初中数学竞赛 - 整式的恒等变形（二）

初一数学联赛班

7 年级

第5讲 整式的恒等变形（二）

典型例题

一. 基础训练

【例1】 当x?3y?4z?1，2x?y?2z?2时，化简：x2?2xy?3y2?2xz?10yz?8z2的结果是（ ）

(A) 1 (B) 0 (C) 2?x (D) x?2

【例2】 若14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，求a:b:c.

【例3】 设a、b、c为有理数，且a?b?c?0，a3?b3?c3?0.求证：对任意正奇数n，都有

an?bn?cn?0.

【例4】 已知x?y?z?a，xy?yz?zx?b，xyz?c，用a、b、c表示xy2?x2y?yz2?y2z?z2x?x2z.

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1

【例6】 求证：(1?a?a2?

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【例5】 设x3?mx2?nx?r是x的一次式的完全立方式，求证：3mr?n2.

?an)2?an?(1?a?a2??an-1)(1?a?a2??an?1).

【例7】 求证：2[(y?z)4?(z?x)4?(x?y)4]?[(y?z)2?(z?x)2?(x?y)2]2.

a5?b5?c5a3?b3?c3a2?b2?c2【例8】 已知：a?b?c?0，求证：. ??532

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2

【例9】 设

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ab?，求证：(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(a?b?c)(a?c) bc

【例10】 已知实数a、b满足ab?0，且(a2?b2)3?(a3?b3)2?8a3b3，求

42【例11】 设有多项式A?4x求证：如果A的系数满足?4p3x?4q2x?2(pm?1)?x(m?，1)ba?的值. abp2?4q?4(m?1)?0，那么A恰好是一个二次三项式的平方.

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二. 巩固提高

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【例12】 已知m2?n2?1，p2?q2?1，mp?nq?0，求证：m2?p2?1，n2?q2?1，mn?pq?0.

【例13】 已知a、b、c两两不等，且满足关系式：a2?b2?mab?b2?c2?mbc?c2?a2?mac.

（1）求m的值； （2）求证：a2?b2?c2?2(a2?b2?mab).

【例14】 设a?b?c?abc，求证：a(1?b2)(1?c2)?b(1?c2)(1?a2)?c(1?a2)(1?b2)?4abc.

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【例15】 证明：(x?y?z)3xyz?(yz?zx?xy)3?xyz(x3?y3?z3)?(y3z3?z3x3?x3y3).

【例16】 已知：ax?by?0，cx2?dxy?cy2?0且x?0,y?0，求证：a2c?b2c?abd.

三. 数论中的应用

【例17】 设x、y、z都是整数，且11整除7x?2y?5z，求证：11整除3x?7y?12z.

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【例18】 若a、b、c都是自然数，且满足a5?b4，c5?d4，且c?a?19，求d?b的值.

【例19】 若x是自然数，设y?x4?2x3?2x2?2x?1，则

(A) y一定是完全平方数

（B）存在有限个x，使y是完全平方数 （C）y一定不是完全平方数

（D）存在无限多个x，使y是完全平方数

【例20】 已知a?b?c?0，求适合等式abc?ab?cb?ca?a?b?c?1989的整数a、b、c的值.

【例21】 证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式ax2?bx?c总取整数值，那么2a、a?b和c都是整数，并且反过来也成立.

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平方和.

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【例22】 证明：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的

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【例23】 若a、b、c、d是整数，且m?a2?b2，n?c2?d2，求证：mn可以表示成两个整数的平方

和.

【例24】 已知m、n都是自然数，且m?n，求证：m4?4n4一定可以表示为四个自然数的平方.

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是完全平方数.

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【例25】 已知直角三角形勾、股、弦长分别为a、b、c，且a、b、c是整数，a为质数，求证：2(a?b?1)【例26】 已知an?bm?0，a?0，ax2?bx?c?0，mx2?nx?p?0.

求证：(cm?ap)2?(bp?cn)(an?bm).

【例27】 设(a?b)(b?c)(c?d)(d?a)?(a?b?c?d)(bcd?cda?dab?abc).求证：ac?bd.

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作业

1. 已知a2b?b2c?c2a?ab2?bc2?ca2，试求(a?b)(b?c)(c?a)的值.

2. 多项式m4?n4?(m?n)4?2(m2?mn?n2)2的值为（ ）

(A)等于零 (B)大于零 (C)小于零 (D) 无法确定

3. 求证：(1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x8)?1?x?x2?

4. 若正整数a、b、c满足a2?b2?c2且为质数，那么b、c两数应（ ）

(A)同为奇数 (B)同为偶数 (C)一奇一偶 (D) 同为合数

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?x15.

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5. 求证：2(a?b)(a?c)?2(b?c)(b?a)?2(c?a)(c?b)?(b?c)2?(c?a)2?(a?b)2.

6. 若x为自然数，则x4?3x2?9是质数还是合数？证明你的结论.

7. 已知a2?b2?c2?d2?1，ac?bd?0，求ab?cd的值.

8. 求证：(a?b)2(b?c?a)(c?a?b)?(a?b)2(a?b?c)(a?b?c)?4abc2

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