高三四月份月考试题

增城市2007届华侨中学高三四月份月考试题

数 学 (理 科)

第一部分 选择题(共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集U???，A?x1?x?6，x?N?，则CUA=（ ） 1，2，3，4，5，6，7，A．? B． ?7? C．?1，2，3，4，5，6? D．?1，2，3，4，5，6，7?

??2. 为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），

频率/组距 那么在这100株树木中，底部周长小于110cm

的株数是

0.04 A．30 B．60

C．70 D．80 0.02 0.01

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

3. 已知命题P：?b??0,???，f(x)?x2?bx?c在?0,???上为增函数,命题Q：?x0??x|x?Z?, 使 log2x0?0，则下列结论成立的是（ ）

A．﹁P∨﹁Q B．﹁P∧﹁Q C．P∨﹁Q D．P∧﹁Q

y同时满足2x?y?4?0,x?y?1?0, 则目标函数z=x2+(y+2)2的最小值4. 已知非负实数x、

是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

5. 设?，?为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若?∥?，l??，则l∥?； ②若m??，n??，m∥?，n∥?，则?∥?； ③若l∥?，l⊥?，则?⊥?； ④若m、n是异面直线，m∥?，n∥?，且l⊥m，l⊥n，则l⊥?. 其中真命题的序号是

A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 6. 如果将函数y＝sin2x＋3cos2x的图象按向量a平移后所得的图象关于y轴对称，那么向量a可以是

A．(6，0) B．(－6，0) C．(12，0) D．(－12，0) 7. 将红、黑、白三个棋子放入如图所示的小方格内，每格只能 放一个棋子，且3个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有 A．576种 B．288种 C．144种 D．96种

?????x?1，x?[?1,0)8. 已知f(x)??2，则下列函数的图象错误的是 ．．

?x?1，x?[0,1]

第二部分 非选择题(共110分) 二.填空题(每小题5分,共30分)

9. 若复数z?a2?1?(a?1)i是纯虚数，则z= _________.

11110. 如下图1，是计算1???...?的程序框图，判断框应填的

3599内容是________________,处理框应填的内容是______________.

开始 s:?0i?1 11. 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，

AA1=AB=2，点E是DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角 的大小为是__________

12. 已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体： ①当x?[0,??)时，函数值为非负实数；

②对于任意的s,t?[0,??),都有f(s)?f(t)?f(s?t) 在三个函数f1(x)?x,f2(x)?2x?1,f3(x)?ln(x?1)中，

属于集合M的是

图1

输出s s:?s?1/i 结束

第13至15题，从3题中选答2题，多选按前2题记分

13.已知x2?4y2?kz2?36,(其中k?0)且t?x?y?z的最大值是7,则k? ?14． 将极坐标方程??cos(??)化为直角坐标方程是______________.

415．如右图2，⊙O'和⊙O相交于A和B， PQ切⊙O于P， 交⊙O'于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3,

NQ＝15，则 PN＝__________．

图2

QO'MNBPAO三、解答题：本大题共6个小题．共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)

已知函数f(x)=Asin(?x＋?) (x∈R, A>0, ?>0, |?| < (1)试确定f(x)的解析式;

a12π

(2)若f() = , 求cos( －a)的值

2π23

π

)的部分图象如图所示, 2

17．(本小题满分12分)

在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就为“及格”，若投中3次就为 “良好”并停止投篮．已知甲每次投篮投中的概率是(1)求甲投了3次而不及格的概率;

(2)设甲投篮投中的次数为?，求随机变量?的分布列及数学期望．

18．(本小题满分14分)

已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E为CD的中点，沿AE将三角形AED折起，使DB＝2 3如图，O、H分别为AE、AB的中点． (1)求证：直线OH//面BDE； (2)求证：面ADE⊥面ABCE； (3)求二面角O—DH一E的余弦值．

2． 3DCOECDEABAHB19．(本小题满分14分)

已知函数．f(x)?2x3?ax与g(x)?bx2?cx的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程； (2)设F(x)?

20．(本小题满分14分)

已知过抛物线x2＝4y的对称轴上一点P(0，m)(m>0)作直线l，l与抛物线交于A、B两点． (1)若角?AOB为锐角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围；

(2)若l的方程为x-2y+12＝0，且过A、B两点的圆C与抛物线在点且(A在第一象限)处有共同的切线，求圆C的方程．

21．(本小题满分14分)

b1 已知数列{ an}、{ bn}满足：a1?,an?bn?1,bn?1?n.

41?anmg(x)?ln(x?1)，其中m?0，求F(x)的单调区间． 8x (1)求b1,b2,b3,b4;

(2)求数列{ bn}的通项公式；

(3)设Sn?a1a2?a2a3?a3a4?...?anan?1，求实数a为何值时4aSn?bn恒成立．

2007届华侨中学高三四月月考数学(理)试题

参考答案及评分标准

一、选择题答案 BCCBA DAD 二、填空题

题号 答案 9 10 11 12 13 14 15 2 i?99 i:?i?2 ? 4f1(x)f2(x) 9 (x?22221)?(y?)? 44435 三、解答题 2πT511

16.解: (1)由图象可知A=2, = － = , ∴T=2, ω= =π…………………..3分

4632T1

将点P(, 2)代入y=2sin(?x＋?) ,

3

πππ

得 sin(＋?)=1, 又|?| < , 所以? = ………………………………..5分

326π

故所求解析式为f(x)=2sin(πx＋) (x∈R)………………………….6分

6

ππ1a1a1a

(2)∵f() = , ∴2sin( ＋) = , 即, sin( ＋) = ……………………..8分

22622642π2ππaπaπa7

∴cos( －a)=cos[π－2(＋ )] = －cos2(＋ ) = 2sin2(＋ )－1 = －…..12分

36262628

17．解：(1)甲投了3次而不及格，即前3次中只有一次投中或三次都没有投中，其概率为 P?()?C3()??1331132237???????????????????4分 27 (2)依题意，?可以取0，l，2，3．

1； 24311012()?()4? 当?＝l时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：P?(??1)?C5?； 3324321402()2?()3? 当?＝2时，表示5次中仅有2次投中，其概率为：P?(??2)?C5?; 33243 当?＝0时，表示连续5次都没投中，其概率为：P?(??0)?()?513 当?＝3时，表示①连续3次都投中，其慨串为：(2)3?8 ,或②前3次中有2次投中，

327且第四次投中，其概率为：C3()???或③前4次中有2次投中，且第五

223212338， 272212216，

33381881664???即P(??3)?.???????????????9分 27278181()??次投中，其概率为：C4()?2∴随机变量?的概率分布列为：

? P 0 1 2 3 1104064 24324324381110406466674?1??2??3???数学期望：E??0????11分 24324324381243277 答：(1)甲恰好投篮3次就通过的概率是；

2774 (2)甲投篮投中的次数的数学期望是????????????????12分．

27 18．(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点 ∴OH//BE，又OH不在面BDE内

∴直线OH//面BDE ??????????????4分 (2)O为AE的中点AD＝DE，∴DQ?AE

∵DO=2，DB=23，BO＝3+1=10 ∴DB?DO?BO ∴DO?OB

2

2

2

222又因为AE和BO是相交直线 所以，DO?面ABCE， 又OD在面ADE内 ∴面ADE?面ABCE????????????.8分

(3)由(1)(2)知OA、OH、OD两两垂直，分别以OA、OH、OD为x、y、z轴建立空间坐 标系，则A(2，0，0)，H(0，2，0)，E(-2，0，0)，D(0，0，2)，

?????向量DH?(0,2,?2)????HE?(?2,?2,0)????10分

设平面DHE的法向量为n=(x，y，z)

?????????则n·DH＝0 n·HE＝0

??2y?2z?0即y=z,x=-z ????2x?2y?0∴平面DHE的法向量为n＝(z，-z，z)，不妨没z>0 ?????12分

????又OA?(2,0,0)是平面DOH的法向量 ????????n?OA2z3????? cos?OA,n???3|n|?|OA|2?3z由图二面角O—DH—E为锐角，所以，二面角O—DH—E的余弦值为333????14分 3 19．解：(1)∵f(x)?2x?ax过点P(2,0),∴a=-8f(x)?2x?8x, ???????2分

f?(x)?6x2?8x ∴切线的斜率k?f?(2)?16??????3分

∵g(x)?bx?cx的图像过点P(2,0),∴4b+2c=0,

∵g?(x)?2bx?c,f?(2)?g?(2)?4b?c?16,解得：b=8,c=-16?????5分 ∴g(x)?8x?16x

2216（x-2）切线方程为y＝．即16x-y-32=0??????????????7分

(2) ∵ F(x)?m(x?2)?ln(x?1)(x?1)

1mx?m?1?(x?1)??????????????9分 x?1x?11m[x?(1?)]m ∵m<0 ∴1?1?1 ??????11分 当m<0时，F?(x)?mx?11 又x>1 当x?(1,1?)时F?(x)?0

m1 当x?(1?,??)时F?(x)?0 ????????????12分

m1 ∴F(x)的单调减区间是(1?,??)

m1 ∴F(x)的单调增区间是(1，1?)??????????????????13分

m11 即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，1?)，单调减区间是(1?，??) ?l4分

mmF?(x)?m?20．解：(1)设l：y＝kx+m，代入抛物线x＝4y的方程化简得

2

x-4ky-4m＝0，???????????????????1分

2

∵m>O ∴△＝16k+16m>0恒成立

设A(x1,y1)．B(x2，y2)，则xl+x2＝4k，x1x2＝-4m．

2

???????? 又角?AOB为锐角，所以OA?OB?0???????????????3分

因为OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?m)(kx2?m)?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2， 则(1?k2)(?4m)?km?4k?m2?0，即m?4m?0，

又因为m>0，解得m>4；???????????????????????6分

2?????????x2?4y?x?6?x??4（2）解方程组?，得?或?，

?x?2y?12?0?y?9?y?4由题意得A（6，9）、B（－4，4）， 又函数y?121x的导数为y??x，所以过点A的公共切线斜率k＝3，由题意知圆C的圆心C是线段42AB的垂直平分线l1和过点A与公共切线垂直的直线l2的交点，?????9分 l1:y?1317??2(x?1)，即l1:y??2x?， 2211l2:y?9??(x?6)，即l2:y??x?11，????????????10分

33323联立l1和l2的方程解得圆心坐标C(?,)，

22圆半径r?|CA|?(6?)?(9?322232510??????????????11分 )?22故所求圆方程为(x＋)＋（y－21.解：（1) bn?1? ∵a1?322232125）?????????????12分 22bnbn1 ??(1?an)(1＋an)bn(2?bn)2?bn13456,b1? ∴b2?,b3?,b4??????????????4分 44567 （2）∵bn?1?1?2?bn111 ?1 ∴???1?bn?1?1bn?1bn?12?bn ∴数列{

1}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 bn?1 ∴

1n?21???????10分 ??4?(n?1)??n?3 ∴bn?1?n?3n?3bn?11 n?3 (3)an?1?bn?111n∴Sn?a1a2?a2a3?????anan?1?1?1???? ???4?55?6(n?3)(n?4)4n?44(n?4)ann?2(a?1)n2?(3a?6)n?8 ∴4aSn?bn?????????11分 ??n?4n?3(n?3)(n?4) 由条件可知(a?1)n2?(3a?6)n?8?0恒成立即可满足条件设f(n)?(a?1)n2?3(a?2)n?8 a＝1时，f(n)??3n?8?0恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立 a

2a?12a?1 f(n)在(??,1]为单调递减函数．??????????????????13分 f(1)?(a?1)n2?(3a?6)n?8?(a?1)?(3a?6)?8?4a?15?0 ∴a?15 ∴a<1时4aSn?b恒成立 4 综上知：a≤1时，4aSn?b恒成立????????????????14分

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