 ?d???1i?1n?lnxi?1n?1

i七（3）、设总体X的概率密度函数是

?2?xexp{??x2}, x?0 f(x)???0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2i?1n2nnnn2nni?1i?1i?1i?1??xiexp{???xi}) lnL?nln(2?)??lnxi???xi2

ndlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1 七（4）、设总体的概率密度函数是

?xi?1n

2i?3?x2exp{??x3}, x?0 f(x)???0, 其它第20页，共27页

其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3i?1n2i3nnn2n3n2ni?1??xiexp{???xi}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3

i?1i?1i?1dlnLnn3?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n

3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)?n?xx!e??（x=0，1， ?），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一

组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??n?xixi!ni?1e????n?xii?1e?n? lnL?n?xi!i?1?xln???ln(x!)?n?

iii?1i?1innxidlnL????i?1?n?0 ?

d??

?xi?1n?x

七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=px(1-p)1-x,x?0,1。 设x1,x2,x3,?,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最大似然估计法求p的估计值。

nxi1?xinn????解：L??p?1?p? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p?

i?1i?1?i?1???n1ndlnL?n?1??1???xi?x ???xi???n??xi??0 pi?1i?1ni?1dp??p??1?p1 七（7）、设总体X服从参数为的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

?1xi?1?1n?1???i??1?解： L??e lnL?nln????xi ???ei?1??????i?1??dlnLn1n1n????2?xi?0 ???xi?x

d???i?1ni?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。

n11?xinn解：似然函数

L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi

i?1ndlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是

(x??)21?12f(x;?)?e, ???x???

2?x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？

解：似然函数

?xi???21?1 L??e2?i?12?n?n1n2??1n2lnL??ln2???(x??) exp??x????????iini?1i?122?2?2?1?第21页，共27页

1ndlnLn???(xi??)?0 ???xi?x

ni?1d?i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是

f(x;?)?1e2???x22?, ???x???

x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？

解：似然函数

1n L??()ei?12??n?xi22???nn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??nii?1222??1?2??2??1?dlnLn1n21n2????2?xi ???xi

d?2?2?i?1ni?1

八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）：

6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 ) 、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?所以?的置信区间为(x?u0.0250.95的置信区间。

x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95

?/n919) 经计算 x??xi?6 ni?11 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?1 即(5.347，6.653) 3,6?1.96?3)八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）：

n,x?u0.02514.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。

??(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95 解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以U??/n9??,x?u0.025) 经计算 x?1所以?的置信区间为：(x?u0.025 9?xi?14.911nni?1 ?的置信度为0.95的置信区间为

(14.911?1.96?0.053,14.911?1.96?0.053) 即(14.765，15.057)

八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(?,?2),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7

已知零件口径X的标准差??0.15，求?的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95 解：由于零件的口径服从正态分布,所以U??/n9??1,x?u0.025) 经计算 x?9?xi?14.9 所以?的置信区间为：(x?u0.025nni?10.150.15 ? 的置信度为0.95的置信区间为 (14.9?1.96?3,14.9?1.96?3) 即(14.802 ,14.998)

八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮

第22页，共27页

口速度的方差?的置信度为0.95的置信区间。

2

(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

因为炮口速度服从正态分布，所以

W?2

(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???

0.975?0.025??8?98?9??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?4.106,33.028?

17.5352.180??八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：

x?162.67cm, s?4.20cm。求该校女生身高方差?2的置信度为0.95的置信区间。

(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

解：因为学生身高服从正态分布，所以

W?2

(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

?(n?1)S2?8?4.228?4.22?(n?1)S2?2

?的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1??? ?的置信度0.95的置信区间为 ?17.535,2.180? 即

0.975???0.025??8.048,64.734? 八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x?16.10cm, s?2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，

试求该批螺丝钉长度方差?的置信度为0.95的置信区间。

2

(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

W?2

(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???

0.975?0.025?2?8?2.1028?2.102??的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?2.012,16.183?

17.5352.180??2八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x?32.58，样本方差S?0.097。假定该产

222品的尺寸X服从正态分布N(?,?),其中?与?均未知。求?的置信度为0.95的置信区间。

由于该产品的尺寸服从正态(已知：?0.0252(20)?34.17, ?0.9752(20)?9.591；?0.0252(19)?32.852, ?0.9752(19)?8.907)解：

分布，所以

W?2

(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(19)?W??0.9752(19)}?0.95

?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???

0.975?0.025??19?0.09719?0.097??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?0.056,0.207?

8.907??32.85222八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(?,?)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。求?的置

信度为0.95的置信区间。

第23页，共27页

2222（已知：?0.025(9)?19.023, ?0.975(9)?2.7，?0.025(8)?17.535, ?0.975(8)?2.180）

解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

W?2

(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)

?0.025?n?1??0.975?n?1??8?8.06928?8.0692??的置信度为0.95的置信区间为?,? ，即 ?29.705,238.931?

2.180??17.5352八（9）、设总体X ～N(?,?2)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S?0.07，试求总体方差的置信度为0.95的置

2信区间。

(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X～N??,?2?，所以

?2(n?1)S2(n?1)S22?的置信区间为：(2,2)

?0.025?n?1??0.975n?1??W?(n?1)S2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95

?15?0.0715?0.07??2的置信度0.95的置信区间为 ?,?，即?0.038,0.168?

?27.4886.262?22

八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(?,?2)，取样本观测值16个，得样本方差S?0.04，试求?的置信度

为95%的置信区间。

(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X ~ N??,?2?，所

以

W?2

(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95

(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)

?0.025?n?1??0.975n?1???15?0.0415?0.04??2的置信度0.95的置信区间为：?,? 即?0.022,0.096?

?27.4886.262?九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得

x?287.5, ?(xi?x)2?160.5。

i?110假定铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平??0.1下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？

(已知：?0.052(10)?18.31, ?0.952(10)?3.94; ?0.052(9)?16.9, ?0.952(9)?3.33)

解：待检验的假设是 H0:??16 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)

P{?20.05(9)?W??20.95(9)}?0.90

取拒绝域w ={W?16.92,W?3.33}

160.52?10.03 16.92?10.03?3.33 由样本数据知(n?1)S?160.5 W?16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平??0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?

第24页，共27页

(已知：?0.0252(10)?20.48, ?0.9752(10)?3.25, ?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

解：待检验的假设是 H0:??0.03 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)

P{?20.025(9)?W??20.975(9)}?0.95

取拒绝域w ={W?19.023,W?2.700}

由样本数据知 W?9?0.0375?11.25

?20.0319.023?11.25?2.700

?(n?1)S2 接受H0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(?,0.92)，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准差S=1.2。问在显著水平??0.1下，该批产品的标准差是否有显著差异？

(已知：?0.052(19)?30.14, ?0.952(19)?10.12；?0.052(20)?31.41, ?0.952(20)?10.85)

解：待检验的假设是 H0:??0.9 选择统计量 W?(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(19)

P{?20.05(19)?W??20.95(19)}?0.90

取拒绝域w ={W?30.114,W?10.117}

由样本数据知 W?(n?1)S2?219?1.22??33.778 33.778?30.114 20.9 拒绝H0，即认为这批产品的标准差有显著差异。

九（4）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布N(4.55,0.112)。现抽测了9炉铁水,算得铁水含碳

22量的平均值x?4.445，若总体方差没有显著差异，即??0.11，问在??0.05显著性水平下，总体均值有无显著差异? (已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

解：待检验的假设是 H0:??4.55 选择统计量 U?X?? 在H0成立时 U~N(0,1)

?/nP{|U|?u0.025}?0.05 取拒绝域w={|U|?1.960}

由样本数据知 U?X??4.445?4.55??2.864 U?1.960 拒绝H0，即认为总体均值有显著差

0.11/3?/n22异。

九（5）、已知某味精厂袋装味精的重量X ～N(?,?)，其中?=15，??0.09，技术革新后，改用新机器包装。抽查9个

样品，测定重量为（单位：克）

14.7 15.1 14.8 15.0 15.3 14.9 15.2 14.6 15.1

已知方差不变。问在??0.05显著性水平下，新机器包装的平均重量是否仍为15？ (已知：t0.05(15)=2.131, t0.05(14)=2.145, U0.025?1.960 ) 解：待检验的假设是 H0:??15 选择统计量 U?X?? 在H0成立时 U~N(0,1)

?/nP{|U|?u0.025}?0.05 取拒绝域w={|U|?1.960}

19经计算 x??xi?14.967 U?i?19X??14.967?15??0.33 U?1.960

0.3/3?/n 接受H0，即可以认为袋装的平均重量仍为15克。

九（6）、某手表厂生产的男表表壳在正常情况下，其直径(单位:mm)服从正态分布N(20, 1)。在某天的生产过程中，随机抽查

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