2013高考数学压轴题突破训练 - 圆锥曲线（含详解）

高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线

1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M的轨迹C的方程．

(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点G、H满足：

????????????????????????????1AG??AD(??R);○2GE?GF?2GH;○3GH?EF?0. ○

求点G的横坐标的取值范围．

l2 M A BD N B l1 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率 e?上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.

3，已知点P(0,3)到这个椭圆225x2y2,其左、右顶点分别 3. 已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一条准线方程是x?4abx2y2是A、B；双曲线C2:2?2?1的一条渐近线方程为3x－5y=0.

ab（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；

（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM?MP. 求证：MN?AB?0.

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线

交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为?a. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tg?;

（2）若2

x2y265. 已知椭圆2?2（a＞b＞0）的离心率e?，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线

ab3与原点的距离为3 2（1）求椭圆的方程

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点 问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由

6. 在直角坐标平面中，?ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(?1,0)，B(1,0)，平面内两点G,M同时满足下列条件：

①GA?GB?GC?0；②MA?MB?MC；③GM∥AB （1）求?ABC的顶点C的轨迹方程；

（2）过点P(3,0)的直线l与（1）中轨迹交于E,F两点，求PE?PF的取值范围 7. 设x,y?R，i,j为直角坐标平面内x轴．y轴正方向上的单位向量，若????????a?xi?(y?2)j,b?xi?(y?2)j，且|a|?|b|?8

??（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设曲线C上两点A．B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2)若OP?OA?OB，则OAPB为矩形，试求AB方程．

8. 已知抛物线C：y2?m(x?n),(m?0,n?0)的焦点为原点，C的准线与直线

l:kx?y?2k?0(k?0)的交点M在x轴上，l与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直

平分线交x轴于点N（p，0）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）求实数p的取值范围； （Ⅲ）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．

y

9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线D交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝

C1|AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线2AEOD1C1A1xAE23??，当???时，求双曲线的离心率e的取值范围. 于E，设EC34

2210. 已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x?5y?80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

(1) 若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; 若角A为90，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

11. 如图，过抛物线x?4y的对称轴上任一点P(0,m)(m?0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点.

20????????????????(1) 设点P分有向线段AB所成的比为?，证明:QP?(QA??QB);

(2) 设直线AB的方程是x?2y?12?0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

pp212. 已知动点P（p，-1），Q（p，1?），过Q作斜率为的直线l，P Q中点M的轨迹

22为曲线C.

（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线； （3）设直线AP的倾斜角为?，AP与l的夹角为?，证明：???或???是定值.

13. 在平面直角坐标系内有两个定点F1、F2和动点P，F1、F2坐标分别为F1(?1,0) 、

F2(1,0)，动点P满足

|PF21|，动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y?x的对?|PF2|2称曲线为曲线C'，直线y?x?m?3与曲线C'交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为7，

（1）求曲线C的方程；（2）求m的值。

x2y214. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右支

ab上.

34116,)时,PF1?PF2,求双曲线的方程； （Ⅰ）若当点P的坐标为(55（Ⅱ）若|PF1|?3|PF2|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

x2y2??1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点15. 若F1、F2为双曲线abM在右准线上，且满足；F1O?PM,OP??(（1）求该双曲线的离心率；

（2）若该双曲线过N（2，3），求双曲线的方程；

（3）若过N（2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且B2A??B2B,求B1A?B1B时，直线AB的方程.

OF1OF1?OMOM1)(??0).

????????????16. 以O为原点，OF所在直线为x轴，建立如 所示的坐标系。设OF?FG?1，点F的

坐标为(t,0)，t?[3,??)，点G的坐标为(x0,y0)。

（1）求x0关于t的函数x0?f(t)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；

????31（2）设ΔOFG的面积S?t，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当|OG|取

6最小值时椭圆的方程；

????????9（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0,)，C、D是椭圆上的两点，且PC??PD(??1)，

2求实数?的取值范围。

17. 已知点C为圆(x?1)2?y2?8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且MQ?AP?0,AP?2AM.

（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； （Ⅱ）若直线y?kx?k2?1与（Ⅰ）中所求点Q

的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，

且

23?OF?OH?，求△FOH的面积的取值范围。 34

18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中a?c。

A O B （1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；

（2）经过点O的直线l与直线AB成60°角，当c＝2，a＝1时，动点P的轨迹记为E，设过点B的直线m交曲线E于M、N两点，且点M在直线AB的上方，求点M到直线l的距离d的取值范围。

19. 设O为坐标原点,曲线x2?y2?2x?6y?1?0上有两点P、Q满足关于直线

x?my?4?0对称，又以PQ为直径的圆过O点.

（1）求m的值; （2）求直线PQ的方程.

又C??25?9?34 ∴双曲线的离心率e2?34 5（Ⅱ）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0） 设M(x0,y0)则由AM?MP得M为AP的中点

22?x0y0??1??259∴P点坐标为(2x0?5,2y0) 将M、p坐标代入c1、c2方程得?

2?(2x0?5)?y0?1?9?252消去y0得2x0?5x0?25?0 解之得x0?5或x0??5(舍) 2由此可得P（10，33)

当P为（10，33) 时 PB：y?3333(x?5) 即y?(x?5) 10?555x?或5(舍)

2x2y2??1得:2x2?15x?25?0代入

259?xN?52?xN?xM MN⊥x轴 即MN?AB?0

a2?c?1,则a2?c?c2,b2?a2?c2?c,所以椭圆方程为 4.解：（1）由题意可知cx2y2??1?4分 设A(x1,y1),B(x2,y2)，将其代入椭圆方程相减，将 2c?ccy1?y2y?y2代入 可化得 kOM?1与kOM?1x1?x2x1?x211c?1|?c?2 ??,?tg??|1c?1c1?c?11?11?1c?(26 ,)23c（2）若2

ab3b?1???22?2?a?bx2?y2?1 ∴ 椭圆方程为 3?y?kx?2，22x?12kx?9?0 （2）假若存在这样的k值，由?2得(1?3k)2?x?3y?3?0 ∴ ??(12k)2?36(1?3k2)?0 ①

12k?x?x??，2??121?3k 设C(x1，y1) D(x2，y2)，则? ②

9?x?x?12?1?3k2? 而y1?y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则

y1?y2??1，即x1?1x2?1y1y2?(x1?1)(x2?1)?0 ∴ (k2?1)x1x2?2(k?1)(x1?x2)?5?0 ③

将②式代入③整理解得k? 综上可知，存在k?77 经验证，k?，使①成立 667，使得以CD为直径的圆过点E 66.解：（1）设C(x,y) , G(x0,y0) , M(xM,yM). ?MA?MB ， ?M点在线段AB的中垂线上

由已知A(?1,0) , B(1,0) ,?xM?0；又?GM∥AB，?yM?y0 又GA?GB?GC?0

???1?x0,?y0???1?x0,?y0???x?x0,y?y0???0,0?

yyx?x0? , y0? ?yM?

333?MB?MC ??0?1?2?y????0???3?2?0?x?2?y????y? ?3?2y2y22?x??1 ?y?0?，?顶点C的轨迹方程为x??1 ?y?0?.

332(2)设直线l方程为：y?k(x?3)，E(x1,y1)，F(x2,y2)

?y?k(x?3)?由?2 消去y得：k2?3x2?6k2x?9k2?3?0 ① y2?1?x?3???6k29k2?3?x1?x2?2 ， x1x2?2

k?3k?3?而PE?PF?PE?PF?cos0?PE?PF?1?k2 3?x1?1?k23?x2

?1?k2 9?3?x1?x2??x1x2222224k?1??489k?27?18k?9k?32 ??24??1?k 222k?3k?3k?3????由方程①知 ??6k2??23?4k2?39k2?3＞0?k2＜

8????2 ?k?0，?0＜k＜

3?27??88?2，?k?3??3,? ?PE?PF??8,?. 8?8??9?7.解：解：令M(x,y),F1(0,?2),F2(0,2)

则a?F1M,b?F2M 即|a|?|b|?|F1M|?|F2M| 即|F1M|?|F2M|?8

又∵F1F2?4?2C ∴c?2,a?4,b2?12

y2x2??1 所求轨迹方程为

1612????（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在 设AB方程为y?kx?3,A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?kx?3??(3k2?4)x2?18kx?21?0 则?y2x2??1??1612 x1?x2??18k3k2?4 x1?x2?2?213k2?4

3b?48k23k2?4 y1?y2?(kx1?3)(kx2?3)?kx1x2?3k(x1?x2)?9? ∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB OA?OB?0

∴x1x2?y1y2?0 得k?? 所求直线方程为y??5x?3… 45 4

8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0

准线方程x??m?n且有m=4n.

4 ∵准线与直线l交点在x轴上，交点为(?m,0)

2 又l与x轴交于（－2，0），∴m=4，n=1

2

∴抛物线方程为y=4（x+1） （II）由???kx?y?2k?0得k2x2?4(k2?1)x?4(k2?1)?02??y?4(x?1)(k?0)

??16(1?k2)?0 ∴－1＜k＜1且k≠0

2 x1?x2?2(1?k)

22k

y1?y22? 2k212(1?k2) ∴AB的中垂线方程为y???[x?],令y?0 2kkk2(1?k2)2? 得p?2? 22kk ∴p∈（2，+∞）

（III）∵抛物线焦点F（0，0），准线x=－2 ∴x=－2是Q的左准线 设Q的中心为O′（x，0），则短轴端点为（±x，y）

（1） 若F为左焦点，则c=x＞0，b=|y|

22222∴a=b+c=x+y

2222

依左准线方程有?a?c??2 ??x?y?x??2 即y=2x （x＞0）

xc（2） 若F为右焦点，则x＜0，故c=－x，b=|y|

2a∴a=b+c=x+y 依左准线方程有??c??2 c2

2

2

2

2

22x2?y2即???(?x)??2 化简得2x+2x+y=0

?x即4(x?12)?2y2?1 （x＜0，y≠0） 230209.解：建立如原题图所示的坐标系，则AB的方程为x?y?1,由于点P在AB上，可设P点

的坐标为(x,20?2x). 则长方形面积S?(100?x)?[80?(20?2x)](0?x?30).

33化简得S??2x2?20x?6000(0?x?30).易知，当x?5,y?50时,Smax?6017(m2).

333（21）解：设A（－c,0）,A1(c,0)，则D(?c,h),C(c,h),（其中c为双曲线的半焦距，h为C、

22c?c??2?c(??2),y?h?即E点坐标为c(??2)h? D到x轴的距离）?AE??,?xE?(,)EEC1??2(??1)1??2(??1)??1c22222设双曲线的方程为x?y?1，将a?代入方程，得ex?y?1①

2222abecb2222将C(c,h),E(c(??2),h?)代入①式，整理得e?h?1,e(??2)2?(?)2h?1.

4b24??1??1b222(??1)??122消去h,得2??e2??e2?1,所以??e?1?1?3.

b2e2?2e2?2由于2???3,所以2?1?34333?,故7?e2?10?7?e?10. e?242

10.解：1）设B（x1,y1）,C(x2,y2),

22x12y12x2y2??1,??1 则有

20162016中点为(x0,y0),F(2,0)

两式作差有

(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0

2016x0y0k??0 (1) 54F(2,0)为三角形重心，所以由

x1?x2?2，得x0?3 3由

y1?y2?4?0得y0??2，

36 5代入（1）得k?直线BC的方程为6x?5y?28?0

2)由AB⊥AC得x1x2?y1y2?14(y1?y2)?16?0 （2） 设直线BC方程为y?kx?b,代入4x?5y?80，得

22

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