2018年中考数学真题分类汇编第三期专题31点直线与圆的位置关系试

点直线与圆的位置关系

一.选择题

1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2则线段CD的长是（ ）

，

A．2

B．

C．

D．

，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，

【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2OB=OD可得

OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论． 【解答】解：连接OD

∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点， ∴OD⊥AC

在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2∴OD=OB=2，AO=4，

∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD ∴∠ODB=∠CBD ∴OD∥CB， ∴即∴CD=

．

，

故选：B．

【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比

1

例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线． 2. （2018?广安?3分）下列命题中： ①如果a＞b，那么a＞b

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等

④关于x的一元二次方程ax+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1 其中真命题的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

2

2

2

【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．

【解答】解：①如果a＞b，那么a＞b，错误；

②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误； ③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；

④关于x的一元二次方程ax+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误． 故选：A．

【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．

3.（2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ）

2

2

2

A．76° B．56° C．54° D．52°

【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数． 【解答】解：∵MN是⊙O的切线，

∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°， ∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 二.填空题

1.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 26 度．

2

【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可． 【解答】解：连接OC，

由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD，

∴∠D=90°﹣∠COD=26°， 故答案为：26．

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 三.解答题

1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE． （1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．

【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE， ∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE， ∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC， ∴∠A+∠DEB=90°， ∴∠OBA+∠DBE=90°， ∴∠OBD=90°， ∵OB是圆的半径，

3

∴BD是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE， ∵点E是AB的中点，AB=12， ∴AE=EB=6，OE⊥AB，

又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE， ∴EF=BF=3， ∴DF=

=4，

∵∠AEC=∠DEF， ∴∠A=∠EDF， ∵OE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEO=∠DFE=90°， ∴△AEO∽△DFE， ∴即

，

，得EO=4.5，

=27．

∴△AOB的面积是：

2. （2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）若MB=BE=1，求CD的长度．

【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；

4

（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．

【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB是⊙M的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD

（2）解：过点G作GH⊥BC于H

∵MB=BE=1 ∴AB=2 ∴AE=

由（1）根据面积法 AB?BE=BG?AE ∴BG=

由勾股定理： AG=

，GE=

∵GH∥AB ∴

∴

5

∴GH= 又∵GH∥AB

①

同理：①+②，得

∴∴CD=

【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．

3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．

②

【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；

（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可． 【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径，

6

∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM为⊙O的切线；

（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，

而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G，

而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴

=

=

，即

=

=，

∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=

．

4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：FG是⊙O的切线；

7

（2）若tanC=2，求的值．

【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得问题；

【解答】（1）证明：连接AD.OD．

=

=

=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG是⊙O的切线． （2）解：∵tanC=∴BD：AD=1：2，

∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD，

8

=2，BD=CD，

∵∠G=∠G，

∴△GDB∽△GAD，设BG=a． ∴

=

=

=，

∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）求证：∠EDF=∠DAC．

（1）解：

连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°． ∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．

∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA=AM=

OM=

．

，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣

﹣

=3π﹣

； =，

∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3

30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=

9

（2）证明：连接OD，

∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD． ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD． ∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；

（3）证明：连接BE，

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC． ∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC． ∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC． ∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC． ∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．

∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．

6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF． （1）求证：AD⊥ED；

（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED； （2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

10

∵AC平分∠BAD， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AD⊥ED；

（2）解：OC交BF于H，如图， ∵AB为直径， ∴∠AFB=90°，

易得四边形CDFH为矩形， ∴FH=CD=4，∠CHF=90°， ∴OH⊥BF， ∴BH=FH=4， ∴BF=8， 在Rt△ABF中，AB=∴⊙O的半径为

．

=

=2

，

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理． 7.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC． （1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC=

，求四边形OCDB的面积．

11

【解答】解：（1）PM与⊙O相切． 理由如下：

连接DO并延长交PM于E，如图，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD， ∴OC=DC=BO=BD， ∴四边形OBDC为菱形， ∴OD⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等边三角形， ∴∠COD=∠BOD=60°， ∴∠COP=∠EOP=60°， ∵∠MPB=∠ADC， 而∠ADC=∠ABC， ∴∠ABC=∠MPB， ∴PM∥BC， ∴OE⊥PM， ∴OE=OP， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴OC=OP， ∴OE=OC， 而OE⊥PC， ∴PM是⊙O的切线； （2）在Rt△OPC中，OC=

PC=

×

=1，

∴四边形OCDB的面积=2S2

△OCD=2×

×1=

．

12

8.（2018·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC． （1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线

（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2响部分面积

【解答】解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∵∠BCD=∠BAC， ∴∠BCD=∠OCA， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，

∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90° ∴∠OCD=90° ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线 （2）设⊙O的半径为r， ∴AB=2r，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

13

，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影

∴OD=2r，∠COB=60° ∴r+2=2r， ∴r=2，∠AOC=120° ∴BC=2，

∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2S扇形OAC=

∴阴影部分面积为

×1==

﹣

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．

9．（2018·辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点． （1）若∠ADE=25°，求∠C的度数； （2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．

【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可； （2）根据直角三角形的性质解答即可．

【解答】解：（1）连接OA，

∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，

14

∴OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∵

，∠ADE=25°，

∴∠AOE=2∠ADE=50°，

∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°； （2）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵

，

∴∠AOC=2∠B， ∴∠AOC=2∠C， ∵∠OAC=90°， ∴∠AOC+∠C=90°， ∴3∠C=90°， ∴∠C=30°， ∴OA=OC， 设⊙O的半径为r， ∵CE=2， ∴r=

，

解得：r=2， ∴⊙O的半径为2．

【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．

10．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AC=3，求⊙O的半径r；

（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．

【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．

15

∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC． ∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；

（2）如图2\\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=

，∴AE=

=

=2

，连接DE\\1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在，∴AD=

=

=4，∴⊙O的半径

Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=r=AD=2；

（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．

∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°． ∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF． ∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．

16

11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接

CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长．

【解答】（1）证明：连接OC． ∵AB是⊙O的直径，

=

，∴∠BOC=90°．

∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中． ∵线；

（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF=∴S△ABF=

，4×2=2

?BD，∴BD=

．

=

=2

，

，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切

12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

17

（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．

【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE=EB+OB，可得（8﹣r）=r+4，推出r=3，由tan∠E=

=

，推出=

，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；

2

2

2

2

2

2

【解答】（1）证明：连接OC．

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD， ∴△OCB≌△OCD， ∴∠ODC=∠OBC=90°， ∴OD⊥DC， ∴DC是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△OBE中，∵OE=EB+OB， ∴（8﹣r）=r+4， ∴r=3， ∵tan∠E=∴=

，

=

，

2

2

2

2

2

2

∴CD=BC=6， 在Rt△ABC中，AC=

=

=6

．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

18

13. （2018?呼和浩特?10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=

．

（1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AD=12，AM=MC，求

的值．

（1）证明：连接OD.OP、CD． ∵

=

，∠A=∠A，

∴△ADM∽△APO， ∴∠ADM=∠APO， ∴MD∥PO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3， ∵OD=OM， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， ∵OP=OP，OD=OC， ∴△ODP≌△OCP， ∴∠ODP=∠OCP， ∵BC⊥AC， ∴∠OCP=90°， ∴OD⊥AP， ∴PD是⊙O的切线．

（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD， ∵AM=MC， ∴AM=2MO=2R，

在Rt△AOD中，OD2

+AD2

=OA2

， ∴R2

+122

=9R2

， ∴R=3

，

19

∴OD=3∵

=

，MC=6=，

，

∴DP=6，

∵O是MC的中点， ∴

=

=，

∴点P是BC的中点， ∴BP=CP=DP=6， ∵MC是⊙O的直径， ∴∠BDC=∠CDM=90°，

在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6∴BM=6

，

，

∵△BCM∽△CDM， ∴

=

，即， =

． =

，

∴MD=2∴

=

14. （2018?乐山?10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO；

（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求

的值．

20

（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．

∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO； （2）解：连结OA.DF，如图，

∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°． 在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5． 由QA+OA=OQ，得QA=4．

在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB+PB=PQ，得8+PB=（PB+4），解得PB=6，∴PA=PB=6．

∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．

又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴

=

=

=，设AE=4t，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=．

15. （2018?广安?9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：∠PCA=∠ABC．

（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长

21

【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论； （2）本题介绍两种解法：

方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=

，可得AE的长，从而计算BE的长；

方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．

【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H， ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分） ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，（2分） ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∴∠PCA=∠OCB，（3分） ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， ∴∠PCA=∠ABC；（4分） （2）方法一：∵AE∥PC， ∴∠CAF=∠PCA， ∵AB⊥CG， ∴

，

∴∠ACF=∠ABC，（5分） ∵∠ABC=∠PCA，

22

∴∠CAF=∠ACF， ∴AF=CF=10，（6分） ∵AE∥PC， ∴∠P=∠FAD，

∴cos∠P=cos∠FAD=， 在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，

∴AD=8，（7分） ∴FD=

=6，

∴CD=CF+FD=16，

在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8， r2

=（r﹣8）2

+162

， r=20，

∴AB=2r=40，（8分） ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， 在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，

∴AE=32， ∴BE=

=24．（9分）

方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC， ∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分）， ∴∠EAO+∠COA=90°， ∵AB⊥CG，

∴∠OCD+∠COA=90°， ∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分） 在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，

∴CH=8，（7分） 在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8， 由OC=OA得：3x+8=5x，x=4， ∴AO=20，

23

∴AB=40，（8分） 在Rt△ABE中，cos∠EAB=∴AE=32， ∴BE=

=24．（9分）

，AB=40，

【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．

16. （2018?莱芜?10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为

的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3

，

求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x+（3x）=（3

2

2

），解方程得x=3，接下来设⊙O

2

2

2

2

的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）+12=r，最后解关于r的方程即可．

【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵BC平分∠OBD， ∴∠OBD=∠CBD， ∵OB=OC，

24

∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC∥AD， 而CD⊥AB， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE交AB于H，如图， ∵E为

的中点，

∴OE⊥AB， ∵∠ABE=∠AFE，

∴tan∠ABE=tan∠AFE=， ∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=设EH=3x，BH=4x， ∴BE=5x， ∵BG=BE=5x， ∴GH=x，

在Rt△EHG中，x+（3x）=（3∴EH=9，BH=12，

设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9， 在Rt△OHB中，（r﹣9）+12=r，解得r=即⊙O的半径为

．

2

2

2

2

2

=

），解得x=3，

2

，

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．

19. （2018?陕西?10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．

25

(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB； (2)连接MD，求证：MD＝NB．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O的切线，ON//AB，继而可得到结论；

（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．

【详解】（1）如图，连接ON，

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AD＝CD＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC，

又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠DBC， ∴ON∥AB，

∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径， ∴∠ONE＝90°，

∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；

（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB， ∵OC＝OD，∴ ∴CN＝NB＝CB，

又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°， ∵∠ACB=90°，

∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC， 又∵D是AB的中点，∴MD＝CB， ∴MD＝NB．

26

【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.

20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=25，BC=

，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．

【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；

（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，

【详解】（1）如图，连接OD，

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=45°， ∴∠AOD=90°， ∵DE∥AC，

∴∠ODE=∠AOD=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）在Rt△ABC中，AB=2∴AC=∴OD=，

=5，

，BC=

，

，即可求出答案．

27

过点C作CG⊥DE，垂足为G， 则四边形ODGC为正方形， ∴DG=CG=OD=， ∵DE∥AC， ∴∠CEG=∠ACB， ∴tan∠CEG=tan∠ACB， ∴

，即

，

解得：GE=， ∴DE=DG+GE=．

【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.

21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．

解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

28

（2）∵DE∥AC．

∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC． ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD． ∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BD=

=4

，∴

，∴CF=

，∴AC=2AF=

．

，∴

，∴CD=4．在Rt△BCD中，

同理：△CFD∽△BCD，∴

22.（2018·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°． （1）求∠B的度数． （2）求

的长．（结果保留π）

【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可． 【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A， ∠BAC=90°， ∵∠C=40°， ∴∠B=50°；

29

（2）连接OD，∵∠B=50°， ∴∠AOD=2∠B=100°， ∴

的长为

=

π．

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．

23.（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围

＜AP＜

或AP=5 ．

【解答】解：（1）如图2所示，连接PF， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x， ∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC， ∴

，∴

，∴x=

，AP=

； =8，

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，

30

S?ABCD==10PG，PG=，

＜AP＜

，即此时⊙P与平行四边形ABCD

①当⊙P与边AD.CD分别有两个公共点时，的边的公共点的个数为4，

②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜

或AP=5．

故答案为：

＜AP＜

或AP=5．

31

S?ABCD==10PG，PG=，

＜AP＜

，即此时⊙P与平行四边形ABCD

①当⊙P与边AD.CD分别有两个公共点时，的边的公共点的个数为4，

②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜

或AP=5．

故答案为：

＜AP＜

或AP=5．

31

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